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指数時間アルゴリズム入門

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Yoichi Iwata

情オリ2012春合宿講義資料

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指数時間アルゴリズム入門 岩田 陽一 (東京大学 M1) JOI 春合宿 2012
自己紹介 TopCoder: ◎wata TCO2010Marathon優勝など Twitter: @wata_orz 東京大学情報理工学系研究科コンピュータ科学専攻 理論計算機科学 (アルゴリズムの理論的な解析とか) プログラミングコンテスト チャレンジブック 2
本日の内容  NP困難問題を解くためのアルゴリズムを扱います 𝑂𝑃𝑇 𝐼 ≤ 𝐴 𝐼 ≤ 𝑐𝑂𝑃𝑇(𝐼) 近似アルゴリズム ヒューリスティック 𝑓 𝑘 𝑝 𝑛 FPT アルゴリズム max⁡ 𝑐𝑥|𝐴𝑥 ≤ 𝑏, 𝑥: 整数} { 𝑂∗ 𝑐 𝑛 整数計画 厳密指数時間アルゴリズム 3
効率的な指数時間アルゴリズム  何の指数？  頂点数? 辺の数? それとも… • 2 𝐸 のアルゴリズムはまず役に立たないが，2 𝑉 のアル ゴリズムならコンテストでもよく出題されている • 入力サイズとは別のパラメータに関してのみ指数である ような場合もある (FPTアルゴリズム)  指数の底は？ 𝑛 2 𝑛 と2 では解けるサイズが倍違う 2 100  1.2 < 1004  コンテストに出うるものに絞って解説 4
内容一覧  何の指数？  動的計画法，準指数時間，グラフの「幅」  指数の底は？  半分全列挙，探索アルゴリズム  FPTアルゴリズム  FPTとは，有界探索木，カーネル  包除原理  数え上げ，畳込み  余談&おまけ  Theoretical part 5
何の指数？ 動的計画法，準指数時間，グラフの「幅」 6
何の指数？ 巡回セールスマン問題  全ての頂点をちょうど一度ずつ通る最小の閉路 1 2 3 2 1 1 0 1 2 3 3 2 1 3 5 4 2 7
何の指数？ 巡回セールスマン問題  全ての頂点をちょうど一度ずつ通る最小の閉路 1 2 3 2 コスト: 10 1 1 0 1 2 3 3 2 1 3 5 4 2 8
何の指数？ 巡回セールスマン問題  ナイーブな解法  全ての方法を試して最小を求める  𝑂(𝑛!) 𝑛 𝑛 • 𝑛! ≈ 𝑒 = 𝑒 𝑛 log 𝑛−𝑛 • 𝑛 ≤ 10 程度までなら解ける  動的計画法  すでに訪れた頂点の訪問順は無視できる 𝑛 2  𝑂 2 ⁡𝑛 • 𝑛 ≤ 20 程度までなら解ける 9
動的計画法  𝑑𝑝[𝑆][𝑣]: 頂点0からスタートして，頂点集合𝑆をすで に訪れ，現在頂点𝑣にいる時の最小コスト 𝑢 ? 𝑣 𝑆∖ 𝑣 𝑆 𝑑𝑝[𝑆][𝑣] = min 𝑑𝑝 𝑆 ∖ 𝑣 𝑢 + 𝑑 𝑢, 𝑣 ⁡|⁡𝑢 ∈ 𝑆 ∖ 𝑣 10
余談  2010年，特殊ケースである無向ハミルトン閉路問題 3 を𝑂 2 𝑛 時間で解くアルゴリズム[1]が開発された ∗ 4  ただし，多項式部分が大きく実用的ではない  一方，巡回セールスマン問題に対しては，先の動的 計画法よりも計算量的に優れたアルゴリズムは知ら れていない [1] Andreas Björklund: Determinant Sums for Undirected Hamiltonicity. FOCS 2010 11
何の指数？ 最大クリーク問題  頂点の部分集合𝑆で，𝑆のどの二点も辺で結ばれて いるような最大のものを求める 1 2 0 3 5 4 12
何の指数？ 最大クリーク問題  頂点の部分集合𝑆で，𝑆のどの二点も辺で結ばれて いるような最大のものを求める 1 2 0 3 5 4 13
何の指数？ 最大クリーク問題  ナイーブな解法  全ての頂点の部分集合を試す 𝑛  𝑂 2 𝑛 • 𝑛 ≤ 20 くらいまで解ける  辺の数に対しては？  実は𝑂 2 2𝑚 ⁡𝑛 で解ける • 𝑛, 𝑚 ≤ 200 くらいまで解ける 14
何の指数？ 最大クリーク問題  𝑂 2 2𝑚 ⁡𝑛 のアルゴリズム  全ての頂点の次数が2𝑚以上ならば，𝑛 ≤ 2𝑚 なので全通り試せば良い  次数 2𝑚未満の点𝑣を一つ選ぶ • 𝑣を含むクリークは𝑣の隣接点の部分集合を全て試せば 𝑂 2 2𝑚 で求まる • 𝑣を含まないクリークは𝑣を除去して再帰的に求めれば 良い  このアルゴリズムは全てのクリークを調べている  クリークの個数は高々2 2𝑚 個 15
余談  最大クリーク問題は辺の数に関して準指数時間で解 けたが，他のグラフ最適化問題も解けるのか？  実は解けないであろうと信じられている  ETH (Exponential Time Hypothesis)  3-SATを2 𝑜 𝑛 時間で解くアルゴリズムは存在しない • 𝑃 ≠ 𝑁𝑃予想の強い版  ETHの元で，様々なグラフ最適化問題が辺の数𝑚 𝑜(𝑚) について2 時間で解けないことが証明可能 16
何の指数？ グラフの「幅」  二次元の𝑤 × ℎのグリッドに，互いに隣接(8方向)しな いようにできるだけ多くの石を置く 17
何の指数？ グラフの「幅」  二次元の𝑤 × ℎのグリッドに，互いに隣接(8方向)しな いようにできるだけ多くの石を置く 18
何の指数？ グラフの「幅」  ナイーブな解法  石の置き方を全通り試す • 𝑂 2 𝑤ℎ  幅を活用した動的計画法  一番上の行から順番に決めていったとき，残りを 決めるために必要な情報は最後の𝑤 + 1マスのみ • 𝑂 2 𝑤 ⁡𝑤ℎ 19
幅を活用した動的計画法 ココより上の置き方は 残りの置き方に影響を 与えない ? この範囲のみに着目 ココより下はまだ石を 置いていない 20
余談  グラフの「幅」とは？  様々な幅が存在する • pathwidth, treewidth, branchwidth, cliquewidth, etc • それぞれの厳密な定義はここでは行わない  様々なグラフ最適化問題が，幅に関する指数時間 で解ける (FPT)  コンテストで登場するのは主にグリッドグラフ • pathwidthが小さい 21
幅が定数のグラフ  外平面グラフ  平面グラフで，全ての頂点が一つの面(外面)上に 載っている  幅が定数ならば多項式時間 3 5 1 9 7 0 4 8 2 6 22
指数の底は？ 半分全列挙，探索アルゴリズム 23
指数の底は？ 部分和問題  𝑛個の数{𝑎 𝑖 }が与えられる．ここから幾つか選んで， その総和を𝑠にすることが出来るか？ {𝑎 𝑖 } = {11, 8, 5, 13, 16, 9} s = 26 Yes (8+5+13) s = 23 No 24
指数の底は？ 部分和問題  ナイーブな解法  全ての部分集合を試す • 𝑂 2𝑛  動的計画法 • 𝑂 𝑛𝑠 , 擬多項式時間アルゴリズム – Sが小さければ効率的  半分全列挙  二つに分けてそれぞれ全通り列挙し併合 𝑛 • 𝑂 2 2 • 𝑠が非常に大きくても，𝑛 ≤ 40 くらいまで解ける 25
半分全列挙 𝑛  前半分で作れる和と後半分で作れる和をそれぞれ2 2 時間かけて求め，ソートする  {𝑎 𝑖 } = {11, 8, 5, 13, 16, 9}  前半分: {0, 5, 8, 11, 13, 16, 19, 24}  後半分: {0, 9, 13, 16, 22, 25, 29, 38}  二つの列から足して𝑠になるペアが存在するかしゃく とり法で求める  s = 26 → Yes (13+13)  s = 23 → No 26
指数の底は？ 最大独立集合問題  頂点の部分集合𝑆で，𝑆のどの二点も辺で結ばれて いないような最大のものを求める 1 2 0 3 5 4 27
指数の底は？ 最大独立集合問題  頂点の部分集合𝑆で，𝑆のどの二点も辺で結ばれて いないような最大のものを求める 1 2 0 3 5 4 28
指数の底は？ 最大独立集合問題  ナイーブな解法  全ての頂点の部分集合を試す • 𝑂 2 𝑛 ⁡𝑛 • 𝑛 ≤ 20 くらいまで解ける  探索アルゴリズム  ある頂点を使うか使わないかで分岐していく  辺で結ばれている二点を同時には選べないため， 𝑛 2 通り全てを試す必要はない  計算量の解析が非常に難しい 29
探索アルゴリズム  頂点𝑣を一つ選び，𝑣を使わないケースと使うケース に分岐する  𝑣を使わない場合，𝑣を取り除く  𝑣を使う場合，𝑣の隣接点も一緒に取り除かれる 𝑣 𝑣 𝑣 30
探索アルゴリズム  最悪ケースは・・・？  全部孤立点のとき，2 𝑛 31
探索アルゴリズム  分岐不要なケース  次数1以下の点: 必ず使うとしてよい 𝑣 𝑣 𝑢 𝑢 32
探索アルゴリズムの計算量解析  計算量は？ 𝑛  𝑛頂点の時の探索木の大きさが𝑐 で抑えられると する 𝑣を使わない場合1点減る  𝑐 𝑛 ≥ 𝑐 𝑛−1 + 𝑐 𝑛−3 が満たされれば良い 𝑣を使う場合，少なくとも3点減る  𝑂 1.466 𝑛 ⁡𝑛 が示せる  40頂点くらいあっても大丈夫 33
探索アルゴリズムの計算量解析  もっと頑張ると…  次数最大の頂点で分岐することにすれば，最大次 数が2以下のグラフ(閉路orパス)は多項式時間で 解けるので， 𝑐 𝑛 ≥ 𝑐 𝑛−1 + 𝑐 𝑛−4 𝑛  𝑂 1.381 ⁡𝑛 が示せる  最悪ケースは・・・？  よく分からない 34
余談  現在計算量的に最もよい最大独立集合のアルゴリズ ムは𝑂∗ (1.212 𝑛 )[2]，次数3以下に制限したグラフで は𝑂∗ 1.089 𝑛 [3]が示されている  解析が非常に複雑  ある種の最適化問題をコンピュータを用いて解くこ とで行なっている  一般に探索アルゴリズムの実際の計算量と証明でき る計算量の間には大きな開きがあり，証明できなくて も実際には非常に高速であることが多い [2] Nicolas Bourgeois et al.: Fast Algorithms for max independent set. Algorithmica 62(1-2) (2012) [3] Mingyu Xiao: A Simple and Fast Algorithm for Maximum Independent Set in 3-Degree Graphs. WALCOM 2010 35
余談  SETH (Strong Exponential Time Hypothesis)  SATを𝑂 2− 𝜖 𝑛 時間で解くアルゴリズムは存在 しない • ETHの更に強い版  SETHの仮定のもので，様々な問題に対して計算量の 下界を証明できる  下界と上界が一致する問題はあまりない • 帰着により問題サイズが大きくなるため 36
FPTアルゴリズム FPTとは，有界探索木，カーネル 37
FPTアルゴリズム  FPTアルゴリズムとは？  FPT: Fixed Parameter Tractable  入力サイズとは独立なパラメータ𝑘に関してのみ指 数時間のアルゴリズム • 計算量の例: 𝑂 2 𝑘 ⁡𝑛 など • パラメータの例: グラフの幅，解の大きさ，など 38
FPT: 最小頂点被覆問題  頂点の部分集合𝑆で，どの辺もその端点の少なくとも 一方が𝑆に属しているような最小のものを求める 1 2 0 3 5 4 39
FPT: 最小頂点被覆問題  頂点の部分集合𝑆で，どの辺もその端点の少なくとも 一方が𝑆に属しているような最小のものを求める 1 2 0 3 5 4 40
FPT: 最小頂点被覆問題  最大独立集合に帰着  𝑆が頂点被覆⇔𝑉 ∖ 𝑆が独立集合 𝑛  探索アルゴリズムを用いて𝑂 𝑐 で解ける  𝑆 ≤ 𝑘の頂点被覆が存在するか判定  ナイーブな解法 • 全ての選び方を試す • 𝑂 𝑛 𝑘+1  有界探索木 • 𝑂 2 𝑘 𝑛 で解ける (FPT) • グラフが大きくてもあまり問題無い 41
有界探索木  辺𝑒 = 𝑢, 𝑣 を一つ選び，𝑢を使うケースと𝑣を使う ケースに分岐する  𝑒を被覆するためには，必ずどちらかは使う必要が ある  𝑢を使う場合，𝑢と隣接する辺を取り除き，𝑘を1減ら す 𝑢 𝑢 𝑢 𝑣 𝑣 𝑣 42
有界探索木  毎回𝑘は1減るため，探索木の深さは高々𝑘  計算量は𝑂 2 𝑘 ⁡𝑛  最大独立集合の探索アルゴリズムのときと同様に，𝑘 の底をもっと小さくすることが可能  𝑂 1.466 𝑘 ⁡𝑛  1000頂点のグラフから，サイズ30以下の頂点被覆 を求めることが可能 43
有界探索木  分岐不要なケース  次数1以下の点: 除去して良い 𝑣 𝑣 𝑢 𝑢 44
有界探索木  頂点𝑣を一つ選び，𝑣を使わないケースと使うケース に分岐する  𝑣を使わない場合，𝑣の隣接点を全て使う  𝑣を使う場合，𝑣と接続する辺を取り除く 𝑣 𝑣 𝑣 45
FPT: カーネル  最大独立集合の探索アルゴリズムに加え，サイズ𝑘 以下の解が欲しいので，以下のルールを追加できる  分岐不要なケース  次数𝑘 + 1以上の点: 必ず使うとしてよい • 使わない場合，隣接する𝑘 + 1点を使う必要がある  このルールを繰り返し適用した後，全ての頂点の次 数は𝑘以下となり，もし辺数が𝑘 2 より多ければ，その 時点で解が存在しないことがわかる 46
FPT: カーネル  つまり，𝑂(𝑘𝑛) 時間の前処理で，𝑛′ ≤ 2𝑘 2 , 𝑘 ′ ≤ 𝑘の 問題に変換することが出来る  この前処理を行った後で，有界探索木法を用いれ 𝑘 2 ば，全体の計算量は 𝑂 1.466 ⁡𝑘 + 𝑘𝑛  100万頂点のグラフから，サイズ30以下の頂点被 覆を求めることが可能！  このように，多項式時間の前処理を行うことで，問題 サイズを𝑘の関数𝑓(𝑘)以下にまで小さくする手法を カーネライズと呼び，小さくなった問題をカーネルと呼 ぶ 47
余談  ある問題がFPTであることと，カーネライズできること は同値  ⇒: 𝑓 𝑘 𝑝 𝑛 で解けるとき，𝑛 ≤ 𝑓 𝑘 ならばサイズ 𝑓(𝑘)のカーネルが存在し，𝑛 > 𝑓(𝑘)ならば 𝑓 𝑘 𝑝 𝑛 は𝑛に関する多項式時間なので前処理 の中で完全に解くことが出来る  ⇐: カーネルを愚直に解けばよい  ただし，指数サイズのカーネルなので実用上は役に 立たず，多項式サイズのカーネルがあるかはまた別 の問題 48
余談  現在計算量的に最も優れた最小頂点被覆のFPTアル ゴリズムは，𝑂 1.2738 𝑘 + 𝑘𝑛 ，カーネルサイズは2𝑘 のものが得られている[4]  大きさ𝑘の独立集合やクリークを求める問題は𝑘に対 してFPTでないと考えられている  W[1]-complete [4] Jianer Chen et al.: Improved upper bounds for vertex cover. Theor. Comput. Sci. 411(40-42) (2010) 49
FPT: シュタイナー木問題  辺の部分集合であって，与えられた𝑘点のターミナル を連結にする最小のものを求める t t t t 50
FPT: シュタイナー木問題  辺の部分集合であって，与えられた𝑘点のターミナル を連結にする最小のものを求める t t t t 51
FPT: シュタイナー木問題  おそらく，コンテストで最もよく出題されているFPTの 問題  ターミナル数𝑘に関してFPT  動的計画法を用いて𝑂 3 𝑘 𝑛 + 2 𝑘 𝑚 で解ける 52
動的計画法  𝑑𝑝 𝑆 𝑣 : ⁡ターミナル集合𝑆と頂点𝑣を連結にする 最小の辺数 (𝑣はターミナルに限らない) 𝑢 𝑣 𝑣 ? 𝑇 ? ? 𝑆∖ 𝑇 𝑆 𝑑𝑝 𝑆 𝑣 = min⁡ min 𝑑𝑝 𝑆 𝑢 + 1| 𝑢, 𝑣 ∈ 𝐸 , ( ※ループしているので min 𝑑𝑝 𝑇 𝑣 + 𝑑𝑝 𝑆 ∖ 𝑇 𝑣 𝑇 ⊆ 𝑆}) 幅優先で行う 53
包除原理 数え上げ，畳込み 54
包除原理  𝑓 𝑆 = 𝑔(𝑇) , 𝑔 𝑆 = −1 𝑆 −|𝑇| 𝑓(𝑇) 𝑇⊆𝑆 𝑇⊆𝑆  指数時間アルゴリズムにおいて，包除原理は非常に 強力なツール  応用例  ハミルトンパスを多項式空間で  グラフ彩色問題  動的計画法を高速化 (畳込み) 55
包除原理  𝑓 𝑆 = 𝑔(𝑇) , 𝑔 𝑆 = −1 𝑆 −|𝑇| 𝑓(𝑇) 𝑇⊆𝑆 𝑇⊆𝑆 𝑆 −|𝑇|  𝑔 𝑆 = 𝑇⊆𝑆 −1 𝑋⊆𝑇 𝑔(𝑋) 𝑆− 𝑇 = 𝑋⊆𝑆 𝑋⊆𝑇⊆𝑆 −1 𝑔(𝑋) = 𝑔(𝑆)  𝑔を計算したいが，直接は難しい時に，その和𝑓を 計算することが出来れば2 𝑛 回𝑓を計算することで𝑔 が求まる  𝑔 → 𝑓: ゼータ変換，𝑓 → 𝑔: メビウス変換 • どちらも2 𝑛 で計算できる • 高速ゼータ・メビウス変換 56
包除原理: ハミルトンパス  ハミルトンパスを求めるのは難しいが，長さ𝑛 − 1の (単純とは限らない)𝑠−𝑡パスの個数を求めるのは簡単  単純な動的計画法で求まる  𝑔 𝑆 ≔ 𝑆のみを通り，かつ𝑆を全て通る長さ𝑛 − 1の 𝑠−𝑡パスの個数  𝑔(𝑉) := 𝑠−𝑡ハミルトンパスの個数  𝑓 𝑆 = 𝑇⊆𝑆 𝑔(𝑇)  𝑆のみを通る長さ𝑛 − 1の𝑠−𝑡パスの個数  𝑂 2 𝑛 ⁡𝑛𝑚 time, 𝑂(𝑛) space 57
包除原理: 彩色数  隣接する頂点が異なる色となるように彩色するため に必要な最小色数を求める 1 2 0 3 5 4 58
包除原理: 彩色数  隣接する頂点が異なる色となるように彩色するため に必要な最小色数を求める 1 2 0 3 5 4 59
包除原理: 彩色数  ナイーブな方法  色の塗り方を全通り試す 𝑛  𝑂 𝑘 , k:答え  動的計画法  一色ずつ一気に塗る  𝑑𝑝[𝑆]: 𝑆を彩色する最小色数 • 𝑑𝑝 𝑆 = min 𝑑𝑝 𝑇 + 1⁡ ⁡ 𝑆 ∖ 𝑇が独立集合}  𝑂 3𝑛  包除原理 𝑛  𝑂 2 ⁡𝑛 で解ける 60
包除原理: 彩色数  グラフ𝐺 = (𝑉, 𝐸)が𝑘彩色可能⇔𝑉を𝑘個の独立集合 で被覆できる  独立集合から𝑘個選んで𝑉を覆う方法の総数を数 えることが出来れば良い  𝑔 𝑆 ≔ 独立集合から𝑘個選んでSをちょうど覆う方法 の総数  𝑓 𝑆 = 𝑇⊆𝑆 𝑔(𝑇)  𝑆の部分集合で独立なもの𝑘個選ぶ方法の総数 61
包除原理: 彩色数  𝐼 𝑆 : 𝑆の部分集合で独立なものの個数とすると， 𝑓 𝑆 = 𝐼 𝑆 𝑘  𝐼 𝑆 = 𝐼 𝑆∖ 𝑣 + 𝐼 𝑆 ∖ 𝑁 𝑣 という漸化式から 𝑂(2 𝑛 𝑛)時間で全ての𝑆 ⊆ 𝑉について計算可能  実は，彩色方法の総数を求めることも可能  𝑔 𝑆 ≔ 独立集合から𝑘個，サイズの総和が𝑛と なるように選んでSをちょうど覆う方法の総数  𝑓(𝑆)の計算はDPをすればよい 62
包除原理: 高速ゼータ変換 𝑓𝜁 𝑆 = 𝑓 𝑇 𝑇⊆𝑆 𝑣を含まない 𝑓1 𝑔1 𝑔1 = 𝑓1 𝜁 これを再利用すればよい 𝜻 𝑣を含む 𝑓2 𝑔2 𝑔2 = 𝑓1 𝜁 + 𝑓2 𝜁 𝑓 𝑔 63
包除原理: 畳込み  関数𝑓(𝑆), 𝑔(𝑆)から 𝑓∘ 𝑔 𝑆 = 𝑓 𝑇 𝑔(𝑆 ∖ 𝑇) 𝑇⊆𝑆 を計算する操作を畳込みと呼ぶ  単純には𝑂 3 𝑛 で可能  実は𝑂 2 𝑛 で行うことが出来る  これを応用すると，色々な部分集合に対するDPを高 速化することができる 𝑘 𝑘  例: シュタイナー木を3 から2 に min 𝑑𝑝 𝑇 𝑣 + 𝑑𝑝 𝑆 ∖ 𝑇 𝑣 𝑇 ⊆ 𝑆} 64
包除原理: 畳込み 𝑓∘ 𝑔 𝑆 = 𝑓 𝑇 𝑔(𝑆 ∖ 𝑇) 𝑇⊆𝑆 𝑣を含まない ℎ1 = 𝑓1 ∘ 𝑔1 𝑓1 𝑔1 ℎ1 ℎ2 = 𝑓1 ∘ 𝑔2 + 𝑓2 ∘ 𝑔1 𝑣を含む 𝑓2 𝑔2 ℎ2 𝑓 𝑔 𝑓∘ 𝑔 65
包除原理: 畳込み  ℎ1 = 𝑓1 ∘ 𝑔1 , ℎ2 = 𝑓1 ∘ 𝑔2 + 𝑓2 ∘ 𝑔1  半分の大きさのを3回計算するので3 𝑛  なんとか2回でできないか？  ℎ2 𝑥 + 𝑓2 ∘ 𝑔2 𝑥 2 = 𝑓1 + 𝑓2 𝑥 ∘ 𝑔1 + 𝑔2 𝑥 − ℎ1  値を𝑥の多項式に拡張: 𝑓𝑥 𝑆 = 𝑓 𝑆 𝑥  𝑓 ∘ 𝑔の代わりに， 𝑓 ∘ 𝑔 𝑥 + ゴミ𝑥 を求めること 2 ができた 𝑛  気にせず進めると最終的に 𝑓 ∘ 𝑔 𝑥 + ゴミ が得られ，ゴミの項は𝑥 𝑛+1 以上なので𝑥 𝑛 の係数を 取り出せば良い 66
包除原理: 畳込み {} 1 2 {0} 3 3 {1} 2 1 {0,1} 4 4 𝑓 𝑔 67
包除原理: 畳込み {} 1 2 1 2 {0} 3 3 3 3 {1} 2 1 1 + 2𝑥 2+ 𝑥 {0,1} 4 4 3 + 4𝑥 3 + 4𝑥 𝑓 𝑔 68
包除原理: 畳込み 2 {} 1 2 1 2 (1 + 3𝑥)(2 {0} 3 3 3 3 + 3𝑥) {1} 2 1 1 + 2𝑥 2+ 𝑥 2 + 5𝑥 + 2𝑥 2 {0,1} 4 4 3 + 4𝑥 3 + 4𝑥 (1 + 5𝑥 + 4𝑥 2 )(2 + 4𝑥 + 4𝑥 2 ) 𝑓 𝑔 69
包除原理: 畳込み 2 {} 1 2 2𝑥 (1 + 3𝑥)(2 {0} 3 3 9𝑥 + 9𝑥 2 + 3𝑥) {1} 2 1 2𝑥 + 5𝑥 2 + ⋯ 2 + 5𝑥 + 2𝑥 2 {0,1} 4 4 (1 + 5𝑥 9𝑥 + 30𝑥 2 + ⋯ + 4𝑥 2 )(2 + 4𝑥 + 4𝑥 2 ) 𝑓 𝑔 70
包除原理: 畳込み 2 2 {} 2𝑥 2𝑥 (1 + 3𝑥)(2 2 2 + 3𝑥) {0} 9𝑥 + ⋯ 9𝑥 + 9𝑥 {1} 5𝑥 2 + ⋯ 2 + 5𝑥 + 2𝑥 2 2𝑥 + 5𝑥 2 + ⋯ {0,1} 21𝑥 2 + ⋯ (1 + 5𝑥 9𝑥 + 30𝑥 2 + ⋯ + 4𝑥 2 )(2 + 4𝑥 + 4𝑥 2 ) 𝑓∘ 𝑔 71
包除原理: 畳込み {} 1 2 2 {0} 3 3 9 {1} 2 1 5 {0,1} 4 4 21 𝑓 𝑔 𝑓∘ 𝑔 72
余談  包除原理の指数時間アルゴリズムへの適用は2006 年に彩色問題に適用[5]されてから非常に研究が進 んだ  シュタイナー木問題は畳込みを経由せずに直接的に 包除原理を用いて 2 𝑘 で解くことも可能[6]  畳込みはゼータ・メビウス変換で考えても良い  FFT，逆FFTみたいな感じ  先の解説は高速行列積のアルゴリズムを元にした [5] Andreas Björklund, Thore Husfeldt: Inclusion--Exclusion Algorithms for Counting Set Partitions. FOCS 2006 [6] Jesper Nederlof: Fast Polynomial-Space Algorithms Using Möbius Inversion: Improving on Steiner Tree and Related Problems. ICALP 2009 73
おまけ 74
おまけ: 完全マッチングの個数 𝑛  完全マッチングの個数は𝑂∗ 2 で求めることが可能 2 1 2 0 3 5 4 [7] Andreas Björklund: Counting perfect matchings as fast as Ryser. SODA 2012 75
おまけ: 完全マッチングの個数 𝑛  完全マッチングの個数は𝑂∗ 2 で求めることが可能 2 1 2 0 3 5 4 [7] Andreas Björklund: Counting perfect matchings as fast as Ryser. SODA 2012 76
おまけ: 完全マッチングの個数 𝑛  完全マッチングの個数は𝑂∗ 2 で求めることが可能 2 1 2 0 3 5 4 [7] Andreas Björklund: Counting perfect matchings as fast as Ryser. SODA 2012 77
おまけ: 完全マッチングの個数 𝑛  完全マッチングの個数は𝑂∗ 2 で求めることが可能 2 1 2 0 3 5 4 [7] Andreas Björklund: Counting perfect matchings as fast as Ryser. SODA 2012 78
おまけ: 完全マッチングの個数  頂点を二つ取り除き，ラベルに置き換える 1 2 0 3 5 4 79
おまけ: 完全マッチングの個数  マッチングにラベルaのついた辺25を使う→元のグラ フで辺05,12を使う 2 ※ラベル無しの辺と 1 ラベルaの辺があるの意味 ε+a ε+a a 3 0 5 4 ε+a 80
おまけ: 完全マッチングの個数  もとのグラフでの完全マッチングの個数=新しいグラ フでラベルaをちょうど一回使う完全マッチングの個数 2 1 ε+a ε+a a 3 0 5 4 ε+a 81
おまけ: 完全マッチングの個数  もとのグラフでの完全マッチングの個数=新しいグラ フでラベルabをちょうど一回ずつ使う完全マッチング の個数 2 1 ε+b ε+a 0 3 5 4 ε+a+b+ab 82
おまけ: 完全マッチングの個数  もとのグラフでの完全マッチングの個数=新しいグラ フでラベルabcをちょうど一回ずつ使う完全マッチング の個数 → これは包除原理で2 𝐿 で求まる (𝐿 = 𝑛 ) 2 2 1 ε+b ε+a 4通り！ 0 3 5 4 ε+c+ac+bc+abc 83
おまけ: Color Coding  k-Cycle  グラフに長さ𝑘の単純な閉路が含まれるか判定し たい  𝑘 = 𝑛のときハミルトン閉路問題  ナイーブな解法: 𝑂 𝑛𝑘  FPT: 𝑂 2𝑒 𝑘 𝑚 で解ける 3 𝑘  余談: 現在最速は2 4 84
おまけ: Color Coding  頂点をランダムに𝑘色で塗り，各色をちょうど一度ず つ通る閉路があるか調べる 1 2 0 3 5 4 85
おまけ: Color Coding  頂点をランダムに𝑘色で塗り，各色をちょうど一度ず つ通る閉路があるか調べる  これは単純なDPで𝑂 2 𝑘 ⁡𝑚 で解ける  ある長さ𝑘に閉路上の頂点が全て異なる色で塗られ 𝑘! る確率は， 𝑘 𝑘 ≈ 2𝜋𝑘𝑒 −𝑘  𝑒 𝑘 回繰り返せば十分な確率で正しく求まる 86
おまけ: Bandwidth  頂点を一列に並べ，一番長い辺の長さを最小化する 0 1 2 1 0 5 3 2 5 4 4 3 87
おまけ: Bandwidth  ナイーブな解法: 𝑛!  とても賢い動的計画法を用いると5 𝑛 で解ける  k以下の解があるかを判定して二分探索する [8] Marek Cygan, Marcin Pilipczuk: Even Faster Exact Bandwidth. ACM Transactions on Algorithms 8(1) (2012) 88
おまけ: Bandwidth  1～𝑛を𝑘 + 1個ずつに区切る 1 2 3 4 5 6 7 8 9  頂点をどの区間に割り当てるか全通り試す  隣接する頂点は，同じ区間か隣の区間にしか入れ 𝑛 ないので高々3 通り  1 → 𝑘 + 2 → ⋯ → 2 → 𝑘 + 3 → ⋯ という順に頂点を 置いていく 89
おまけ: Bandwidth  すでに置いた頂点の並び順は無視することができる 1 2 3 4 5 6 7 8 9 距離2以下の区間  よってどの頂点を置いたかで2 𝑛 のDPが可能  区間への割り当てとDPでの状態を同時に考えると実 は状態数は5 𝑛 しかないことが示せる 90
おまけ: Cut & Count  グリッドグラフ上のシュタイナー木問題 𝑤  幅wに対して𝑐 で解きたい t t t 91
おまけ: Cut & Count  グリッドグラフ上のシュタイナー木問題 𝑤  幅wに対して𝑐 で解きたい t t t 92
おまけ: Cut & Count  グリッドグラフ上のシュタイナー木問題 𝑤  幅wに対して𝑐 で解きたい  ナイーブにやると，どことどこがつながっているか 𝑤 の情報が必要→𝑤 とかになってしまう  Cut & Count  包除原理的なキャンセリング手法を用いる [9] Marek Cygan et al.: Solving Connectivity Problems Parameterized by Treewidth in Single Exponential Time. FOCS 2011 93
おまけ: Cut & Count  連結な解を求めるのではなく，解とその頂点を二つ のバッグに分割する方法のペアの総数を数える  ただし，ある頂点はバッグ1に必ず入れる  連結ならば分け方は一通り  非連結ならば分け方は偶数通り 0 0 94
おまけ: Cut & Count  連結な解を求めるのではなく，解とその頂点を二つ のバッグに分割する方法のペアの総数を数える  ただし，ある頂点はバッグ1に必ず入れる  連結ならば分け方は一通り  非連結ならば分け方は偶数通り  解が奇数個ならば，正しく求まる  偶数個ある場合は，ランダムに重み付けすると十 分な確率で奇数にできる (Isolation Lemma) 95
おまけ: Iterative Compression  Feedback頂点集合問題  グラフから𝑘点取り除いて木にできるか判定 1 2 0 3 5 4 96
おまけ: Iterative Compression  Feedback頂点集合問題  グラフから𝑘点取り除いて木にできるか判定 1 2 0 3 5 4 97
おまけ: Iterative Compression  頂点{𝑣1 , … , 𝑣 𝑖−1 }からなるグラフ𝐺 𝑖−1 に対する解𝐹𝑖−1 から頂点𝑣 𝑖 を追加したグラフ𝐺 𝑖 に対する解𝐹𝑖 を構築す る  𝐹 𝑖−1 ∪ 𝑣 𝑖 の大きさは高々𝑘 + 1で，これを𝐺 𝑖 から 取り除くと残りは木になる  つまり，木幅が小さい • Cut & Countを用いると3 𝑘 時間でサイズ𝑘の解が求まる 𝐺𝑖 𝐺 𝑖−1 𝑣𝑖 𝐹𝑖−1 木 98

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