無限は人間の理解力を超越した概念だとしても、それで諦めないのが数学者！
無限とは何？
無限はなぜ1通りじゃないの？
無限プラス1って一体なに？
疑問は無限大です。
数学者は｢無限｣をかなり厳密に定義していますが、本稿では｢無限とは有限でない数すべてを包括するもの｣という、もっと大雑把で身近な定義で通すことにしますね...さ、難しい前置きはこれぐらいにして心を広げ、無限の世界にソ～ッと忍び寄って参りまひょ～。
The Beginning of Infinity - 無限のはじまり
無限を語るその前に、数学的にどう定義するのか、まずはそこんとこ知らないと始まりませんよね。で、これが結構難しいのです。
無限の概念は古代ギリシャ人も知ってたし、アイザック・ニュートン、ゴットフリート・ヴィルヘルム・ライプニッツの微積分学でも重要な位置を占めているんですが、厳密な定義がなされたのは1800年代後半に入ってから。それまでは大雑把な形も定まらない概念に過ぎず、それ自体に理解する価値なんてない、特定の数学の操作で出る不自然なオマケ、ぐらいにしか思われてなかったんですねー。
事実、19世紀の数学者には無限をなんとな～く悪趣味なものとして煙たがって真面目な数学の議論の対象になるものでは絶対ないと思ってる人も大勢いたんですよ。せいぜい哲学者の議論のネタになる程度のもの...という言われようからも、当時どれだけ見下されていたかが容易に想像できるというものですね。
ゲオルク・カントール（Georg Cantor）が初めて無限の存在証明を発表したのは、そんな空気が支配する1874年のことでした。ロシア生まれ、ドイツ育ちのカントールは、無限の性質を定義するのみならず、無限が複数存在し、ある無限は他の無限より大きいという証明まで提示してのけ、世をアッと驚かせ、一体なんなんだそれは！...とたちまち大騒ぎになります。
カントールがすごいのは、これすべて集合論という、煮ても焼いても食えない感じの古代の数学の一学派の理論をベースに、そこに自分なりの考察を加えて発展させた、というところ。穴だらけでも気づきを形に残した古代人も素晴らしいけど。それは喩えて言うなら手押し車から惑星間移動エンジンを開発するにも等しい、数学分野における途方もない偉業でした。
Set Theory - 集合論とは？
集合論は一見、笑っちゃうぐらい簡単です。ところがこれが後に現代数学で最も強力なツールとして威力を発揮してくんですね。その基本概念は古くはアリストテレスの時代からあった痕跡も見つかってるわけですが、簡単に言うと、こうです。｢数は集合（set）にグループ分けできる｣―以上おしまい。もっと平たく言うと｢物事は集合にグループ分けできる｣という言い方もできます。
例えば、1、2、3、4を{1,2,3,4}という集合にまとめ、集合Aと呼ぶとします。文字D、ツナサンドイッチ、トーマス・ハーディの小説、海王星を{D、ツナサンドイッチ、トーマス・ハーディの小説、海王星}という集合にまとめ、こちらは集合Bと呼ぶとします。
なんてことないですよね？ ところがどっこい、ここまできたら無限の正体を暴く大きな気づきまであと数歩なんですよ！
試しに上記2つの集合を比べてみることにしましょう...大きいのは集合Aと集合B、どっちでしょ？ 1個1個の元（term、要素とも。集合内のアイテムのこと）を比べてる間はこれは全く馬鹿げた質問に聞こえるかもしれませんよね、だってトーマス・ハーディの小説と数字の3では比べようがないですから！
ここで大事なポイントはサイズを比べるんですから、個別のアイテムを見るんじゃなく、元の数を見なきゃダメだってこと。そう思って見直すと、どちらも元は4個ありますから、サイズは同じ、ということがわかります。ふむ。
ただし今｢4個｣と答えたみなさんはその結論に飛びつく前に、どのようにしてその答えを導き出したか今一度よーーーく考えてみてください。たぶん大体の人は各集合の元をただ数えて比べただけなのでは？ そんなの基本の基本。当たり前過ぎて考えるまでもないことですよね～。
でも仮にみなさんが数のことを全く知らなくて数え方も知らなかったとしたら...どうでしょう？ どうやってこの2つの集合を比べます？ コレものすごくヘンな質問に聞こえるかもだけど、集合論を面白くパワフルなものにしているのは、まさにこうして他の数学と完全に切り離せるところに秘密の一端があるんですよ。そんなわけでここでは、数えないで集合を比べる方法を探さなきゃなりません。
Building a Correspondence - 対応させる
2つの各集合に何個アイテムがあるか分からなくても、まだ意外と簡単に比べられますよね。集合Aと集合Bの元を1個1個突き合わせていって、どっちかなくなるまでそれを続けりゃいいんです。左から右に順に1とDを結び、 2とツナサンドイッチを結び、3とトーマス・ハーディの小説を結び、4と海王星を結ぶ。こうすれば各集合に元が何個あるか知らなくても、同じサイズであることは確かめることができます。これが世に言う｢一対一対応（one-to-one correspondence）｣。この手法を使えば、どんな集合でも2つ比べることができます。元の数を数えるまでもなくね。
この最後のところで｢おっと～無限の戸口まできたな...｣と察しのいい人はもう勘づかれたかもね。そう、ここまではわざと4までの数え方も知らないアホのフリこいてきたわけですが、にっちもさっちも数えようがない無限の元の集合だったら、どうでしょう？
この無限の元の集合としてよく引き合いに出される例が自然数、つまり負の整数以外の整数をゼロ（訳註：集合論ではゼロも入る）から全部集めた数の集合です。
集合内の元の数のことを数学の用語で｢濃度（Cardinality）｣と呼びます。集合Aと集合Bはどっちも濃度が4ですが、全自然数の集合の濃度は無限です。ただしこれも語弊があって、無限は無限でも最も小さいタイプの無限｢アレフゼロ（aleph-null、aleph-zero）｣なのでございますよ。
じゃあ、なんでこの無限は他の無限より小さいの？ これを理解するには唐突ではございますが、超限数の算術をちょいと引っ張り出さねばなりません。
The Arithmetics of Aleph-Null - アレフゼロの算術
全自然数の集合はアレフゼロ...とわかったところで、問題です。アレフゼロとアレフゼロ 1ではどちらが大きいでしょう？
そうなんですよー、一番大きな無限の数を語る時には必ずこの｢1を足す｣という厄介な問題がくるんですね...まあ、しょうがないですよね、有限数に1足したら必ずそれより大きな数になるのは間違いないんだし。でもそれと同じ理屈がアレフ・ゼロにも通用するのかな？
試しに先ほどの集合からツナサンドイッチを拝借して全自然数の集合に加え、これをアレフゼロ 1の集合としましょう。
先ほど確認したように、この2つの集合を比べる唯一の手段は一対一対応、です。ツナサンドイッチを先頭に置いた方を集合Cと呼び、普通の自然数の集合の方は集合Dと呼ぶことにすると、集合Cは{ツナサンドイッチ, 0, 1, 2, 3, 4...}、集合Dは{0, 1, 2, 3, 4, 5...}となりますよね。で、左からツナサンドイッチを0に合わせ、0を1、1を2、2を3、3を4、4を5と突き合わせていくと...これどこまで対応させてもキリないですよね？ どっちも後から後から元が出てきて無限に尽きることがないし、目が潰れるまで好きなだけ無限に対応させ続けることができます。要するにどういうことか？ アレフゼロとアレフゼロ ツナサンドイッチはぴったしイコールなのです。わかります、これものすごくヘンな結論で、とても直感ですんなりとは受け難いですよね？ 当のゲオルク・カントール自身も超限数算術を語る中で、｢見えるのに、信じられない｣という有名な言葉を残していますし。
さて、ここから先はもっとヘンになってゆきますよ。いいですか、ここで質問です。偶数の自然数の集合と全自然数の集合とではどちらが大きいでしょう？
我々の頭は有限なので｢偶数と奇数を全部足せば、偶数を全部足した数の倍に決まってるじゃん｣って思っちゃいますよね。でもちょこっと一対一対応をやると分かることだけど、集合論の上ではこのふたつは全くイコールなんです。無限に2を掛けたところで答えはやっぱし無限なんでございますよ。
Infinity Times Infinity - 無限×無限
さて、ここからが本当の難問です。全有理数の集合は、どうでしょう？
有理数とは2つの整数の分数であらわせる数のこと。分母も分子も無限にあるわけですから、ここで言ってるのは元の数が無限大の集合{1/1, 1/2, 1/3, 1/4, 1/5...}の後に、無限大の集合{2/1, 2/2, 2/3, 2/4, 2/5...}があって、そのまた後に無限大の集合{3/1, 3/2, 3/3, 3/4, 3/5...}があって...というのが無限回続いたらどうなるか、という話ですね。つまり無限の集合を無限回集めたらどうなるのか？
アレフ・ゼロより大きな無限数があるとすれば、きっとこれがその糸口になるはず、ですよね？ 全自然数と全有理数の一対一対応は1を分子に使えば可能だけど、それでも対応させなきゃならない数は無限にあるんだし、尚且つ分子2以上の数の集合も無限に残ってしまいますから。
もちろんこの2つを一対一対応させる方法は、あります。やり方を説明するためには、簡単な表を作らないといけません。
分子が1の全有理数は最初の行に置き、分子が2ものは次の行...という具合に置いてゆき、行も列も無限になるまでこれを続けるんですね。
1/1, 1/2, 1/3, 1/4, 1/5 ...
2/1, 2/2, 2/3, 2/4, 2/5 ...
3/1, 3/2, 3/3, 3/4, 3/5 ...
4/1, 4/2, 4/3, 4/4, 4/5 ...
5/1, 5/2, 5/3, 5/4, 5/5 ...
...
ちょっと見づらいかもですけど、これは無限の表の始まりのところですね。世に存在する有理数はすべてこの無限の表のどこかに必ず当てはまるはずです。行の分母は無限に大きくなり、縦の列の分子も無限に大きくなっていくので。 こんな表をつくれるってこと自体が、もしかして一対一対応が可能という予感がしますよね！ もっと詳しく対応の仕方を見てみましょう。
まず最初の自然数0を1/1と対応させます。次に行をひとつ下がって、1を2/1と対応させます。で、斜め上に上がって2を1/2と対応させます。次に最初の列に戻って3を3/1と対応させ、斜め上に進んで4を2/2と、5を1/3と対応させます。これを両集合とも無限に続けてゆけばいいんです。自然数の方が有理数より断然進みが早いのだけど、それは重要じゃありません。重要なのは有理数を、あるひとつの無限の集合の中に並べることができたという事実。要するに有理数のセットも濃度は、アレフゼロなんです。
The Uncountably Infinite - 非可算無限
さて、ここまでに取り上げた集合は全部｢可算｣と呼ばれるものです。可算とは、自然数の集合と同等以下の濃度を持つ、という意味。これを可算と呼び出したのはゲオルク・カントールが最初です。原理はとてもシンプルで、可算集合とは元がすべて1、2、3...と自然数と対応させられる集合のことを指す、というんですね。数えるのに無限に時間がかかるとしても元を数えることは可能、そんな集合のことを可算集合と言うのです。
自然数の集合より遥かに大きいにも関わらず全有理数の集合が可算なことは先ほど確かめた通りです。上の表であらわしたように、無限= 無限^2（2乗）なんですね。数を足したり、掛けたり、2乗にしたところで無限には絶対到達し得ないのと全く同じで、アレフゼロに同じこと（加算・積算・乗算）をやったところでさらに大きなレベルの無限には絶対到達し得ないのです。
そんなわけでアレフワンという無限の次段階に抜けるには、我々は数えられないほど無限な何かを探さなきゃなりません。
Cantor's Diagonals - カントールの対角線論法
数えられないほど無限の集合とはなんなのか？ これにゲオルク・カントールはこれ以上ないほど見事な解釈を示しました。
最もよく知られている非可算集合は全実数の集合です。つまり全自然数と全有理数と全無理数（2の平方根など）と超越数（π の値、eの値など）を含む集合のこと。因みに無理数と超越数は表現可能なことは可能だけど、小数点以下に数が無限に続く数でしか表現できませんよね。
さて説明は単純な方がいいので、ここではどの桁も0か1しかない二進記数法（binary number system）で考えてみましょうか。二進法の実数を桁ごとに拾い、それを元として並べたSequence（数列）を作るとします。並べ方はどうでもOKなので、まあ、ここではこんな感じに作ってみましょうかね...
Sequence 1 = (1, 1, 1, 1, 1...) = .11111...
Sequence 2 = (0, 0, 0, 0, 0...) = .00000...
Sequence 3 = (0, 1, 0, 1, 0...) = .01010...
Sequence 4 = (1, 0, 1, 0, 1...) = .10101...
Sequence 5 = (1, 1, 0, 0, 1...) = .11001...
...などなどこれを永久にやるわけですな。ここで考えなきゃならない問題は、｢こうした数列を無限個作ったらそれで実数を全部網羅したことになるのか？｣ということ。ならないことを証明するには、今つくった無限個あるSequenceのどこにも定義上絶対当てはまらない実数を作らなきゃなりません。
そこで｢どれいっちょ作ったるか！｣とカントールがやったのは想像の斜め上をいく技でした。
カントールはまず各Sequence（数列）を、どれかひとつ特定の元に関連付けてみたんですね。Sequence 1は1だから1番目の元（1）、Sequence 2は2だから2番目の元（0）、Sequence 3は3番目の元（0）...といった具合に。こうしてSequence 1の1番目の元から斜め下に降りていけば、斜め線が通る数字がもうひとつの集合を成し、数字1個1個がその元になります。これでできた（1, 0, 0, 0, 1...）を仮にSequence Diagonal（斜め数列）と呼ぶことにしましょうかね。
さて、話が面白くなるのは、ここからです。
Into the Continuum - 連続体の世界へ
この斜め数列の1と0を全部ひっくり返してできる数列、つまり（0, 1, 1, 1, 0...）= .01110...を仮にSequence 0とします。これも先般確認したように実数ですよね。有限あるいは無限の桁で成り立つ数字であればどんな数でも実数なので。でも、この0.1110...という実数、先ほどつくった実数の集合に絶対含まれてると思います？
Sequence 1じゃないことは確かですよね、だって最初の元が合わない（ひっくり返した）から。 Sequence 2でもありません、だって2番目の元が合わないから。Sequence 3でもありません、だって3番目の元が合わないから。Seque...あとは書かなくても分かりますよね、はい。
このようにあの表からどの集合を引っ張り出してきても、Sequence 0とは合わない元が必ず1個あるんですよお。Sequence 0は今つくった実数の集合には絶対見つかりっこないはぐれ者なのです。よって全実数の集合をつくることも、それを自然数に一対一対応させることも不可能という結論になります。つまりアレフゼロよりさらに大きい。これがみなさま、世に言う｢連続体（continuum）｣なるものでございますよ。
連続体とは全実数の集合に与えられた呼び名というわけですが、実のところアレフゼロよりどんくらい無限なんでしょうね？ ゲオルグ・カントールが知る限り、自然数の集合の濃度と実数の集合の濃度の間の濃度を持つ集合はひとつも存在しなかったようです。換言すると自然数がアレフゼロなら、全実数はアレフワン、ということになります。
この｢可算濃度と連続体濃度の間には他の濃度が存在しない｣という仮説は1877年に初めて提示され、やがて｢連続体仮説（continuum hypothesis）｣という名がつきます。...そして134年経った今なお数学者の間では無理を承知で立証・反証の試みがなされているんですよ。
To Aleph-Null And Beyond - アレフゼロとその彼方
連続体仮説が本当かどうかはさておき、これで我々もやっとアレフ・ゼロと（少なくとも）アレフワンまで来ましたね。どちらも無限だけど後者の方が前者よりものすごく無限だってことも分かりました。でも無限ってこの2つだけなの？ もっと先まで這い登ればアレフツー、アレフスリー、アレフフォ～...と、まさか延々と広がってたりしないですよね？
もっと先まで進むことは...実言うと可能です。進むには、その割れそうな頭にもうひとつだけコンセプトを捩じ込んでやるだけでOKなのですよ。そのコンセプトとは...パワーセット、日本語で言う｢べき集合（power sets）｣ってやつです。
任意の数Nのべき集合とは集合Nの部分集合すべての集合を指す...と言われても何が何だか頭が破裂寸前だと思うので、実際の例を使って説明しましょう。
えーと例えば集合3を{1, 2, 3}として、そのべき集合が知りたいとしますよね？ べき集合には存在し得るすべての部分集合が含まれるって話ですから、3要素の集合 {1, 2, 3}、2要素の集合{1, 2}、{1, 3}、{2, 3}、1要素の集合{1}、{2}、{3}とあとはゼロ要素の集合{}で、計8つの部分集合が含まれることに。つまり3のべき集合には2^3（2の3乗）個の部分集合があるんですね。まあ、3に限らず、どんな任意の数Nでやってもべき集合には2^N（2のN乗）個の元が含まれるんです。
カントールの斜めの理論（あそこまでストレートにいかないところが何かを物語っているけどね）と同じ基礎ロジックを応用すると、任意の元Xのべき集合の濃度は常に、X個の元を持つ集合より大きいことを示すことは可能...ですよね。よって全実数の集合 ―アレフワン― を例にとると、アレフワンのべき集合の濃度の方がそれより大きいことになります。つまり全実数の集合（アレフワン）のべき集合は最低でもアレフツーなんですね。
そしてこれは永久に続けていくことが可能です。アレフツーのべき集合はアレフスリー、アレフスリーのべき集合はアレフフォー、アレフフォーの...。
で、ここがまた実にヘンなところなんですが、べき集合をこしらえる操作はこのように永久回続けられるので最終的にはアレフ・インフィニティに行き着いちゃうんです。というか、もっと正確に言うと...アレフ・アレフゼロ。
いやいや、まだまだこんなのゲオルク・カントールの唱える絶対無限に比べりゃまだほんの序の口ですよ。絶対無限とは、集合理論の枠内で表現し得るものすべてを超越する無限のことを指すのであります。かく言うカントール自身も絶対無限ってもしや神なんじゃあるまいか...と疑ってた節もあるんでございますよ。
もちろんこれについては異論もありますけどね。
Further Reading - さらに詳しい参考資料
Infinity is for Children---And Mathematicians!
Set Theory by Kenneth R. Koehler
Set Theory by by Karel Hrbacek and Thomas Jech
Hotel Infinity by Nancy Casey
*日本語の参考URLのおすすめがあればぜひ教えてね。
Top image via Shutterstock; infinity image by Sven Geier.
Republished from http://io9.com
Alasdair Wilkins（原文／satomi）
