数学についてのwebノート　

算術上の知識 　

• 階乗/順列/組み合せ/二項定理/多項定理
• Σの定義
• Σの計算公式 ： Σの結合則/ Σの分配則/ よく使われるΣの値の公式
• 二重和ΣΣの計算公式
• Σの行列表現：
  • 和の行列表現/ 平均の行列表現/ 2重和の行列表現
  • 二次形式の行列表現/ 積和の行列表現/ 双一次形式の行列表現/ 偏差2乗和の行列表現/ 偏差積和の行列表現
• 累乗と指数法則 ：
  • べき・累乗の定義(自然数指数)/べき・累乗の定義(整数指数)/べき・累乗の定義(有理数指数)/べき・累乗の定義(実数指数)
  • べき・累乗の性質(整数指数)/べき・累乗の性質(有理数指数)
  • 指数法則(自然数指数)/指数法則(整数指数)/指数法則(有理数指数)/指数法則(実数指数)
  • 指数と大小関係(自然数指数)/指数と大小関係(有理数指数)
• 平方根と√ 　/　立方根と³√　 /　累乗根と　ⁿ√
• 対数 　：定義 /性質 /等比数列の対数
• 期待値の線形性
• 絶対値 ：定義、 絶対値の性質 /絶対値関数の性質(連続性 /微分可能性)
• ガウス記号

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論理

• 否定￢～
• 選言・論理和∨
• ￢(∨)
• 連言・論理積∧
• ￢(∧)
• ⇒
• ￢(⇒)
• 同値⇔
• 全称記号・量化子∀
• 存在記号・量化子∃
• ￢(∀)
• ￢(∃)

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数 　

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• 自然数：
• 定義：Peanoの自然数の公理、 全ての自然数nについて成り立つ命題の証明、
• 定理：(1+a) ⁿ>1+na (a>0、nが2以上の自然数)、 (1+a)ⁿ≧1+na+n(n-1)a²／2
• 整数：
• 有理数：
• 実数体・実数：
• 実数体・実数の定義（実数の公理）
• デデキントの連続性公理 : 切断、 切断と最大元・最小元、 デデキントの連続性公理、
• 実数体上の順序概念
  • 最大元max･最小元min、上界･上に有界、下界･下に有界、有界
  • 上限sup･最小上界lub、m=supAの必要十分条件、supとmaxの関係
  • 下限inf･最大下界glb、m=infAの必要十分条件、infとminの関係
• 実数の小数表示
  • 定義：「実数に随伴する数列/整数列」「実数の十進近似列」
  • 性質：「実数に随伴する数列/整数列」の性質/実数の十進近似列が満たす性質
  • 定義：「実数の十進小数展開」「実数の十進小数表示」
• 実数の加法の性質：
  • 定義：反数、差
  • 性質：結合則、可換則、0との和の性質、反数との和の性質、差の性質
• 実数の乗法の性質：
  • 定義：逆数、商
  • 性質：結合則、可換則、１との積、逆数との積、自らによる商
• 実数の加法・乗法の関係 ：分配則、0との積、積の逆数、積と符号(1)、積と符号(2)　
• 実数の不等式の性質 ：反射律、反対称律1、反対称律2、推移律、比較可能性1、比較可能性2、狭義順序、狭義順序の推移律　
• 実数の不等式と加法乗法の関係：
  • 加法：順序と加法1、順序と加法2、差の正負、反数の順序、反数の正負
  • 乗法：順序と乗法1、順序と乗法2、積の正負、逆数の正負、逆数の順序
  • 実数体の自己稠密性
• 定理： アルキメデスの原理, sup,infについての不等式, sup,infの和積, 任意の正数εに対して、 ε>a≧0ならば、a=0 。
• 複素数：
• 実ベクトル：

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解析学(0)  位相・距離

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距離空間： 　

• 距離空間(R,d)において。
  • A.距離
  • B. 点aのε近傍, 除外ε近傍
  • C.Rにおける点集合:内点、外点、境界点、触点・接触点、内部、外部、境界、閉包、稠密、集積点、孤立点、離散集合、開集合[開集合の性質]、閉集合、区間(開区間・閉区間・左半開区間・右半開区間・有限区間－無限区間・長さ・幅)、「上に有界」な集合、「下に有界」な集合、「有界」な集合、コンパクト集合、点列コンパクト、ハイネ･ボレル・ルベーグの被覆定理
  • D.距離空間(R,d)と位相空間との関係性
• 距離空間(R²,d)において。R²、平面、点
  • A. R²における距離 : 距離(ユークリッド距離/マンハッタン距離/…)、2次元ユークリッド空間、2次元ユークリッド距離の性質、2次元ユークリッド距離と2次元マンハッタン距離の大小関係
  • B. R²における近傍 : 点Pのε近傍、点Pの除外ε近傍
  • C. R²における点集合 : R²における点集合、内点、境界点、境界、閉包、稠密、集積点、孤立点、離散集合、開集合、開集合の性質、閉集合、区間、開区間、閉区間・閉矩形、直径、有界な集合、コンパクト集合、点列コンパクト、ハイネ･ボレル・ルベーグの被覆定理
  • D. 距離空間(R²,d)と位相空間の関係性
• 距離空間(Rⁿ,d)
  • A.Rⁿ、空間、点、距離・距離空間(Rⁿ,d)・n次元ユークリッド距離、n次元ユークリッド空間
  • B.Rⁿにおけるε近傍、除外ε近傍
  • C.点集合、内点、外点、境界点、内部･開核、外部、境界、閉包、 集積点、孤立点、開集合[開集合の性質]、閉集合、 区間、開区間、閉区間・閉矩形、直径、有界な集合、コンパクト集合、点列コンパクト、ハイネ･ボレル・ルベーグの被覆定理
  • D.距離空間(Rⁿ,d)と位相空間の関係性
• 距離空間一般において。
  • A.距離, 距離空間, 直積距離空間, 部分距離空間, ユークリッド空間,
  • B.ε近傍,除外ε近傍
  • C.点集合、内点、外点、境界点、内部、外部、境界、閉包、稠密、集積点、孤立点、離散集合、開集合、閉集合、直径、「有界」な集合、有界閉集合、被覆、開被覆、有限被覆、部分被覆、、

位相空間・位相： 　

• 位相空間・位相の定義 ：開集合系・開集合, 閉集合系・閉集合,近傍系・近傍,開核作用素・開核,位相空間・位相,誘導位相,部分位相空間・相対位相
• コンパクト性

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解析学　(0)　  関数 　

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• 1変数関数の定義･属性･類型
  • 1変数関数の定義/1変数関数のグラフ
  • 1変数関数を組み立てている概念：：定義域/像･値/逆像･原像
  • 1変数関数の属性の定義:値域//最大値･最大点･最小値･最小点/極大値･極大点･極小値･極小点/有界
  • 1変数関数から組み立てられる関係：制限/延長/分枝/合成関数/逆対応/逆関数　
  • 1変数関数の類型の定義：
    • 1価関数/多価関数（n価関数･分枝）/単射[1対1]/全射/全単射
    • 単調増加関数/狭義単調増加関数/単調減少関数/狭義単調減少関数/単調関数/狭義単調関数
    • 集合関数・点関数/単関数 /陰関数・陽関数//偶関数/奇関数
  • 1変数関数の具体例とその性質：
    • y=x/ y=x²/ y=x³→自然数指数のべき関数(累乗関数)
    • y=1/x →整数指数のべき関数(累乗関数)→有理数指数のべき関数(累乗関数)
      　　　　　　　　→実数指数のべき関数(累乗関数)
    • 定数値関数/ 比例を表す関数/ 一次関数/二次関数/三次関数→多項式関数　
    • 指数関数/対数関数/絶対値関数/三角関数 ガンマ関数/ベータ関数
• 2変数関数の定義･属性
  • 2変数関数の定義
  • 2変数関数の定義/ 2変数関数の像･値/ 2変数関数の値域/ 2変数関数の逆像･原像
  • 有界な2変数関数/ 2変数関数の最大値･最大点･最小値･最小点
  • 2変数関数の具体例とその性質：2変数一次関数/2変数二次関数/2変数二次同次関数（二次形式）
• n変数関数の定義･属性
  • n変数関数の定義
  • n変数関数の定義域/ n変数関数の像･値/ n変数関数の値域/ n変数関数の逆像･原像
  • 有界なn変数関数/ n変数関数の最大値･最大点･最小値･最小点
• 実数値関数一般の定義･属性･類型
  • 実数値関数一般の定義
  • 実数値関数一般の定義域/ 実数値関数一般の像･値/ 実数値関数一般の値域/ 実数値関数一般の逆像･原像/ 実数値関数一般の最大値･最大点･最小値･最小点
  • 有界な実数値関数/ 単関数
• 1変数ベクトル値関数の定義･属性
  • 1変数ベクトル値関数の定義
  • 1変数ベクトル値関数の定義域/ 1変数ベクトル値関数の像･値/ 1変数ベクトル値関数の値域/ 1変数ベクトル値関数の逆像･原像/ 有界な1変数ベクトル値関数
• 2変数2値ベクトル値関数の定義･属性
  • 2変数2値ベクトル値関数の定義
  • 2変数2値ベクトル値関数の定義域/ 2変数2値ベクトル値関数の像･値/ 2変数2値ベクトル値関数の値域/ 2変数2値ベクトル値関数の逆像･原像/ 有界な2変数2値ベクトル値関数
• n変数ベクトル値関数の定義･属性
  • ベクトル値関数の定義
  • ベクトル値関数の定義域/ ベクトル値関数の像･値/ ベクトル値関数の値域/ ベクトル値関数の逆像･原像/ 有界なベクトル値関数
• 写像･関数一般の定義･属性･類型
  • 写像･関数の定義
  • 写像の像･値/ 写像の逆像･原像
  • 全射･上射･上への写像/単射･入射･1対1写像/全単射･双射/標準的単射･包含写像/定値写像/恒等写像/逆写像･逆関数/合成写像

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解析学　(2)連続　

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1変数関数の連続性

• 連続性の定義：
  • 一点における連続性 (数列の収束への言い換え)
  • 右連続 (数列の収束への言い換え/ 単調減少列の収束への言い換え/ 単調減少関数の右連続性と数列の収束/ 単調増加関数の右連続性と数列の収束 )
  • 左連続 (数列の収束への言い換え/ 単調増大列の収束への言い換え/ 単調減少関数の左連続性と数列の収束/ 単調増加関数の左連続性と数列の収束)
  • 区間連続、区分的に連続、一様連続性
• 定理：
  • 連続関数一般の性質：関数の和差積商の連続性、合成関数の連続性
  • 閉区間上で連続な関数の性質：中間値定理、最大値・最小値定理、一様連続性
  • 単調関数と連続性：単調関数が閉区間上連続となるための条件、連続な単調関数の逆関数

2変数関数の連続性

• 連続性の定義：
  • 点P(x,y)での2変数関数の連続性、2変数関数が領域D上で連続、2変数連続関数
  • 「2変数についての連続性」と「各変数についての連続性」との関係、連続性の「点列の収束」への言い換え
  • 2変数関数の一様連続性
• 定理：
  • 1.2変数連続関数一般の性質：2変数関数の和差積商の連続性 /合成関数の連続性
  • 2.有界閉集合で連続な2変数関数の性質： 2変数連続関数による有界閉集合の像 / 有界閉集合で連続な2変数関数は有界 / 最大値最小値定理 / 一様連続性(ハイネの定理)
  • 3.連結な集合で連続な関数の性質： 中間値定理/ 領域の像/ 閉領域の像

n変数関数の連続性

• 連続性の定義：
  • 点でのn変数関数の連続性、 n変数関数が集合上で連続 、 n変数連続関数
  • 「n変数についての連続性」と「各変数についての連続性」との関係、 連続性と「点列の収束」との関係
  • 一様連続性
• 定理：
  • 1.連続関数一般の性質：n変数関数の和差積商の連続性
  • 2.有界閉集合で連続なn変数関数の性質： n変数連続関数による有界閉集合の像 / 有界閉集合で連続なn変数関数は有界 / 最大値最小値定理 / 一様連続性(ハイネの定理)
  • 3.連結な集合で連続な関数の性質： 中間値定理 / 領域の像 / 閉領域の像

実数値関数一般の連続性

• 連続性の定義：
  • 距離空間上の実数値関数が点Aで連続、 距離空間上の実連続関数、一様連続性
  • 位相空間上の実数値関数が点Aで連続、 位相空間上の実連続関数
  • 実数値関数の連続性と「点列・数列の収束」との関係
• 定理：
  • 1.連続関数一般の性質：実数値関数の和差積商の連続性 実数値関数の合成関数の連続性
  • 2.コンパクト空間で連続な実数値関数の性質： 実数値連続関数によるコンパクト空間の像 / コンパクト空間上の実数値連続関数は有界 / 最大値最小値定理 / 一様連続性(ハイネの定理)

ベクトル値関数の連続性

• 連続性の定義：
  • 点でのベクトル値関数の連続性、 ベクトル値関数が点集合上で連続、 ベクトル値連続関数
  • 「ベクトル値関数の連続性」の「多変数関数の連続性」への言い換え、
  • 「ベクトル値連続関数」の「開集合の逆像」を用いた表現、 連続性と「点列の収束」との関係
  • 一様連続性
• 定理：
  • 1.連続関数一般の性質：ベクトル値関数のベクトル和の連続性 / スカラー倍の連続性 / 合成関数の連続性
  • 2.有界閉集合で連続なベクトル値関数の性質： 連続なベクトル値関数による有界閉集合の像 / 有界閉集合で連続なベクトル値関数は有界 / 一様連続性(ハイネの定理)
  • 3.連結な集合で連続なベクトル値関数の性質： 連続関数の連結不変性

距離空間から距離空間への写像の連続性

• 連続性の定義：
  • 距離空間のあいだの写像の点での連続性、 距離空間のあいだの写像が点集合上連続、 距離空間のあいだの写像の一様連続性
• 連続写像一般の性質：
  • 写像の連続性の点列の収束への言い換え、 距離空間のあいだの連続写像と開集合の逆像、 合成写像の連続性
• コンパクト空間上の連続写像の性質： 連続写像のコンパクト不変性、 コンパクト空間上の連続写像の一様連続性
• 連結な空間上の連続写像の性質：連続写像の連結不変性

位相空間から位相空間への写像の連続性

• 連続性の定義：位相空間のあいだの写像の点での連続性、 位相空間のあいだの連続写像、 同相写像･同相位相･同型
• 連続写像一般の性質： 連続写像と点列の収束との関係、 合成写像の連続性
• コンパクト空間上の連続写像の性質：連続写像のコンパクト不変性
• 連結な空間上の連続写像の性質：連続写像の連結不変性

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解析学　(4)積分　

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1変数関数の定積分

• 定積分の定義：分割・分点・幅、リーマン和、積分可能、定積分
• 積分可能性判定条件：
  • 過剰和・不足和、振動量・振幅、細分、下積分、上積分、これらの基本概念間の関係についての定理
  • ダルブーの定理、可積分条件、閉区間上の単調関数は可積、閉区間上の連続関数は可積、閉区間上有限個の点を除いて連続な関数は可積
• 定積分の性質：
  • 閉区間上可積ならそれに含まれる任意の閉区間で可積、区間加法性
  • 定数の定積分、線形性、可積な関数の積の可積性、可積な関数の合成関数、可積関数の逆数の可積性
  • 積分の単調性、積分の第一平均値定理
• 原始関数：
  • 原始関数の定義
  • 原始関数の性質：同一関数の原始関数どおしの関係と積分定数、線形性、部分積分法、置換積分法(積分の変数変換公式)
  • 基本的な関数の原始関数：1の原始関数、x^pの原始関数 、1/xの原始関数、e^xの原始関数、a^xの原始関数、log|x|の原始関数、(ax+b)ⁿの原始関数、1/(ax+b)の原始関数、f(ax+b)の原始関数
• 向きつき定積分：定義、単調性、三角不等式、区間加法性
• 不定積分の定義と性質： 不定積分・積分関数、その連続性、その微分可能性(原始関数と不定積分との関係)
• 定積分の計算：解析学の基本定理、置換積分 (積分の変数変換公式)、部分積分、偶関数・奇関数の積分

1変数関数の広義積分

• 非有界関数の広義積分の定義：
  • 特異点・不連続点
  • 閉区間の左端点が特異点である場合の広義積分(可能)
  • 閉区間の右端点が特異点である場合の広義積分(可能)
  • 閉区間の両端が特異点である場合の広義積分(可能)
  • 閉区間の中の一点が特異点である場合の広義積分(可能)
  • 閉区間の中の複数個の点が特異点である場合の広義積分(可能)
  • 主値積分・Cauthyの主値
• 無限区間における広義積分の定義(無限積分):
  • [a,∞)で広義積分(可能)
  • (－∞, a]で広義積分(可能)
  • (－∞, ∞)で広義積分(可能)
• 広義積分の性質:
  • 区間I上広義可積ならIに含まれる任意の区間で広義可積、区間加法性
  • 線形性、広義積分可能な関数の積、単調性
  • 絶対可積・絶対収束、条件収束、三角不等式
  　
• 向き付き広義積分:定義、区間加法性　
• 不定積分(積分関数):定義、連続性、微分可能性(原始関数と不定積分との関係)　
• 広義積分の計算：解析学の基本定理(有限区間での広義積分について、無限区間での広義積分について)
• 広義積分の収束条件：
  • 収束・絶対収束・条件収束、コーシーの判定法
  • 広義積分が絶対収束するための十分条件(その1 )、広義積分が絶対収束するための十分条件 (その2)
• ガンマ関数:定義・性質

1変数関数のスチルチェス積分

• 定義：スチルチェス和,スチルチェス積分可能,スチルチェス積分
• 性質(1)：線形性(1),線形性(2),部分積分公式, 単調性,三角不等式,第1平均値定理
• 有界変動：
  • 定義:変動量、有界変動、総変動量(その区間加法性)、正の変動・負の変動・全変動
  • 性質:有界変動関数は有界,有界変動関数の和差積も有界変動,単調関数は有界変動,有界変動関数は二つの単調増加関数の差に等しい
• 積分可能性判定条件：
  • 過剰和・不足和・その性質,下積分・上積分・その性質,ダルブーの定理は不成立
  • 有界関数の単調増加関数に関するスチルチェス可積分条件:1.スチルチェス可積分の必要十分条件,2.上積分=下積分の必要十分条件,3.スチルチェス可積分⇒上積分=下積分,4.有界関数は単調増加連続関数に関してスチルチェス可積,5.連続関数は単調増加関数に関しスチルチェス可積
  • 連続関数は有界変動関数に関しスチルチェス可積,有界変動関数は連続関数に関しスチルチェス可積
• 性質(2)：スチルチェス積分のリーマン積分への帰着

矩形上の2重積分

• 定義：分割(矩形網)、 リーマン和、 矩形上で積分可能、 2重積分
• 矩形上の2重積分可能条件：
  • 過剰和・不足和・その性質、 振動量・振幅、 細分、 、 下積分・上積分・その性質
  • ダルブーの定理、可積分であるための必要十分条件
  • 閉矩形上連続なら積分可能
• 性質：区間加法性、 線形性 可積分関数の積 単調性 三角不等式 第1平均値定理
• パラメーターを含む積分の性質： 極限と積分の順序交換、 連続性
• 計算1： 累次積分の定義 重積分の累次積分への還元可能条件 連続関数の重積分は、累次積分に還元可能
• 面積：
  • 定義: 内面積,外面積,面積・面積確定
  • 性質: 加法性,有限加法性,劣加法性,ゼロ面積の和集合
  • 面積ゼロの性質: negligible set, negligibleと面積ゼロは同値, 零集合、 negligible(面積ゼロ)なら零集合、 有界閉かつ零集合ならnegligible(面積ゼロ)
• 矩形上の2重積分可能条件(続)： 可積の必要十分条件:不連続点が零集合、 不連続点がnegligibleなら可積、 不連続点が面積ゼロなら可積、 面積確定集合の境界は面積ゼロで零集合、

有界集合上の2重積分

• 定義1：2重積分
• 可積分条件：十分条件、必要十分条件
• 性質(1)：線形性、可積分関数の積、単調性、三角不等式、積分の第１平均値定理
• 性質(2)：面積0の集合上の積分、積分範囲加法性、積分範囲に関する有限加法性、三角不等式、積分の第１平均値定理
• 計算：重積分の累次積分への還元可能条件、連続曲線で囲まれた集合上での、連続関数の重積分は、累次積分に還元可能
• 一般リーマン和：一般分割、一般リーマン和,リーマン積分可能になるなら、一般リーマン和も積分値へ収束

2重積分の変数変換公式

　広義重積分(2変数関数の広義積分)

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確率論　

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標本空間

• 標本空間：　「試行」、「標本空間」、「標本点」　

可測空間

• 事象の定義：　「σ加法族」、「部分集合族Sから生成されるΩ上のσ集合体」ないし「Ωの部分集合からなる任意の族A0が与えられていると、A0を含む最小の完全加法族」、「事象」
• 可測空間：「可測空間」
• 事象と可測空間に関する諸定理：これが事象なら、あれも事象だ！と主張する定理たち。
• 事象関連用語：「事象」、「事象Aが起こる」、「全事象」、「空事象φ」、「和事象」、「積事象」、「排反」、「余事象」、「差事象」

確率空間

• 定義：「確率測度」「確率空間」
• 定理：空事象の確率、有限加法性、単調性、差法可能性、余事象の確率、劣加法性、加法則、連続性、

条件付確率・独立

• 条件付確率の定義まで：定義：P(A|B)、定理： P(・|B)は確率、定義：条件付確率
• 　　　　　　　　　　：乗法法則、「標本空間Ωの分割」、全確率の定理、ベイズの定理、
• 二つの事象の独立：定義、定理
• 複数の事象の独立：「対独立」、「独立」、独立⇒対独立　

確率変数

• 定義：「ボレル集合族」「A/B可測」「逆像」「確率変数・確率ベクトル」
• 定理：確率変数であることの必要十分条件 1・２　
• 定理：A/Bⁿ可測とA/B可測、ボレル可測、確率変数の関数　

確率分布

• P^xの定義、定理「P^xは(R¹,B¹)上の確率」、「確率分布」の定義
• 「周辺分布」「同時分布」
• 確率変数の関数の確率分布、

分布関数（1次元）

• 分布関数の定義、分布関数の性質、定理：分布関数と確率分布は1対1対応、定理：分布関数の性質を満たす任意の実数値関数は…　
• 定義：離散型確率変数・確率分布、定義：確率関数、確率関数の性質、例：幾何分布　
• 定義：連続型確率変数・確率分布、定義：確率密度関数、確率密度関数の性質、確率分布と確率密度関数、例：指数分布、無記憶性　　　

分布関数(2次元)

• 定義：同時分布関数・結合分布関数、同時分布関数の性質、　

分布関数（多次元）

• 定義：同時分布関数・結合分布関数、同時分布関数の性質、　
• 定義：連続型確率ベクトル、絶対連続な分布関数、同時確率密度関数、確率ベクトルの周辺確率密度関数、　

確率変数の独立性

• 定義：確率変数の独立性
• 定理：確率変数XとYとは独立であることの必要十分条件、独立な確率変数のBorel可測関数は独立、

期待値　

様々な確率分布とその性質

推定論

検定論

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