様々な全域木問題

2013 年 3 月 20 日＠ NTT DATA 駒場研修センター
第 12 回日本情報オリンピオック春季トレーニング合宿

様々な全域木問題

前原貴憲 (@tmaehara)

国立情報学研究所

自己紹介

• 前原貴憲（まえはらたかのり）
• Twitter: @tmaehara
• Web: http://www.preﬁeld.com (Spaghetti Source)

• 略歴：
2004 沼津工業高等専門学校卒
2007 東京大学工学部計数工学科卒
2012 東京大学大学院情報理工学系研究科卒
現在国立情報学研究所

• 専門分野：連続・離散最適化，数値計算

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全域木問題

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木・全域木
• 無向グラフ G = (V, E)，枝重み w : E → R
– V ：頂点集合，E ：枝集合
※基本的に連結なグラフだけ考える

– 木（tree）：閉路のない連結部分グラフ（枝集合）
– 森（forest）：閉路のない部分グラフ（木の集まり）

– 全域木（spanning tree）：すべての頂点を繋ぐ木

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全域木に関する問題はとても多い！
しかも効率的に解ける問題がわりと多い
→ 効率的解法のテンプレ

• 全域木存在判定 • 最速全域木
• 最小全域木 • ロバスト最小全域木
• 最小比全域木 • 次数制約付全域木
• 凸最小全域木 • 葉最多全域木
• 逆最小全域木 • 確率的全域木
• 最小直径全域木 • 最小ラベル全域木
• 第 k 最小全域木 • シュタイナー木
.
• 最小全域有向木 .
.
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この講義の目標

• マイナーな全域木問題を題材にして

• 解ける問題の解法パターンを理解する

題材
• 最小全域木
• 最小直径全域木
• 葉指定最小全域木
• 逆最小全域木
• 最小比全域木
• 最小全域木 ×2
• 第 k 最小全域木
(EASY MEDIUM HARD)
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だいぶ難しい内容なので

全部理解できなくても大丈夫！

• 問題の定義・解法の方針が分かれば上出来
• 細かい部分が気になったら調べましょう（see: 参考文献）

【前提知識】
秋葉・岩田・北川：プログラミングコンテストチャレンジブック
Cormen-Leiserson-Rivest-Stein：アルゴリズムイントロダクション

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最小全域木

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最小全域木
• 入力
重み付きグラフ G = (V, E), w : E → R

• 問題：
重み和が最小の全域木を求めよ

3
1
1 2 3
2
2

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最小全域木
• 入力

• 問題：

3
1
1 2 3
2
2

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最小全域木
• 入力：

• 問題：

• 解答：貪欲法（Kruskal）
1. 枝の軽い順に採用していく
2. ただし，閉路ができる場合は無視

Q. なぜ貪欲で解けるか？（→ どこまで拡張できるか？）

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最適化問題を考える際の基本
{∑
e∈X w(e) 閉路なし
f (X) :=
+∞ 閉路あり

• 全部の X を調べると O(2m ) 時間
• もし f が良い不等式を満たすなら
全部調べなくても，一部だけ調べれば十分！

• 一番扱いやすい不等式：凸不等式（２つの解 ≥ 間の解）

Y f (X) + f (Y )
X
≥ 2f ((X + Y )/2)

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最小全域木問題の凸不等式
{∑
f (X) :=
+∞ 閉路あり

任意の e ∈ X Y に対し，e′ ∈ Y X がとれて
f (X) + f (Y ) ≥ f (X − e + e′ ) + f (Y + e − e′ )
-
Y Y ?
X-

e′ 6

X
e
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凸不等式が成り立つこと（左辺有限 ⇒ 右辺有限）
f (X) + f (Y ) ≥ f (X − e + e′ ) + f (Y + e − e′ )

e

≥
e′

（よくある教科書の証明は，中でこれを示している）
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凸不等式を使った証明
T ∗ 最適解，T 貪欲解について凸不等式を書く
f (T ) + f (T ∗ ) ≥ f (T − e + e′ ) + f (T ∗ + e − e′ )
∴ f (T ) ≥ f (T − e + e′ ) ∴ w(e) ≥ w(e′ )
- で成立：貪欲で e を追加したところに矛盾
- = で成立：T ∗ + e − e′ を T ∗ として繰り返す
→ 最終的に T = T ∗ になって証明完了

☆この証明が動くことが凸のうれしさ

☆一般に，この凸不等式を満たす関数は
貪欲で最小化可能（ → 離散凸）

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最小全域木まとめ

• 最小全域木問題は貪欲で解ける

関数が満たす不等式を考える
特に凸不等式が成り立つとハッピー

凸不等式が成り立てば貪欲で解ける
（「貪欲」１ステップが複雑な場合も；後述）

（例：w(X)2 の最小化など：凸不等式成立なので貪欲）

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葉を指定した最小全域木

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葉を指定した最小全域木
• 入力
重み付きグラフ G = (V, E), w : E → R+
頂点の部分集合 U ⊆ V

• 問題：
U が葉である全域木の中で，重み和最小のもの

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グラフ問題の大原則：頂点問題 vs 枝問題

• 頂点に対する問題は解きにくい
• 枝に対する問題は解きやすい

頂点に対する問題枝に対する問題
ハミルトンパスオイラーパス
頂点被覆枝被覆
.
. .
.
. .

葉を指定した最小全域木：
「U を葉にする」（頂点条件）を枝条件で書き換える

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頂点条件を枝条件で書き換える
(1) U 同士を繋ぐ枝を使わない
U を葉にする ⇐⇒ (2) U とそれ以外を繋ぐ枝を
|U | 本以上使わない
(1)：U 同士を繋ぐ枝は先に除去
(2)：全域木は少なくとも |U | 本 (2) 型の枝を使う
⇒ U の枝はできるだけ使わないようにする

∴ Kruskal 法の最初の枝ソートの部分を以下のように修正
(1) U 以外を繋ぐ枝（重み順ソート）
(2) U と U 以外を繋ぐ枝（重み順ソート）

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葉を指定した最小全域木まとめ

• 頂点条件を枝条件に書き換える
– U を葉にせよ ⇒ U と接続する枝を減らせ
⇒ Kruskal の変形版が適用可能

基本的に「頂点は難しい / 枝は簡単」

⇒ できるだけ枝条件であらわすようにする
（例：最長しりとり：文字列を枝に対応させる（オイラー路）
頂点に容量のある最大流：頂点を増やして枝容量に）
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最小比全域木

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最小比全域木
• 入力：
２種類の重み付きグラフ
G = (V, E), w1 , w2 : E → R0
• 問題：
w1 (T )
重み比を最小化する全域木を出力
w2 (T ) ∑
wi (X) = e∈X wi (X)

TCO06 Finals (Div.1 Lv.3) PhoneNetwork
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パラメタを用いた分数関数の凸化
{
w1 (X)/w2 (X) 閉路なし
f (X) :=
+∞ 閉路あり

そのままでは凸っぽくないので・・・
f = t の分母を払った関数 gt （t を止めたら凸）
：
{
w1 (X) − tw2 (X) 閉路なし
gt (X) :=
+∞ 閉路あり

gt (X) ≤ 0 ⇐⇒ f (X) ≤ t
gt (X) ≥ 0 ⇐⇒ f (X) ≥ t

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パラメトリックアプローチ
f ：分数関数，g(t) = minT {w1 (T ) − tw2 (T )}

(1) min f (T ) = t∗ ⇐⇒ g(t∗ ) = 0
(2) g(t) は t の単調減少凹関数
（負の傾きの直線の min ）

g(t) 6

∗
-t
0 t
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g のゼロ点の計算方法
Find 0 = g(t∗ ), g(t) = minT {w1 (T ) − tw2 (T )}
• 方法１：二分探索
ゼロと大小比較して範囲を絞っていく

• 方法２：Dinkelbach の方法
(1) g(t(k) ) を計算，最小を与える解を T (k+1) とおく
(2) t(k+1) := w1 (T (k+1) )/w2 (T (k+2) ) と設定
（g(t) を支える直線に沿って進む）

☆ Dinkelbach は常に収束，高速（実用的＆理論的）
☆数値精度の問題が発生しづらい
☆実装難度は二分探索と大差なし

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最小比全域木まとめ
f (T ) := w1 (T )/w2 (T )

⇒ g(t) := min{w1 (T ) − tw2 (T )}
T

• f にパラメタを入れて凸化
– g(t∗ ) = 0 ⇐⇒ min f (T ) = t∗ .
– g(t) は単調減少凹関数
• 二分探索 or Dinkelbach の方法

「比の最小化」は，ほぼこのパターンで解ける

何かを止めたら凸になるパターンは多い（解けるかは別）
（例：分散最小全域木 = 平均をパラメタにすると凸）
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第 k 最小全域木

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第 k 最小全域木
• 入力：
正整数 k

• 問題：
重み和が k 番目に小さな全域木を出力
（注意：k = 1 のとき最小全域木）

ヒント 1：1 番目，2 番目，…と順番に求める
ヒント 2：同じ計算が多いので前処理する

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簡単のため：第 2 最小全域木
(1) MST を計算
(2) MST の枝を 1 本使用禁止にして再び MST 計算
MST のすべての枝 n 通りについて実行して min をとる
正当性：
•「2ndMST で使わない 1stMST の枝」が少なくとも 1 本存在
⇒ 「使わない枝」を禁止すると 2ndMST が出る
（どれが「使わない枝」か不明なので全部試す）

これを繰り返すと第 k も求まる！

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第 k 最小全域木：優先度付き探索

Q ← (∅, MST)
while Q ̸= ∅
(banList, spanningTree) ← Q
print (spanningTree)
for each e in spanningTree:
newList ← banList ∪ {e}
newTree ← MST(newList)
Q ← (newList, newTree)

計算量：だいたい O(kmnα(n) + m log n)
同じ計算を何度もしているので，効率化できそう
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前処理 1：絶対使う枝は縮約する
T ：全域木，枝 e ∈ T の交換可能枝C(e)：
C(e) = {e′ ̸∈ T : T − e + e′ は全域木 }
⇐⇒ e′ の両端をつなぐ T 上の経路に e がある

全域木 T で枝 e を禁止するときの不可避なロス
mine′ ∈C(e) w(e) − w(e′ )
∴ 最小全域木中のロスが小さな k 本以外の枝は絶対使う
→ 先に縮約して k 頂点のグラフにしておく
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前処理 2：絶対使わない枝は捨てる
T ：全域木，枝 e′ ̸∈ T の交換可能枝C(e′ )：
C(e′ ) = {e ∈ T : T − e + e′ は全域木 }
⇐⇒ e′ の両端をつなぐ T 上の経路の枝

全域木 T で枝 e′ と交換するときの不可避なロス
mine∈C(e′ ) w(e) − w(e′ )
∴ 最小全域木外のロスが小さな k 本以外の枝は使わない
→ 先に捨てて 2k − 1 枝グラフにしておく
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不可避ロスの計算
前処理 1：e ∈ T を禁止するときのロス計算
前処理 2：e′ ̸∈ T を使うときのロス計算

• 最小全域木上で経路クエリができれば OK
前処理 1：e′ の両端経路上の枝について w(e′ ) で更新
前処理 2：e′ の両端経路上の枝について min w(e) を取得

• 木上の経路クエリ：
動的木・heavy-light 分解・etc... O(log n)
「完全制覇・ツリー上でのクエリ処理技法」参照
（2011 年 Competitive Programming Advent Calendar ＠秋葉）

前処理 1,2 のどちらも，O(m log n) で計算可能

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第 k 全域木まとめ
• 前処理 1 で k 頂点に減らす
• 前処理 2 で 2k − 1 枝に減らす
→ 最小全域木上の経路クエリ
• 優先度付き探索 O(k2 α(k) + n log n)

k-best 問題の基本は優先度付き探索 + 枝刈り
優先度付き探索の部分は使いまわせる
枝刈りの部分は問題特有になりがち
（「絶対使わない部分」「絶対使う部分」に注目）
（最短路：USACO 2006 November Gold Roadblocks,
ICPC 2006 Asia Enjoyable Commutation）
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最小直径全域木

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最小直径全域木
• 入力
重み付きグラフ G = (V, E), w : E → R+

• 問題：
全域木 T で，直径が最小のもの
（木の直径：二点対間距離の最大値）

ヒント：
「グラフのどまんなか」を探す
⇒ 「どまんなか」からの最短路木 = 最小直径全域木

SPOJ PT07C: The GbAaY Kingdom
SPOJ MDST: Minimum Diameter Spanning Tree
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グラフの絶対中心
グラフ G の絶対中心：maxv∈V d(c, v) が最小の点

絶対中心は頂点ではない可能性がある

6
c

絶対中心からの最短路木 = 最小直径全域木

⇒ どの枝の内側に絶対中心があるかを全部試す

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枝の内点からの距離
枝 (u, v) の内点 c から w への距離：d(c, u) = t として
gw (t) = min{t + d(u, w), d(u, v) − t + d(v, w)}
c からの最遠頂点までの距離
g(t) = max gw (t)
w∈V

g(t) の最小値 = (u, v) 間に中心があるとしたときの半径
∴ すべての枝について，g(t) の最小値を計算すればいい！
w

u t v
6
c
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gw (t) の形；枝 (u, v) 内点から w への距離
g(t) = max gw (t)
w∈V

傾き 1 と −1 の直線の min

gw (t) 6

d(u, w)
d(v, w)
-t
0 d(u, v)

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min g(t) の計算；枝 (u, v) 内からの最小径
g(t) = max gw (t)
w∈V

∧ 型の端点を計算（切片でソート）
→ 上包絡線の一番低い点を出力 O(n log n)
g(t) 6

-t
0 d(u, v)

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最小直径全域木まとめ
• 最小直径全域木 = 絶対中心からの最短路木
• 絶対中心の探索：∧ 型の端点（一次関数の交差）
計算量：

• 前処理：全点対間最短路 O(n3 ) （Floyd Warshall）
• 端点計算： O(mn)
（切片のソートは最短路計算のときに一緒に行える）

やや珍しいパターン
（例：施設配置問題；グラフの絶対中央値）

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逆最小全域木

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問題：逆最小全域木
• 入力：
全域木 T

• 問題：
T が最小全域木になるような最小重み修正：
- T は重み w + p のときの最小全域木，
∑
- e |p(e)| 最小化

ヒント 1：T が MST であるための必要十分条件
ヒント 2：最低限必要な修正量を計算

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最小全域木の必要十分条件（最適性基準）
{∑
f (X) :=
+∞ 閉路あり

全域木 T が MST ⇐⇒ 任意の e ∈ T, e′ ̸∈ T について
f (T − e + e′ ) ≥ f (T )
=⇒ w(e)≤ w(e′ ) (e, e′ : 交換可能)
（どの交換可能枝を交換しても得しない）

- 得したら最小でないのは当然
⇒ 得する分だけは最低限修正が必要

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最低限必要な修正量
最低限必要な修正量は２部グラフマッチングでわかる

２部グラフ B = ({T, E T }, A)：

e, e′ 間に辺がある
⇐⇒ e, e′ は交換可能
（重み = 交換したときの得）

T ET マッチング = その対を同時に交換

最大重みマッチングの分だけは，絶対修正が必要
（負の辺 = 交換して損する辺は除いておく）

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逆全域木問題の最大最小定理

min 重み変更量 = max マッチング

≥ は簡単（前ページ）
≤ は難しい；当面そういうものと覚えてもよい

e, e′ 間に辺がある
⇐⇒ e, e′ は交換可能
（重み = 交換したときの得）

T ET マッチング = その対を同時に交換

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最大最小定理証明のアウトライン
(1) w + p に関する最適性基準を書き下す
∑
min e |p(e)| s.t. w + p の最適性基準

(2) T の枝は軽く・E T の枝は重くするはず，と考えて
絶対値を外しつつ，変数変換して形を整える
∑
min e q(e) s.t. q に関する条件

(3) 線形計画の双対定理を使って式をじっと眺める
→ マッチングの LP 表現になっている
最小費用流主双対アルゴリズムを使って得られる
ポテンシャルの性質を観察することでも証明可能

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逆最小全域木まとめ
• 最適性基準：どの枝を交換しても得しない

• 交換可能枝の間の二部グラフを作る
必要な修正量 ≥ マッチング

• 必要な修正量 = 最大マッチング定理
⇒ 二部グラフ最大重みマッチングで解ける

既知のうまく解ける逆問題は，だいたいフローに帰着
（例：逆二部マッチング，逆最小カット，逆最短路＠ DAG）

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最小全域木 ×2

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最小全域木 ×2
• 入力

• 問題
辺を共有しない（辺素な）全域木を２つ取り
重み和が最小になるようにせよ

ヒント 1：目的関数が凸になるように作る → 貪欲
ヒント 2：貪欲の 1 ステップごとに探索が発生

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うまくいかない関数定義

{
w(X) + w(Y ) 閉路なし・辺共有しない
g(X, Y ) =
+∞ それ以外

「辺共有しない」という条件のせいで凸にならない
（貪欲するときに X と Y のどちらに足すべきかが不明）

※ダメ解法：Kruskal で UnionFind×2 = この関数で貪欲

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凸になる関数の定義
{
w(X) 閉路なし（森）
f (X) =
+∞ 閉路あり
{
w(X) X をうまく配分すると森 × 2
g(X) =
+∞ それ以外

g(X) + g(Y ) ≥ g(X − e + e′ ) + g(Y + e − e′ )

※ f と g の関係：畳み込み
g(X) = min {f (T ) + f (X T )} = f ∗ f
T ⊆X

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凸なので貪欲で解ける（Kruskal と同じ）
{
g(X) =
+∞ それ以外

for e ∈ E: 軽い順
if X ∪ {e}: 森 ×2
X = X ∪ {e}

必要なサブルーチン

X が森 ×2 に配分できるとき，
X ∪ {e} が森 ×2 に配分できるかの判定

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X ：森 ×2 に e を追加できるか
• X = {F1 , F2 }：森 ×2 の形を常に保持
• e を追加できるかどうか：交換手順を探索
(1) e が F1 に追加できれば終了
(2) できなかったら e の交換可能枝を列挙
それぞれについて F2 に追加を試みる二部マッチング
(3) F1 , F2 交互に繰り返す増加道探索と類似

• 最短手数の交換だけ探す：幅優先探索
(a) 同じ枝は何度もチェックしない
→ 探索中に木を動的変更しなくてよい
交換枝の列挙：動的木を使えば全体で O(n2 )
☆ 列挙の順番を工夫すると動的木なしで O(n)
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{F1 , F2 } に枝 (u, v) を追加できるかの判定
前処理：(1) F1 , F2 を u が根になるように向き付ける
(2) 木の u 以外の頂点を白く塗り，u を黒く塗る
（黒：w より根に近い枝は全部探索済み，の意味）

L1 := [(u, v)] 根に近い側からテスト
for i = 1, 2, 1, 2, . . .: → 同じ枝を二回見ない
if Li = ∅: return false
Li+1 = ∅
for (x, y) ∈ Li :
if (x, y) が Fi に追加可能: return true
if x は白: swap(x,y) /* 一方は絶対黒 */
while y は白:
Li+1 .push front((y, p[y]))
y を黒く塗る，y ← p[y]

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最小全域木 ×2 まとめ
{
g(X) =
+∞ それ以外

• 凸なので貪欲で解ける
（※ただし貪欲の 1 ステップが複雑）

• 効率的に貪欲するには：
– X = {F1 , F2 } の形で保持
– 交換経路を探索
枝列挙順序を工夫して O(n)

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まとめ
• 最小全域木
• 最小直径全域木
• 葉指定最小全域木
• 逆最小全域木
• 最小比全域木
• 最小全域木 ×2
• 第 k 最小全域木

• 問題の定義・解答の方針
⇒ 興味の湧いた問題は調べてみましょう

（ここで述べた内容はだいたい「マトロイド」に拡張可）
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演習問題 / 発展課題
• 分散最小全域木 [Katoh 1990]
∑
全域木の平均重みを µ(T ) = w(e)/(n − 1) とする．
∑
重みの分散，すなわち v(T ) = (w(e) − µ(T ))2 が
最小となる全域木を求めよ．

• 逆最小全域木（min-max 型）[Sokkalingam et al. 1996]
max |pi | が最小の修正を求めるアルゴリズムを与えよ．
• カラフル全域木 [Schrijver 2003]
枝に重みとラベル {1, 2, . . . n − 1} がついているとき
同じラベルが丁度 1 回ずつ現れる全域木のうち
最小重みのものを求めるアルゴリズムを与えよ．

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• 次数制約付き最小全域木 [Garey-Johnson 1976]
各頂点の次数が b 以下となる全域木を求める問題は
NP-hard である．
• 葉最多全域木 [Garey-Johnson 1979]
葉の数が最多の全域木を求める問題は NP-Hard である．
• 全距離最小木 [Garey-Johnson 1979]
全頂点対の木距離の和が最小になる全域木を求める
問題は，すべての重みが 1 であっても NP-hard である．
• 全域木 + 木 [Bernath-Kiraly 2011]
全域木と全域とは限らない木を辺素に取れるかどうかを
判定する問題は NP-hard である．
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• ランダムグラフの最小全域木 [Frieze 1985]
n 頂点からなる完全グラフで，各枝の重みが独立に
[0, 1] の一様分布に従うとき，最小全域木の重み期待値は
n → ∞ で ζ(3) = 1 + 1/23 + 1/33 + · · · に収束する．
※各 n に対する一般式は 2013 年 3 月現在未知．

• 全域木ゲーム [Lehman 1964]
2 人のプレイヤーが交互に次の操作を行う：
(P1) グラフの枝を取り除く
(P2) グラフの枝を固定する（以後取り除かれない）
操作ができなくなったときの残りのグラフが全域木のとき
P2 の勝利とする．辺素な全域木が 2 つとれることと P2 に
必勝法が存在することは同値である．
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参考文献：最小全域木
• T. H. Cormen, C. E. Leiserson, R. L. Rivest, and C. Stein (2009):
Introduction to Algorithms. 3rd eds., MIT Press.

• R. L. Graham and P. Hell (1985): On the history of the minimum
spanning tree problem. Annals of the History of Computing, vol.7,
pp.43-57.

• K. Murota (2003): Discrete Convex Analysis. SIAM Monographs
on Discrete Mathematics and Applications, vol.10, SIAM,
Philadelphia.

• J. Oxley (2003): What is a matroid? Cubo, vol.5, pp.179-218.

• A. Schrijver (2003): Combinatorial Optimization. Springer.

• 秋葉拓哉, 岩田陽一, 北川宜稔 (2012): プログラミングコンテストチャ
レンジブック. 2nd eds, マイナビ.
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参考文献：最小比全域木
• R. Chandrasekaran (1977): Minimum ratio spanning trees.
Networks, vol.7, pp.335-342.

• W. Dinkelbach (1967): On nonlinear fractional programming.
Management Science, vol.13, pp.492-498.

• T. Radzik (1992): Newton’s Method for Fractional Combinatorial
Optimization. Proceedings of 33rd Annual Symposium of
Foundation of Computer Science, pp. 659-669.

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参考文献：第 k 最小全域木
• D. Eppstein (1990): Finding the k-smallest spanning trees. 2nd
Scandinavian Workshop on Algorithm Theory, Bergen, Norway,
Lecture Notes in Computer Science, vol.447, pp.38-47.

• R. E. Tarjan (1979): Applications of path compression on balanced
trees. Journal of ACM, vol.26, pp.690-715.

• 秋葉拓哉 (2011): 完全制覇・ツリー上でのクエリ処理技法.
Competitive Programming Advent Calendar 2011-12-05,
http://topcoder.g.hatena.ne.jp/iwiwi/20111205/1323099376

66/ 71

参考文献：最小直径全域木
• R. A. Cunninghame-Green (1975): The absolute center of a graph,
Discrete Applied Mathematics,. vol.7, pp.275-283.

• R. Hassin and A. Tamir (1995): On the minimum diameter
spanning tree problem, Information Processing Letters, vol.53,
pp.109-111.

• J. Halpern (1979): A simple elimination criterion in a search for the
center of a graph, Management Science, vol.7, pp.287-293.

• O. Kariv and S. L. Hakimi (1979): An algorithmic approach to
network location problem I: the p centers, SIAM Journal on Applied
Mathematics, vol.37, no.513-518.

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参考文献：逆最小全域木
• R. Ahuja and J. Orlin (2001): Inverse optimization, Operations
Research, vol. 49 pp.771-783.

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様々な全域木問題

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