Quaternion

(c)1997 Jun Mizutani

[1] Quaternionとは

Quaternionは数学的には複素数の拡張で

q_a = a₀ + a₁i + a₂j + a₃k

として表現されます．q = [ q₀, ( q₁, q₂, q₃ ) ] と書くこともできます．

Quaternion q の共役(conjugation)をqと記述すると

q = [ q₀, -( q₁, q₂, q₃ ) ] と定義されます．

Quaternion q の絶対値は |q| = sqrt( q₀² + q₁² + q₂² + q₃² )
となり，絶対値が１のQuaternionを単位Quaternionと呼びます．

単位Quaternionの場合，q = １／q の関係が成立します．

虚数部(ベクトル部)の i, j, k の積は以下の関係にあります．
ij = k = -jk , i² = -1
jk = i = -kj , j² = -1
ki = j = -ik , k² = -1
ijk = -1

[2] Quaternionの積

[3] Quaternionと三次元グラフィックス

単位Quaternion を [w, ( x, y, z ) ] とした場合，ベクトル(x, y, z)を軸としたwの回転を表現することができます. 単位ベクトル u を軸として，角度 2t回転させる場合，quaternion として [cos t, u sin t ] を作る必要があります．
quaternion q は，直接，ベクトル v と quaternionの積に使用してベクトル vを回転させることができます．

v' = q v q

また， quaternion を 3x3 変換行列 M に変換することもできます．
もし quaternion q の要素が [ w, (x,y,z) ] の時， 変換行列は

M =

         { 1-2(yy + zz),   2(xy - wz),   2(xz + wy)}
         {   2(xy + wz), 1-2(xx + zz),   2(yz - wx)}
         {   2(xz - wy),   2(yz + wx), 1-2(xx + yy)}  

[4] 回転角からQuaternionを求める