Gerd Lamprechts JavaScript Berechnungen (siehe auch Wissenschaftlicher Online Rechner mit Umkehrfunktionen {php} und Nullstellen Rechner, Plotter (Diagramm) , 3D)

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1. Iterationsrechner (Universalrechner f�r rekursive Berechnungen; Iterationsrechnung; Vergleich mit expliziten Formeln; Nullstellensuche; Ziegenaufgabe {Grazing Goat}; Konstanten; Folgen; Reihen; Rekursionen; numerische Integration; free universal scientific online calculator; Fehleranalyse; Validierung)

Regeln, Funktionen, Operatoren, Syntax, Hilfe (help)
Iterationsanzahl i beginnt bei 0 und wird pro Iteration automatisch um 1 inkrementiert. Die lokalen Variablen a, b, c werden immer angezeigt. d ist Hilfsvariable. aB, aC und aD sind globale Felder: sobald Werte ab Index 0 daraus berechnet worden sind, werden diese auch angezeigt. Nur globale Variablen sind in Strings (Fx(x) und IntegralG()) bekannt (Beispiel 29) und behalten ihren Wert f�r weitere Berechnungen (Beispiel 26). Die Rechengenauigkeit von JavaScript liegt bei etwa 15 Stellen. Alles (ausser AbstandGPS) in SI-Einheiten (also rad und nicht Grad). Mehr als 1000 Worte und Regeln bringen die vielen Beispiele, die per Kombobox sofort berechnungsbereit sind.
mobile TelefonNr 1+2 (nur Zahlen):������������������������������������ TXTIN �=

Beispiele:

Fx(x) oder Fxy(x,y):

Startbedingung (Init):

Iterationsformel:

Abbruchbedingung:

Erste Berechnung auch wenn Abbruchbedingung schon erf�llt (z.B. wenn i > 0 beginnen soll, i in Abbruchbedingung und aB[i] {also 1 mehr} interessiert)
InkrementierungsModus IM=0 (oder keine Angabe) erst i++ dann Abbruchbedingung; IM=1 erst Abbruchbedingung (z.B. f�r aB[i]) dann i++; IM=2 erst Abbruchfrage dann i++ nur, wenn kein Abbruch

Abschlussberechnung:



Erg.:� a= b= c= d= i= Zeit:
Folge aB[i] = �
Dezimalkomma: �� �URL-Link:�
oder direkt ohne Berechnungen zur Folgenanalyse (Mittelwerte {arithmetisch, geometrisch, harmonisch...}, Interpolationspolynom...)

Erweiterung der Berechnungen bei GetKoDezi und bigc von 77 auf 120 Stellen (+Passwort �ber 6000) durch Eingabe der L�sung:
Beispiele 1 und 2 http://de.wikipedia.org/wiki/Arithmetisch-geometrisches_Mittel und http://de.wikipedia.org/wiki/Bisektionsverfahren. Siehe auch Beispiele 61 und 62!
Beispiele 3 bis 6 und 36 - die Ziegenaufgabe (Faktor, um den die Leine l�nger als der Radius des Kreises sein muss, damit nur die H�lfte gefressen werden kann; auch Grazing Goat )
Alle 5 Iterationsbeispiele liefern ein identisches Ergebnis - den Faktor f�r den Radius der Ziegenleine: A133731= (�ber 100050 Dezimalstellen berechnet siehe 133731Ziegenfaktor.htm (Grazing Goat))
A173201=1.9056957293098838948826664371609667034950431216128032121935645599945442... A173201 mit 100050 Dezimalstellen und Ziffern-H�ufigkeit
Beispiel 3: siehe auch http://www19.wolframalpha.com/input/?i=0%3D(sin(x)-cos(x)*x-PI%2F2)%2F(sin(x)*x)
Beispiel 6: siehe auch http://www19.wolframalpha.com/input/?i=x%3DPI%2F(PI*x-sqrt(4-x*x)%2B(4%2Fx-2*x)*arcsin(x%2F2))
Beispiel 8 zeigt, dass man die im Beispiel 7 rekursiv berechneten Fibonacci-Zahlen auch mit einer expliziten Formel durch Erweiterung der Formel_von_Moivre-Binet stufenlos (weiche Kurve; nicht nur ganzzahlig wie in http://www.matheprisma.uni-wuppertal.de/Module/Rekurs/index.htm) im reellen Zahlenbereich darstellen kann. Zwischen 1 und 2 gibt es (vergl. Beispiel 25) bei
1.67668837258158419262338474461602607785908934061175203475165650652503210489681582157897924966980759501574639607899...
ein lokales Minimum, mit dem Funktionswert
0.89694638742460617291260037106876544417999375742091805616582746496103814154062420822413463567197531444740423766847...
bei 1.0945761052316456701088305479852994630099435984959969207333174509787410673977580469511296473686... ein lokales Maximum, mit dem Funktionswert
1.00982433184782138082007729601206511238036492580055307508103125303514760269775549829979298061458058571148751792...
und bei 0.5 den Wert
0.56886448100578310727830792668468187015237043150310854478928886454833233415613796785084199866109530593365443442...
Fibonacci-Funktion
Interessant ist, dass es auch eine Rekursionsformel aus nur 1 Vorg�nger (statt der bekannten 2 Vorg�nger) gibt, die ich nat�rlich auch im reellen Zahlenbereich untersucht habe. Bei der Erweiterung F(x)=[F(x)-F(x-1)/2]+F(x-1)/2 kann man die eckige Klammer durch die sehr lange explizite Formel ersetzen (im Bild die schwarze Kurve). Bleibt man nun im positiven Bereich, also
x>0.32508257437902063419621906537982664596964960182385343177452045607808341231137950656000798774844244...
l�sst sich diese aufwendige eckige Klammer zur Wurzel sqrt(Fib(x-1)�*5-cos(Pi*x)*4)/2 k�rzen {z.B. a=5 Vorg�nger=aB[0]=3: sqrt(3�*5+4)/2+3/2=5}. Im Beispiel 8 steht das Ergebnis in b. Die Abweichung in a ist im Bild rot. Interessant w�re eine Vereinfachung der eckigen Klammer nur auf das Vorzeichen { SGN(F(x)-F(x-1)/2) ist als explizite Formel zu komplex und ben�tigt wird nur 1 Bit}, da die Wurzel nur noch diesen einen Multiplikator f�r negative Teilbereiche (rote Kurve) ben�tigt, um im gesamten reellen Zahlenbereich g�ltig zu sein.
Praktische Anwendungsbeispiele f�r den nat�rlichen Zahlenbereich unter http://www.ijon.de/mathe/fibonacci/index.html
Hinweis: Best�tigung f�r die Erweiterung der Fibonacci-Zahlen zur Fibonacci-Funktion im reellen Zahlenbereich gibt es seit Juni 2009 bei http://www19.wolframalpha.com/input/?i=Fibonacci+number ...(siehe Beispiel 58)
Fibonacci-Funktion
Beispiel 9 wendet die in Kreiszahl.htm beschriebene schnell konvergierende Iterationsformel zur Berechnung von Pi an
Beispiele 16 bis 18 berechnen die Bernoulli-Zahlen. Durch die Kombination von Iteration und Rekursionsfunktion
function Reku(z,x,strAbbrBedingung,strAbbrBerechnung,strBerechnung)
{RT+=1; if(strAbbrBedingung) return eval(strAbbrBerechnung);
Ersetze "selbe" in strBerechnung durch die letzten 3 Stringparameter; return eval(strBerechnung);}
kann im Beispiel 17 eine ganze Folge mit einem Mal berechnet werden: �
Die Funktion Binom(oben,unten) ersetzt aus Platzgr�nden Reku() oder Iter() zur Berechnung des Binomialkoeffizienten.
Beispiel 18 berechnet eine Bernoulli-Zahl per Doppelsumme (http://mathworld.wolfram.com/BernoulliNumber.html http://www19.wolframalpha.com/input/?i=Bernoulli+number), wie es vermutlich Mohamed Altoumaimi 'wiedererfunden' hat: �
Beispiele 20 bis 23 zeigen, dass man mit diesem Iterationsrechner beliebige Folgen und Reihen (vergl. http://www.mathe-online.at/galerie/grenz/grenz.html) berechnen und auch danach suchen kann.
F�r die Folge A141126 musste ich eine extra Funktion IsValInArrayIndex(Wert, FeldMitWerten, Index_ab_dem_abwaerts_gesucht_wird) einbauen
Beispiel 24: Die Fakult�t hat zur Gammafunktion nur ein Argument-Offset von 1 und kann per Stirling-Formel berechnet werden:
Fak(x) =
Beispiel 25: Interessant ist der Bereich um 0.46..., da hat die Fakult�t (Gammafunktion um 1 gr��er also 1.4616321449...)
bei (vergl. http://www.research.att.com/~njas/sequences/table?a=30169&fmt=0 und http://pi.lacim.uqam.ca:16080/piDATA/minygam.txt)
0.461632144968362341262659542325721328468196204006446351295988408598786440353801810243074992733725592...
ein lokales Minimum, mit dem Funktionswert
0.8856031944108887002788159005825887332079515336699034488712001658751362274173963466647982802142035947...
berechnet mit �ber 100 Bernoulli-Zahlen (siehe Beispiel 16); hier im JavaScript (Funktion Fak(x)) liegt die schlechteste Genauigkeit bei 7 Nachkommastellen
Beispiel 26: Der in http://www.tychobrahe.de/faecher/informatik/iterationsrechner.htm vorhandene Iterationsrechner wurde hier um die beliebige Schrittweite d erweitert. Nach dem ersten Durchlauf sind die globalen Variablen initialisiert und man kann in der Startbedingung b=0.1; durch b=aB[d]; ersetzen. Jetzt werden mit jeder Berechnung d neue Werte angezeigt. Die Feigenbaum-Formel, die hier mit a=4 st�ndig neue Werte zwischen 0 und 1 erzeugt, kann beliebig abgewandelt werden. (schon ab a=4.1 divergiert sie)
Beispiel 27: In http://www.sn.schule.de/~inftreff/modul24/task24.htm sind die Iterationen zur Berechnung von Bifurkationspunkten (Periodenverdopplungspunkte) beschrieben.
Der erste liegt bei m1=(sqrt(5)+1)/4=0.809016994374947424102293417182819058860154589902881431067724311352630231409... *4 = sqrt(5)+1 =
3.236067977499789696409173668731276235440618359611525724270897245410520925637804899414414408378782274969508176150773783504253267724447073863586360...
Den 2. und 3. kann man in diesem Beispiel berechnen. 3 aufeinanderfolgende k�nnen im Unendlichen (
0.89248641796773622546050128784662473419095922787870809452699388248034072187503419438158025... *4 = A098587 =
3.5699456718709449018420051513864989367638369115148323781079755299213628875001367775263210342163...
) zur Berechnung der Feigenbaum-Konstante herangezogen werden {Quotienten von je zwei aufeinanderfolgenden Bifurkationspunkten} A006890:
4.66920160910299067185320382046620161725818557747576863274565134300413433021131473713868974402394801381716...
Wie aufwendig dieser Algorithmus ist, zeigt folgende Beispielrechnung: Bei der Berechnung des 14. Bifurkationspunktes muss eine Iteration mit 16383 Wurzeln (passt nicht in mein Eingabefeld :-) so oft durchlaufen werden, bis sich die gew�nschte Nachkommastelle nicht mehr �ndert: m14=0.892486417801324213632228523522879539928170367169... Die dabei erreichte Genauigkeit von (m13-m12)/(m14-m13)=4.669201608115935222577165138861232906218811455... zur Feigenbaum-Konstante betr�gt gerade einmal 8 Nachkomma-Stellen! Das schreit nach besseren Algorithmen...
Konvergenzbeschleunigung ergibt: (m14*m12-m13*m13)/(m14+m12-m13*2)=0.892486417967736225497388780052309879033...(19 richtige Nachkommastellen zu A098587/4)
Man kann auch die Abst�nde der Periodenverdopplungspunkt-Ergebnisse zur 0.5-Geraden betrachten und bekommt die 2. Feigenbaum-Konstante A006891 =
2.50290787509589282228390287321821578638127137672714997733619205677923546317959020670329964974643383412959...
Beispiel 28: Bei Wurzelvorzeichen von Bifurkationspunkt-Iterationen wird die Folge A035263 ben�tigt, die hier per Hilfs-Folge A029883 (Feld aB) in der Variable b angezeigt wird. (Index 0 ist unwichtig)
Beispiel 29: Um numerische Integrationen nach Gauss zu berechnen, �bergibt man der Funktion IntegralG(Startpunkt, Endpunkt, Formel(x),Genauigkeit). Hier am Beispiel der Fakult�t wird gezeigt, wie man auch variable Parameter (hier a als reelle Zahl) �bergeben kann. Zwar geht der Integral-Intervall-Endwert bis unendlich, hier bei einer Genauigkeit von 11 Stellen reicht der Endwert 53. Um Werte a<1.9 zu berechnen, addiert man eine 1 und dividiert das Ergebnis durch (a+1): a! = (a+1)!/(a+1)
Beispiel 30: In Knobelaufgaben oder Intelligenztests hat man h�ufig Folgen zu erg�nzen. Statt jedoch nur den direkten Vorg�nger zu betrachten, wie das Ergebnis "Suche Folge"=A101634 ergibt, liefert auch das Interpolationspolynom ein exaktes Ergebnis: bis i==4 sind beide Folgen gleich. Bei i==5 ergibt sich 75 oder c=51. Um die mehrdeutige L�sung um noch ein m�gliches Ergebnis zu erweitern, habe ich mit a=19 eine weitere "weiche" (ohne floor und mod) Formel hinzugef�gt. Die Folge kann also mit 19, 51 oder 75 fortgesetzt werden.
Wie man in http://pi.gerdlamprecht.de �20 sieht, kann man mit Nachkommastellen auch Folgen konstruieren: 22,01,76,21,03,29 oder 30 sind also auch m�gliche Fortsetzungen der gesuchten Folge.
Beispiel 31: Zur Berechnung des lokalen Minimums von Fx=pow(x,x) {VB-Schreibweise x^x) wird hier ein universelles Probierverfahren angewendet.
Beispiel 32: Die gleiche Aufgabe kann per Newtons "Nullstelle der 1. Ableitung" gel�st werden. Da nicht jede Ableitungsformel bekannt ist, gibts hier die Ableitung1 f�r die Fx. Ein Vergleich mit der echten Ableitung pow(x,x)*(1+log(x)) ergibt folgende �bereinstimmungen: x auf 7 Nachkommastellen c=f(x) 16 Nachkommastellen.
Beispiel 33: Suchen lokaler Maxima am Beispiel der Fibonacci-Funktion: x1=1.094576105231645 (oben genauer) x2=-1.03049514 x3=-3.045810919 usw.
Beispiel 34: Suchen lokaler Maxima am Beispiel der Fresnelschen Integrale. Da die Rechenzeit der Numerischen Integration besonders bei gro�en Argumenten extrem anw�chst, habe ich N�herungsfunktionen FresC(x,Modus) und FresS(x,Modus) hinzugef�gt. Modus==0 stimmt auf etwa 8 Stellen mit dem Integral �berein und ist aus http://www.hp-gramatke.de/math/german/page0200.htm. Modus==1 sind die C1- und S1-Funktionen von Meek/Walton. Modus>2 sind N�herungsformeln anderer B�cher wie "Wenn Kepler einen Computer gehabt h�tte" (nur etwas ungenauer als Modus 0). Vorsicht: bei einigen Publikationen fehlt im Integral der Faktor Pi/2 in der Winkelfunktion wie bei http://de.wikipedia.org/wiki/Klothoide#Anwendung_in_der_Optik dann Modus==2 also FresS(x,2)=FresS(x/sqrt(PI/2),0)*sqrt(PI/2);
Beispiel 35: Verbesserung der Nullstellensuche sind die Illinois-, Pegasus- und Anderson-Bj�rck-Verfahren. Mit Nsuch(nMod,F2,Fz) kann zwischen den 3 umgeschaltet werden: nMod=0=Illinois; 1=Pegasus 2=Anderson-Bj�rck. Ein Vergleich der Fx ergibt folgende Iterationszahlverbesserung: Bisektion:49, Illinois:14, Pegasus:12, Anderson-Bj�rck:9
Beispiel 36: Verallgemeinerung der Ziegenaufgabe mit Hilfe von Numerischer Integration und Anderson-Bj�rck-Verfahren: Die Kombination aus numerischer Integration und Beschleunigung der Nullstellensuche gestattet das L�sen der Ziegenaufgabe mit beliebigen Fl�chenformeln (also auch nicht-runde Rasenfl�chen) ohne das Integral aufl�sen zu m�ssen (schon Integral{sqrt(l�-x�)dx}=(x*sqrt(l�-x�)+l�*arcsin(x/l))/2 ist kompliziert genug und wurde bereits in den Beispielen 3 und 6 aufwendig aufgel�st). Bei einer kreisrunden Rasenfl�che mit dem Radius=1 und der Leinenl�nge=l betr�gt die Fl�chenformel=sqrt(l�-x�)+sqrt(1-x�)-1. Der Schnittpunkt dieser beiden Kreise liegt bei Xs=sqrt(l�-l^4/4). 1/2 der Fl�che, die die Ziege wegfressen kann, berechnet sich aus dem bestimmten Integral von 0 bis Xs. Diese muss also gleich 1/4 der Einheitskreisfl�che sein, also Pi/4. Diese Parameter lassen sich direkt eingeben. Nach 31 Iterationen (bestimmte Integrale haben nat�rlich noch ihre eigene Iterationszahl; bei FireFox oder langsamen PCs sollte die Genauigkeit von 1e-9 auf 1e-8 heruntergesetzt werden) hat man im Ergebnis c etwa 9 richtige Stellen. Hinweis: es wird l gesucht, da r=1 ist l/r=l -> f�r die Suche wird F(x) ben�tigt also in der Formel l durch x ersetzt. Dieses x wird als Konstante der numerischen Integration �bergeben. Das zu integrierende x im Integral hat mit dem x in F(x) nichts zu tun, da es als String �bergeben wird. In der Formelschreibweise wird t und dt verwendet:
�
Beispiele 37 und 38 berechnen die Euler-Zahlen. teils mit EulerX(n,x)
��

Beispiele 39 und 40 berechnen die Gudermannfunktion auf 4 und deren Umkehrfunktion auf 7 verschiedenen Wegen artanh tanh coth cosec cot sinh cosh arcosh arsinh sec acsc acot sech csch asech acsch acoth: siehe http://de.wikipedia.org/wiki/Gudermannfunktion
Beispiele 41 und 42 berechnen die Fehlerfunktion erf(x): Integral, Reihe und Kettenbruch �
Beispiel 43 Fehlerfunktion erf und die komplement�re Fehlerfunktion erfc als Wertetabelle (genauer als http://de.wikipedia.org/wiki/Erfc). FireFox scheint Probleme bei der Abarbeitungsreihenfolge und beim Kopieren (lokal funktioniert es) zu haben...
Beispiel 46 So einfach kann die Berechnung der Primzahlzwillinge sein! Leider begrenzt JavaScript die Rekursionstiefe (too much recursion InternetExplorer7 RT=504; IE8 RT=1286; FireFox 3 RT=677; FireFox 4 RT=263; IE9 RT>1387; FireFox 5 RT=218) und damit die Obergrenze von a-Hochlauf bis d.
Beispiel 47 Die Funktion IsPrim(x) liefert true zur�ck, wenn Argument eine Primzahl ist.
Beispiel 48 Die Funktion kgV(z,x) liefert das kleinste gemeinsame Vielfache. Einige Primzahlen haben die Form kgV(1,2,...n)+1. kgV(xa,xb)=xa*xb/ggT(xa,xb)
Beispiel 49 Import von Algorithmen: Neben dem Ex- und Import des Algorithmus per Button zur und von der Zwischenablage gibt es auch die M�glichkeit der Parameter�bergabe per Link. Die Parameter erzeugt man per Export mit 'URL-Link-kompatibel'. Da einige Browser nicht sauber mit der Zwischenablage funktionieren, wird im Fehlerfall die Ergebnistabelle als Zwischenspeicher benutzt (analog beim Import). Hier Beispiele: Zahlenfolgen.html
Beispiel 50 Inspiriert vom falschen (und ungenauen) Ergebnis in wolframalpha(lokales Min oben rechts bei y>0)
habe ich die Funktionen SuchMin und SuchMax(Formel,xMin,xMax,yMin,yMax,Bedingung,genau) mit dem R�ckgabe-Feld [0]=Fxy(x,y) bei [1]=x [2]=y eingebaut. Damit auch das 2. gleichwertige Max gefunden wird, kann man die Bedingung per &&x>0 einschr�nken, oder den x-Suchbereich statt von -b bei 0 beginnen lassen. i=2 ist nur f�r die Tabellenzeile [2] also y.

Beispiel 51: Mit AbstandGPS(BreiteLat1�,LaengeLon1�,BreiteLat2�,LaengeLon2�,Erdradius, Modus) kann der Abstand 2er GPS-Koordinaten [�] berechnet werden.(wenn wie hier Angabe in 6378.388km, dann Ergebnis auch in km) Modus: 0=Loxodrome-Gleichung (atan((l2-l1)/(log(tan(b2+Pi/4))-...) 1=Gro�kreisbogen=acos(sin(b1) * sin(b2) + cos(b1) * cos(b2) * cos(l2-l1))*r; 2=WGS-84 Ellipsoid http://www.movable-type.co.uk/scripts/latlong-vincenty.html http://www.kowoma.de/gps/geo/mapdatum.htm
Mit AbstandXYZ(Feldxyz1,Feldxyz2,Mode) kann der Abstand 2er Punkte im Raum berechnet werden: Mode=0 direkt; Mode=1 entlang der Kugeloberfl�che mit Mittelpunkt=(0,0,0), im Beispiel identisch zur Entfernung 0,0-0,90� (1/4 Erdkugel)
Koordinaten- Suche und Umrechnung hier: http://www.flashearth.com

Beispiel 52: F�r die Umrechnung der altmodischen Winkelangabe [� ' "] gibt es die Funktion FxNachGrad(Position ab Index0 Komma trennt Parameter). Wie man Grad nach [� ' "] umrechnet, zeigen b, aC[0] und aD[0].
Beispiel 53: Benzinpreisberechnung: bei 2450km und einem Verbrauch von 15l/100km verbraucht man b=367.5 l was bei einem Benzinpreis von aB[0]=1.30 Euro/l ein Gesamtpreis von c=477.75Euro ergibt. Nebenrechnung f�r 600km mit 90l ergibt Verbrauch in a.
Beispiel 54: Wann ist Vater doppelt so alt wie Sohn? Grobe N�herung in Jahren.
Beispiel 55: Wann ist Vater c=3 mal so alt wie Sohn? Genau auf Sekunde! Da 1 Jahr etwas mehr als 365 Tage hat, ist Jahr-Differenz ungeeignet. Hier wird mit den Funktionen StrDatum2Date(strDatum) Date2Tage(dDate) DateAddSek(dDate,intSek) auf Sekunde genau berechnet und Schalttage ber�cksichtigt.
Beispiel 56: Wieviel Nullen hat 100! ? Da jede Multiplikation mit 5 durch die vielen geraden Faktoren am Ende eine 0 erzeugt, muss man nur die Anzahl der 5-Faktoren z�hlen. Da Zahlen wie 25 mehr als einen Faktor 5 beinhalten, bietet sich hier eine Rekursion an, in der die H�ufigkeit von Modulo5==0 berechnet wird. Das gleiche Ergebnis kommt bei a+=Reku(0,i,'(x % 5)!=0','z','Reku(z+1,x/5,selbe)'); heraus, da man die Rekursionstiefe auch mit Hilfe der Variablen z berechnen kann.
Beispiel 57: Relativer Seildurchhang bei gegebenen Seilabstand aB: In erster N�herung kann man ein Dreieck annehmen (tiefster Punkt des Seiles verlaufe ideal gerade zu den Seilenden, dann ist aD relative Durchhangtiefe; identisch zu aC bei d=2). Eine m�gliche N�herungsformel f�r aC mit d kleiner 2 ist realistischer, da Seil durchh�ngt. Bei Abstand aB=0 wird die maximale Tiefe aC=aD=1 erreicht, was halbe Seill�nge entspricht.
Beispiel 58: Konvergenzbeschleunigung bei der Suche des lokalen Minimums mit Hilfe der Ableitung der expliziten Fibonacci-Funktion: mit
#@P@Q5)*0.5+0.5,x)/@Q5)+@P@Q5)*0.5-0.5,x)*sin(PI*(x-0.5))/@Q5)@Na=0.19;b=1.6;@B2]=2;@N@B0]=Fx(b);@B1]=Fx(b-a);@B2]=Fx(b+a);if(@B0]%3C@B1]&&@B0]%3C@B2])a/=10;@Eif(@B1]%3C@B2])b-=a;@Eb+=a;@N@A@B1]-@B2])%3C1e-17@N1@N1@Nc=Fx(b);
bekommt man mit 26 Iterationen 8 Nachkommastellen -> per Ableitung und Beschleunigung hat man nach 6 Iterationen 15 richtige Nachkommastellen (siehe Beispiel 8)
Beispiel 59: L�sung der Iterationsgleichung x=Fibonacci(x) um 0.33: Die explizite Fibonacci-Funktion (Beispiele 8, 58) hat bei 0.33 eine interessante L�sung. Mit der Funktion GetKoDezi(-11,0,56) kann man sich bis zu 200 weitere Nachkommastellen anzeigen lassen.
Beispiel 60: Addition von Pi und ln(10) auf 50 Stellen: Mit der Funktion GetKoDezi(Konstantenindex,ab Stelle,Stellenanzahl) bekommt man eine mathematische Konstante als String. Braucht man mehr als die 14 Nachkommastellen, kann man so jede einzelne Stelle von hinten nach vorn mit �bertrag addieren (0.1=Dezimaltrennzeichen). Mehr Konstanten und mehr Stellen unter Zahlenfolgen.html
Hinweis: braucht man Pi ab Nachkommastelle 70, sollte man statt GetKoDezi(796,71,Stellenanzahl) die uneingeschr�nkte Funktion GetPiDezi(71,Stellenanzahl) benutzen, da weder TelefonNr noch Passwort n�tig sind. G�ltige Stellen sind: <4097, 2747626, 9499651, 24658326, 67044170, 71846319, 186556201, 266321602
Beispiel 61: Auslagerung der Iteration nach Iter(t0while1DoWhile,x,i,strWhile,strDo,strRet): Hier wird das Beispiel 1 genutzt, um zu zeigen, wie die komplette Iteration in eine Funktion verschoben werden kann, um eine weitere Iteration dar�ber zu implementieren.
Beispiel 62: Steigerung der Rechengenauigkeit (Nachkommastellen) mit der Funktion bigc(0add1sub2mul3div4pow5comp6abs7int8round9mod10sqr11exp12ln13Fak14Fib15sin16cos17atan18powr19AGM20IsPrim,str1,str2): Hier wird untersucht, ob sin(PI/60) und (sqr30+sqr10-sqr6-sqr2)/16+(1-sqr3)*sqr(5-sqr5)/8 �bereinstimmen (Validierung). Bei a=74 stimmen aB[0] und aB[1] auf 72 Nachkommastellen �berein! Bei Funktionen 6 bis 8 und 11 bis 17 dient der 2. Parameter zur �bergabe der Stellenanzahl. Bei den anderen bestimmt sie der l�ngste String. Aus diesem Grund muss bei sqr30 (Funktion 11) per +addstr('0',a) die Stringl�nge k�nstlich vergr��ert werden. Der bei Zahlenfolgen.html=1.198140234735...=A053004 verwendete Arithmetisch-Geometrische-Mittelwert, wurde aus Zeit- und Platzgr�nden auch als bigc(19, aufgenommen. So reicht der Platz auch zum L�sen von AGM(3,x)=PI siehe 3.28645... Den Startwert kann man beliebig genau vorgeben, da die Funktion MitGenau(strIn,lAnzahl) die n�tigen Nullen am Ende hinzuf�gt.
Beispiel 63: H�ufigkeit der Ziffern im Text per an(aB,strIn): Hier werden die Ziffern 0 bis 9 im String gez�hlt. In diesem Beispiel zeigt der 2. Parameter UVT = unverschl�sselten Text weiter unten bei 2. Textkodierung. Diesen kann man mit dem Button Pi dezi f�llen. Der 3. Parameter kann angegeben und auf 1 gesetzt werden, um den relativen Wert in [%] anzugeben.
Mit ##@Na=1000;@NaD[10]=bigc(3,MitGenau('2857198258041217165097342',a-1),'909474452321624805685313');aD[11]=GetKoDezi(796,0,a+1);@Ni%3E0@N0@N1@Nan(aB,aD[10]);an(aC,aD[11]);i=9;b=aD[10].length;c=aD[11].length; kann man zeigen, dass die Verteilung der Ziffern eines Bruches - der mit Pi bis zur 47. Stelle �bereinstimmt - bei 1000 Stellen statt wie Pi von 93 bis 105 wegen der Periodizit�t von 82 bis 119 schon recht ungleichm��ig verteilt ist.
Beispiel 64: Berechnung der Nullstellen Kubischer Gleichungen mit Hilfe der cardanischen Formeln: Die unter Wikipedia beschriebenen Formeln sind hier praktisch umgesetzt: die Polynomfaktoren werden dem Feld aC[0] bis aC[3] �bergeben: 8*x^3-35*x^2+37*x-2=0. Die Diskriminante d=aD[0] entscheidet �ber die Anzahl der L�sungen aD[1] bis aD[3]. Ein negatives Vorzeichen innerhalb einer Wurzel wird mit Hilfe der Funktion sgn(dIn) "herausgezogen". Testen kann man die Ergebnisse bei 4. Interpolationspolynom oder mit Parametern nach der Berechnung hier: Nullstellen Rechner !!
Beispiel 65: Berechnung von Eisprung und Geburtstermin (Eisprung- oder Ovulationsrechner): Nat�rlich kann der Eisprung und der Geburtstermin nicht exakt berechnet werden. Tats�chlich bewerten online Eisprungrechner den Einfluss der Zykluszeit auf den Geburtstermin unterschiedlich. Hier in diesem Beispiel hat die Zykluszeit d (in Tage) einen Einfluss auf den dadurch verz�gerten Geburtstermin (in Variable c). Andere gehen von einer konstanten Eilebensdauer aus, als w�re die Zykluszeit 28 Tage. Alle haben jedoch den gemeinsamen Startpunkt: erster Tag der letzten Regelblutung (Variable aB[0]). Der Eisprung wird in Variable b grob berechnet (besser ist nat�rlich die Temperaturmessung). Interessant f�r Informatiker ist die Uhrzeit, die exakt die Sommer- und Winterzeit ber�cksichtigt.
Beispiel 66: Berechnung von Pi per Iterationsformel von Borwein & Bailey: Schon nach 2 Iterationen werden 53 richtige Nachkommastellen berechnet. Leider besteht eine Iteration aus sehr vielen Zwischenberechnungen, die mit dem nicht optimierten JavaScript Interpreter IE8 80 s (Mozilla Firefox 3.5.3 nur 30 s) ben�tigen. Erst bei sehr vielen Nachkommastellen holt diese Iteration alle anderen Pi-Berechnungen ein, da bei jedem Durchlauf sich die richtigen Nachkommastellen verf�nffachen! Siehe Kreiszahl.htm. St�rende Fragedialoge k�nnen hiermit abgeschaltet werden: MaxScriptStatements
Beispiele 72 bis 74: Berechnung von Pi per Chudnovsky: Beispiel 72 �berpr�ft zun�chst die in Kreiszahl.htm angegebene Formel. Beispiel 73 vergr��ert die Genauigkeit mit den bigc Funktionen. Beispiel 74: sqrt(640320)=sqrt(1.005)*800
Beispiel 75: Ergebnis soll mit Pi auf �ber 17000 Stellen �bereinstimmen: angeblich stimmen aber weniger als 19000... wird noch untersucht (100 Stellen �ber i>1000 in 9s; 1000 Stellen i>3150 in 3h)...
Beispiel 76: Dreiecksberechnung mit Winkelhalbierender: Winkelhalbierende.htm
Beispiel 77: Rekursive Approximation von Pi: UNI-Stuttgart und Formeln von Johann Friedrich Pfaff (1765-1825)
Beispiel 78: 2 Pi Iterationen: nach ARCHIMEDES 26 Iterationen (aD[26]); die andere (Ergebnis in b) ben�tigt nur c=IT=2 Iterationen und kann wegen der Selbstkorrektur an beliebiger Stelle beginnen und zur Validierung eingesetzt werden.
Beispiel 79: Integral-Iterationen mit 3 L�sungswegen: Die nicht ausgerechnete L�sung der Mathe Klausur Abitur 2009 ist pr�destiniert f�r den Iterationsrechner: L�sung 1 in aB[]: "aufgel�ste Integralformel wegen Nichtumstellbarkeit mit Newton-Verfahren berechnen"; L�sung 2 (zwar langsam, aber allgemeing�ltig) in aC[]: "numerische Integration nach Gauss eingebettet in ein Bisektionsverfahren"; L�sung 3 in aD[]: "Umstellung der integrierten Funktion vom Geradenanstieg zum x-Schnittpunkt zu einer konvergenten und selbstkorrigierenden Iterationsformel". Hinweis: die numerische Integration kann bei Genauigkeitsforderungen <1e12 zu einer Endlosschleife f�hren. Die Ergebnisse wurden nur auf die Variablen a und b geleitet, um die Suchfunktion meiner Nachkommastellendatenbank zu demonstrieren, wo beide mit mehreren 1000 Stellen enthalten sind.
Beispiel 80: Genauigkeit numerischer Integration verbessern: Da viele Rechner nicht integrierbare Funktionen wie hier nur auf 5 Stellen genau berechnen, werden 2 L�sungen gezeigt: Einmal wird die numerische Integration nach Gauss durch Aufteilung bis an die Grenzen der Genauigkeit ausgereizt.
Die Haupt-Iteration nutzt die tanh-Funktion ( siehe hier ). Per Button "Suche c im Web" kann man sich in meiner Datenbank weitere zig Tausend Nachkommastellen dieser Konstante A-280 ansehen. Bei IntegralG kann zwar auch die Funktion Fx(x) verwendet werden, aber der Interpreter ben�tigt dann die 10fache Berechnungszeit!
Beispiel 81: Pi per Limes eines Bruches ganzer Zahlen: Da Z�hler und Nenner extrem ansteigen (i=9 c=900000 Z�hler=2.2...�10^20955540), werden hier 2 Gesetze genutzt: a*b=exp(log(a)+log(b)) und die Stirlingsche-N�herungs-Formel x!=exp(log(PI*2)/2+(x+0.5)*log(x)-x+1/(x*12)+...)
Beispiel 82: Validierung von 3 Algorithmen: Bei Berechnung dieser Konstante "A-320" offenbarte die hyg-Funktion an der 53ten Stelle einen Fehler (interner �berlauf im JavaScript) -> dieser wurde am 29.08.2010 behoben.
Beispiel 83: Newcomb-Benford-Law (Benford Gesetz): Bei Untersuchung der Verteilung der ersten Ziffer meiner Nachkommastellen Datenbank ergab sich schon bei 500 Datens�tzen eine Verschiebung der Gleichverteilung in Richtung kleinere Ziffern. Bei wiki/Benfordsches_Gesetz und Plouffe's Inverter statistics best�tigte sich eine Gesetzm��igkeit. Die Seite chaar.de/walid/benford hatte zwar eine gute Idee, aber die Berechnungen dort sind fehlerhaft (schon die Summe der Zahlen stimmt nicht; die Ziffer 9 kommt am Anfang 37 und nicht 180 mal vor!), dann alle Anfangsziffern zusammen (siehe DB_HTML_RestKonst_Benford.php und AnzahlErsteStellen ) kopiert und in das Feld Textkodierung eingef�gt ergibt mit Iterationsbeispiel 63 (oder Beispiel 83 ohne F�ll-Befehle) die Verteilung 25.8%, 19.7%, 11%, 7.4%...(Stand 30.08.2010). Die Formel tan(random()*PI/2)^2*1e12 erzeugt eine gute Benford-Verteilung.
Beispiel 84: Beliebige Reihen beliebig genau: Sobald unendliche Reihen (Summen, Series) von der bekannten Norm abweichen, versagen selbst Programme wie wolframalpha (Summe funktioniert nur ohne +1). Mit der Variablen a kann die Genauigkeit des Ergebnisses 0.5000027557243... bis 77 (120 mit Tel) Nachkommastellen eingestellt werden. Statt aB[0].search('.'+addstr('0',a-5))>0 kann auch bigc(5,aB[0],'0.'+addstr('0',a-5)+'1')<0 als Abbruchbedingung eingetragen werden.
Beispiel 85: Body-Mass-Index und Ponderal-Index: In Variable a tr�gt man das K�rpergewicht in kg und in b die K�rperh�he in m ein. Das Ergebnis sind 2 Tabellen: Index i<=22 ist a fest und in aB variiert die K�rperh�he. Ab i>22 ist b fest und in aB variiert die Masse. aC=BMI; aD= Ponderal-Index .
Beispiel 87: Erzeugung eines transzendenten Verschiebungsfaktors per Iteration
Beispiel 88: Pi per Chudnovsky1555 50 Stellen pro Iteration: Bailey & Borwein ver�ffentlichten eine Formel mit Wurzel5-Faktoren (A-634 ...A-636), die pro Summand (Iteration) 50 richtige Nachkommastellen erzeugt. http://www.pi314.net/eng/borwein.php Formel 12.
Beispiel 90: logistic map x(n)=rx(n)(1-x(n)): Was bei http://pictor.math.uqam.ca/~plouffe/pi/ip/ gemeint ist, sind Iterationen mit Br�chen, die wiederum nur Br�che ergeben.
Beispiel 91: Zahlenfolge 2,3,5,7,11,13,17 geht auch ohne Primzahlen: Dieses Beispiel zeigt, dass diese Anfangsglieder auch per Polynom oder N�herungsformel gebildet werden kann.
Beispiel 92: 1,2,4,10,30,102 + 1,2,5,15,51,188 + 0,0,1,5,21,86: Die unter http://oeis.org/A007317 beschriebene Folge kann auch per Binom(oben,unten) berechnet werden: aC[i]. 2 Weitere Folgen aC und aD wurden gleich mitberechnet. Interessant ist f�r aB die Iteration aB[i+2]=(((i-1)*6+4)*aB[i+1]-5*(i-1)*aB[i])/(i+1);
Beispiel 93: Konstante A-320685 innerhalb einer unendlichen Summe suchen: Die Formel kann nur numerisch nach x aufgel�st werden. Ergebnis steht in c=A-320685. Bis auf die letzte Stelle stimmen alle per JavaScript berechnete Ziffern, denn ich habe mit �ber 2700 Iterationen und �ber 1050 Stellen (>9h) nachgerechnet.
Beispiel 95: Wandlung einer Double-Zahl in einen Bruch und zur�ck: GetBruchNenner(dZahl,NennerMAX) wandelt eine Gleitpunktzahl in einen Bruch, der kleiner gleich dem Nenner ist.
Beispiel 97: 2 Wege zum Addieren von Minuten: In Variable a werden die Minuten in Gleitpunktdarstellung addiert. Variable b zeigt diese Zeit addiert zu einem Referenzdatum. Die Variablen aB[] enthalten Zeiten in der formatierten Schreibweise "mm:ss". In d wurde nach der Gesamtminutenberechnung der vordere Datumsteil eliminiert.
Beispiel 98: Pi per Kettenbruch von Brouncker: Um die Genauigkeit dieses Kettenbruches - implementiert in eine Rekursion - zu verbessern, wurden 2 Kettenbr�che gemittelt.
Beispiel 99: Pi per Iteration von Fran�ois Vi�te: Diese Iteration ben�tigt f�r die Zwischenergebnisse eine sehr viel h�here Genauigkeit und ist daher f�r die Berechnung von vielen Nachkommastellen ungeeignet!
Beispiel 100: Folge A005150: F�r das Z�hlen gleichartiger Zeichen wurde die Funktion GleicheLen(strIn,lOffset) implementiert. Per Iter() kann innerhalb einer Iteration ein ganzer String abgearbeitet werden.
Leichte Abwandlung dieser Conway Folge ("Look and Say sequence") durch Anpassung des Startparameters aB[0]: 0≅A001155; 2≅A006751; 3≅A006715; 4≅A001140; 5≅A001141; 6≅A001143; 7≅A001145; 8≅A001151(8,18,1118,3118,132118,..); 9≅A001154
Beispiel 101: i oder TXTIN Array in BCD wandeln: Mit der Funktion GetTXTI(lvon,lAnzahl) und Iter() kann ein gro�er Block in ein Array kopiert werden. Fx(x) erzeugt mit Hilfe der Abschneidefunktion slice(negativVonRechts) aus einer Dezimalzahl eine Dualzahl der L�nge 4.
Beispiel 102: Datumsdifferenzen wandeln in Jahre, Wochen, Tage, s: Immer wieder gibt es Probleme beim Wandeln gro�er Datumsdifferenzen mit Ber�cksichtigung von Schaltjahren und Schalttagen. Hier kann man alles auf die Sekunde genau berechnen.
Beispiel 103: 5! Permutationen der Ziffern 1...5: Mit den Funktionen IsZeichenDoppelt(ZahloderTxt) und NextNoDblZahl(Zahl,vonZeichen,bisZeichen,MaxZahl) kann man einfach Nachfolger generieren, die innerhalb der Zahl keine doppelten Zeichen enthalten. Falls MaxZahl �berschritten wird, geht es bei vonZeichen weiter. IsValInArrayIndex(Wert, FeldMitWerten, Index_ab_dem_abwaerts_gesucht_wird) ist bereits bekannt f�r das Finden von Zahlen in einem Array. Diese allgemeine While-Schleife wurde zur Geschwindigkeitsoptimierung auf die letzten beiden Ziffern reduziert.
Beispiel 104: Acer111111 These: Um die These von Acer111111 zu �berpr�fen wurde der Iterationsrechner um 2 Funktionen erweitert: Rotier(0rechtsRotier1links2Vertausch, VerschiebeAnzahl, Zahl, optional ZeichenLen) und QuerSum(Zahl). Bis 99999 stimmt die Aussage: die Differenzen der Quersummen einer Quadratzahl und einer ziffernvertauschten Quadratzahl sind Vielfache von 9. Hinweis: FireFox ist hier etwa doppelt so schnell wie InternetExplorer! Die Tabelle zeigt immer nur begrenzt viele Zeilen - intern wird jedoch immer bis zur Abbruchbedingung (max i=100000) gerechnet.
Beispiel 105: Acer111111 These mit 122stelliger Zahl: Der Iterationsrechner kann die im Beispiel 104 gezeigte These auch f�r extrem gro�e Zahlen (mehr als 100stellig !) online nachrechnen. Es scheint egal zu sein, ob vertauscht {Rotier(2,0..} oder um x rotiert {Rotier(0,x..} wird.
Beispiel 106: sin(71�) auf 3 Wegen: Die veralterte Einheit � muss mit dem Faktor Pi/180 in rad gewandelt werden. Wegen der schnelleren Konvergenzgeschwindigkeit berechnet man mit den Formeln sin(x)=1-2*sin(pi/4-x/2)�=sin(x/4+Pi/8)�*8-sin(x/4+Pi/8)^4*8-1=3*sin(x/3)-4*sin(x/3)� zun�chst nur den 3. Teil des Winkels. Von den 5 bekannten Formeln Sin[x] = Sum[((-1)^k x^(2*k + 1))/(2*k + 1)!, {k=0...inf}]=x-x�/6+x^5/120-x^7/5040+x^9/362880-x^11/39916800+...
Sin[x] = (exp(i*x) - exp((-i)*x))/(2*i)
Sin[x] = x*hyg0F1[3/2,-(x�/4)]
Sin[x] = x*sqrt(hyg1F2[1,2,3/2, -x�])
Sin[x] = x*Product[1 - x�/(Pi� k^2),{k=1...inf}] wurde die erste angewendet. In Variable c steht der Vergleichswert der JavaScript-Funktion. aB[5] benutzt bigc f�r 50 Nachkommastellen. Aus sin(x) k�nnen bei Bedarf weitere trigonometrische Funktionen abgeleitet werden: cos(x)=sin(Pi/2-x)=sqrt(1-sin(x)�);tan(x)=sin(x)/cos(x)=sin(x)/sqrt(1-sin(x)�)
Beispiel 107: Zauberw�rfel/Cube W�rfelkombinationen 2�2�2...5�5�5: Die in http://en.wikipedia.org/wiki/Rubik%27s_Cube beschriebenen Formeln sind hier f�r die W�rfel 2�2�2(Pocket Cube 3674160), 3�3�3(Rubik's Cube 43252003274489856000), 4�4�4(Rubik's Revenge) und 5�5�5(Professor's Cube) zur Kontrolle nachgerechnet. Hinweis: Einige Hersteller bringen ein LOGO an, womit sich ab 3�3�3 die Variantenanzahl vervierfacht!
Beispiel 108: Zauberw�rfel/Cube W�rfel-Kombinationen 2�2�2, 6�6�6, 7�7�7: Achtung: die 117 und 161 stelligen Ergebnisse f�r V-Cube 6 und V-Cube 7 sind wegen der Genauigkeitsbegrenzung nur mit Eingabe der Tel.-L�sung + Passwort richtig!
Beispiel 112: Ziegenproblem online simulieren: (auch bekannt als "Perseus sucht Andromeda; hinter 2 T�ren lauern aber Gorgonen" oder Game-Show mit 3 T�ren) Man kann alles unter Wikipedia oder www.mister-mueller.de/mathe/beispiele/ziege/ziegenproblem.html nachlesen... Es gibt zig Seiten mit zig komplizierten (und langsamen) Simulationen. Hier im Beispiel sind es 3 Zeilen und die Ergebnisse f�r b=100 Testl�ufe sind in 30ms in c (durchschnittlich 66.6% bei Umentscheidung) und d (durchschnittlich 33.3% ohne Umentscheidung).
Typisch Mensch: Als Marilyn vos Savant dieses Zufallsexperiment richtig erleuterte, "...erhielt sie Tausende von Briefen, deren Absender fast alle darauf bestanden, dass sie Unrecht habe... stellten sich 92% der wissenschaftlich nicht vorgebildeten und immerhin 65% der einer Hochschule angeh�renden Leserbriefschreiber gegen sie." Statt wissenschaftlich an eine Sache heranzugehen, wird leider immer noch zuerst versucht, den �berbringer des Wissens umzustimmen...
Beispiel 113: Zeit zu Datum addieren: etwas einfacher als JavaScript
Beispiel 114: Welche Zahlenkombinationen ergeben ein bestimmtes Ergebnis: Die Funktion FindKombination(Index0, Operator '*' oder '+', lErgebnis, Array aB) gibt alle m�glichen Aufgaben aus, die mit den Zahlen im Array und dem Operator * oder + lErgebnis ergeben. Index0=0 bedeutet ab der ersten Zahl im Array beginnen. Neue Funktionen KillHintere(strIn,strZeichen) und KillVordere(strIn,strZeichen) l�schen das angegebene Zeichen vorn oder hinten.
Beispiel 115: AusmalAnzahl, Funktion und exotische Zahlenfolge: Die Funktion AusmalAnzahl(Zahl, Array) addiert die Wertigkeiten aller Ziffern der Zahl. Array(0,1,2,3,4,5,6,7,8,9) entspricht also der Quersumme und Array(1,0,0,0,1,0,1,0,2,1) entspricht der Kindergarten-Funktion "z�hle die ausmalbaren geschlossenen Fl�chen der Zahl"
Beispiel 116: Zentrallagerproblem: minimale Summe aller Euklidischen Entfernungen (Steiner-Weber-Problem mit Wichtung): http://optimierung.mathematik.uni-kl.de/mamaeusch/projekte/wimstems/standortplanung.pdf Seite 26 Punkt 5 mit aB[i]=x-Koordinaten der Standorte, aC[i]=y-Koordinaten der Standorte, w[i]=Wichtungsfaktoren (Kilometergeld), aD[0]=x und aD[1]=y -Koordinate des minimalen Wegstreckenmittelpunktes
Beispiel 122: pow - Mod - Algorithmus ohne gro�e Zwischenergebnisse: Beim Potenzieren k�nnen schnell extrem gro�e Zwischenergebnisse entstehen und zum �berlauf f�hren. Wenn anschie�end Modulo berechnet werden soll, gibt es eine Abk�rzung: powMod(a,b,c) (PowerMod)
Beispiel 123: Gray-Code Tabelle erzeugen: siehe http://de.wikipedia.org/wiki/Gray-Code
Beispiel 125: verschachtelte 2D Iteration mit Funktion Fxy(x,i) und 2D-Array a2D[x-a][i-c]:
��
Beispiel 126: Kiss Zufallsgenerator 53 Bit siehe http://lists.freebsd.org/pipermail/freebsd-numerics/2015-March/000602.html
Beispiel 127: Kiss Zufallsgenerator 32 Bit siehe Wikipedia Kiss Zufallsgenerator
Beispiel 128: invertierte Normalverteilung Da Normalverteilung=1/2+erf((x-�)/sqrt(2σ�))/2, wird die Umkehrfunktion per aerf(x)=InverseErf(x)=erf^(-1)(x) berechnet.
Der Vergleich mit EXCEL's NORMINV(x;�;σ) zeigt gute �bereinstimmung (Standard �=0, σ=1) :
Vergleich invertierte Normalverteilung mit EXCEL's NORMINV

Beispiel 130: ASCII Text entschl�sseln (bei TXTIN oben rechts Komma getrennt)

Beispiel 140: Grand Digital Computer Race (Fibonacci CPU Benchmark)
Berechnungszeit Intel i7 auf InternetExplorer: 9480 ms. Danach dauert es noch mal bis zu 40 s, um das aB-Array zur Wertetabelle zu kopieren!

Beispiel 144: Primzahlerzeugung aus Konstante A249270
Achtung: ohne Eingabe von Passwort reicht die Genauigkeit nur bis zum Index i=43.

Beispiel 145: CORDIC Algorithmus f�r cos & sin
http://digdok.bib.thm.de/volltexte/2009/4148/pdf/CORDIC_Algorithmus.pdf jedoch nicht 15 Schritte mit 4 richtigen Nachkommastellen, sondern 45 f�r 14 richtige NK.

2. Textkonverter, Textkodierung, Konvertierung, Zeichensatz�nderung, Encoder, Decoder, Encryptor (nicht hochsicher), Pi Datenbank

Hilfe und FAQ zur Pi Datenbank unter http://pi.gerdlamprecht.de oder http://www.konstanten-seite.co.de(statistische Auswertung Iterationsrechner Beispiel 63)

hier der unverschl�sselte Text (XOR mit Zahl=0 bedeutet unver�ndert):

L�nge:
ab Nachkommastelle:
ab Nachkommastelle:

R=0...9 oder 255: oder mit Passwort: ����� �� Verschl�sselungs-Algorithmus:


E-Mail kompatibel(URI, also ohne Steuerzeichen)
verschl�sselter Text:
��
6-Bit-Zeichen-Index: als Buchstaben
6-Bit-Zeichensatz :

ersten 26 Zeichensatz-Buchstaben um nach links

Beispiele:
1. In http://www-i1.informatik.rwth-aachen.de/~algorithmus/algo27.php wird Caesars Buchstabenrotation beschrieben: DOJRULWKPXV GHU ZRFKH. Da hier nicht kompliziert verschl�sselt, sondern nur im Zeichensatz um 3 rotiert wird, setzt man den XOR-Algorithmus mit der Zahl 0 ein. Der Zeichensatz ist bei Einstellung 5 variabel. Man setzt ihn zuerst auf MIME und rotiert dann zum Verschl�sseln um 3 nach links (Entschl�sseln mit -3).
2. In www.kryptographiespielplatz.de steht das Kryptogramm JVFFRAVFGZNPUGZRUEJVFFRAVFGZRUEZNPUG. Man kann es wie Beispiel 1 duch Verschiebung l�sen: + oder - 13 ist hier egal. Zum gleichen Ergebnis kommt man mit Algorithmus 11 und Buchstabenformel strIn.charCodeAt(i)>77?strIn.charCodeAt(i)-13:strIn.charCodeAt(i)+13
3. In http://www.arndt-bruenner.de/mathe/scripts/base64.htm#demo steht TGllYmVyIExlc2VyLCBsaWViZSBMZXNlcmluIQ== ... Algorithmus 5 (MIME base64) ist dabei der Sonderfall von Punkt 7, bei dem man die Buchstaben mit Zeichensatz-Kombobox 5 noch beliebig verschieben kann.
4. In http://pi.nersc.gov ergibt die Suche nach dem Wort "mir" in Pi-Hex den bin-Index 2386949120 (i=596737276 NK=210b06a64000228 ergeben ddepmir_) dabei ist dieser String schon ab Byte-Index 634 per Kombobox 4 Zeichensatz 6 zu finden: vhmiredgykc GetNKindexS(796,16,"b21a991487ca")=634; Encode(796,16,634,4,0,6,2,3)=Encode(796,16,596737276,4,0,6,4,3)=Encode(796,16,596737281,4,0,6,0,3)=Encode(796,10,542411,12,0,6,0,3)="mir" http://pi.gerdlamprecht.de
5. G�nstige Zeichensatzverschiebungen (Zeichensatz 5) erlauben bereits ab Pi-Hex-Nachkommastelle 1 per Algorithmus 6 das Finden 6 sinnvoller W�rter: GerdSimoneMaxIchDuBURK
6. G-Data suchte einen Software-Entwickler f�r folgenden Code: ZJ]]_Y2ec%_hXH]P\%k_eS2OSW4n\]f+RJincNUS.QU_eLW].Ngn7F^^.IYl7XUSZZYmjJ^ Algorithmus 11 und das richtige Passwort (.......K) ergeben die L�sung! (URI=AUS)
7. ICH LIEBE DICH Konstante entschl�sseln
12. Lange Texte mit 32 unterscheidbaren Buchstaben / Zeichen in Zahlenfolgen hin- & herwandeln
13. Buchstaben werden mit Unicode-Zeichen so gedreht, dass kompletter Text auf dem Kopf steht (bei 180� Drehung lesbar ist). Da einige Browser wie Chrome Probleme mit den gedrehten Buchstaben B T F G Y 4 haben, kann mit R=1 auf andere Sonderzeichen umgestellt werden. " E-Mail kompatibel" sollte deaktiviert sein.
LINKS:
http://www.lamprechts.de/gerd/php/suche-wort-in-pi-basis26.php
http://www.jgae.de/sdagen.htm
http://www.cryptool-online.org/index.php?Itemid=29
http://de.wikipedia.org/wiki/Kryptographie
http://de.wikipedia.org/wiki/Symmetrisches_Kryptosystem
http://de.wikipedia.org/wiki/Asymmetrisches_Kryptosystem
http://de.wikipedia.org/wiki/CrypTool

3. Extrem gro�e Potenzen (noch mehr Stellen und Genauigkeit siehe Online Rechner mit Umkehrfunktionen auch f�r komplexe Zahlen {php})


Basis:
Exponent:
Potenz:

4. Geradengleichung (Suche nach Faktor und Offset f�r lineare Messverst�rker oder Programme wie ARGUS und Tarakos)

X-InputY-OutputErgebnisseTests
Punkt 1: Faktor:Xneu:
Punkt 2: Offset:Y=
Beispiel 1: Messverst�rker haben oft ein Stromeingangsbereich von 4 mA bis 20 mA. Kabelbruch (0 mA) kann so im Ausgangskreis erkannt werden (z.B. �berwachung auf < -11V).
Beispiel 2: Ein Tachometer zeigt bei 50 km/h die 50 genau an. Bei 100 km/h zeigt er 105 an. Wieviel zeigt er bei 200 km/h an? Wie man unter dem Text erkennt, wird nicht 210 angezeigt, sondern 215. Die Ursache liegt am negativem Offset von 5. Die meisten Tachos haben eine Begrenzung bei 0 km/h -> k�nnen keine negativen Werte anzeigen -> es f�llt nicht auf.

5. Dezimalzahlen bis 19999 und r�mische Zahlen bis 30 Stellen per JavaScript umrechnen:

dezimal: � r�misch:
�
�



6. IP-Adresse suchen (ZoneAlarm interpretieren)

IP:

privates Passwort: ��





�