�u�`���I�v�Ƃ͉����낤

�w�R���K (HIYAMA Masayuki)
Mon Mar 07 2005:start
Wed Mar 09 2005:draft

�u�`���I��@�v�A�u�`������v�A�u�`���I�̌n�v�Ȃǂ̌��t�ɂ́A�u�`�� �i�I�j�v�Ƃ����`�e�����o�ꂷ��B���́u�`���I�v�Ƃ͂ǂ��������ƂȂ̂��� �����B��ɁA�`���I�̌n�ɂ‚��ĉ�����邱�Ƃɂ���āA�`���I�Ȕ��z�Ɋ��� ��L�b�J�P��񋟂������B

�ڎ�

1. �͂��߂�

���̃L�}�C���E�T�C�g�⑼�̂Ƃ���̋L���Ŗl�������Ă���b��ɂ́A�`�� �I��@�A�`������A�`���I�̌n�ȂǁA�u�`���i�I�j;formal�v�Ƃ����`�e���� �‚����̂������B�����u�`���I�v�Ƃ������t�ł��A�g���镶���ňقȂ�Ӗ� ����������̂����A�܁[�A���ʂ���ʂ�����ˁB���̋L���ł͓��ɁA�u�w�`�� �I�̌n�x�ɂ�����w�`���I�x�v�ɂ‚��Ď��グ�Ă݂�B�u�`���I�i�Ȃ��́j�v �ɑ΂��錙������A�����M�[����菜����΂����ȁA�Ƃ����̂��l�̊�]�ł� ��B

���̋L�����瑼�̋L���ւ̎Q�Ƃ͂��邪�A�����̎Q�Ƃ����ǂ�Ȃ��Ă��A ���̋L���P�Ƃł��ǂ߂�B�܂��A���̋L���Ɋ܂܂��g�`���I�h�����ɒ�R�� �������Ƃ��ɓǂނƂ�����������Ȃ��B��ʋ��{�Ƃ��Ă��A�����̈Ӌ`�͂��� ���낤�B

2. �u�`���I�v�̈��

����I�Ȍ��t�̗p�@�Ƃ��āA�u�`���I�v�ɂ́A�u�`�΂���́v�A�u�S���������Ă� ���v�A�u���e�𔺂�Ȃ��v�Ƃ������Ӗ�������B���ꂶ���ۂ�������ˁB �u�`���I�v��������킯����B����ɁA�J�^�J�i��u�t�H�[�}���v�́A�u�J �W���A���v�̔��Ό�ɂȂ邩��A�����ɂ��ʓ|�ŕ~������������������B��` �����͏��m�Ō����̂����A�u�J�W���A���ȃt�H�[�}���E���\�b�h�v���l�̖ڎw ���Ƃ��낾�ȁB

�`���I��@�A�`������A�`���I�̌n�ȂǂɌ����u�`���I�v�́A�u���w��_�� �w�Ɋ�b��u�����A�悭��`����ĞB���������Ȃ��v�Ƃ������Ӗ��Ŏg���Ă� ��Ǝv���B���A���������������肷��ƁA�u�L�����g���v�Ƃ��u�L����Ώۂ� ����v�Ƃ������Ƃ������Ă����邾�낤�B���ɁA�`���I�̌n�Ƃ́A�l�@�⌤�� �̑ΏۂƂ��Ắg�L���I�ȑ̌n�h�ł���B

�Ƃ���Ŗl�́A�u�ċA����n 1�v �Ƃ����L���Ŏ��̂悤�ɏ������B

���̋L����ǂނ��߂̗\���m���͂��܂�v��Ȃ��Ǝv�����A�`���I�̌n �iformal system�j�Ɋ���ĂȂ��Ɛh����������Ȃ��B

�u�h�i�‚�j����������Ȃ��v�Ə������̂́A�l���A�`���I�̌n�Ɋ���Ă� ���Ƃ��ɁA�h���������������炾�B���̋L���́A�h����������ł��邾�� �����E�p����菕���ɂȂ�΂Ǝv���ď����Ă���B�`���I�ȋc�_�iformal reasoning�j�����܂��g���΁A�\�t�g�E�F�A�Ɋւ���i���̂��ƂɊւ��Ă��j �l�@�̋��͂ȕ���ɂȂ�B�h�������������΁A�ʔ�����L������̊��ł��� �悤�ɂȂ邾�낤�B

3. �`���I�̌n�Ƃ͐l�H����V�X�e��

�u�ċA����n 1�v�̑�2���� �G��Ă��������A�˓c�R�a�v����̖{�w�_���w���‚���x (ISBN4-8158-0390-0) �ł́A�`���I�̌n��l�H����ƌĂ�ł���B�l�H����� �����ق�����R�������Ȃ���������Ȃ��B���ہA�`���I�̌n�Ƃ́A�l�H����� ����Ɋ֘A�������_�@�\�Ȃǂ����킹���L���I�V�X�e���̂��Ƃł���B�Ƃ��� �Ől�H����Ƃ����΁A�v���O���~���O����͓T�^�I�Ȑl�H����ł���B������A �`���I�̌n�́A�v���O���}�ɂƂ��Ă���قlj��������m�ł͂Ȃ��͂��ł���B

��ʂ̌`���I�̌n���v���O���~���O����ƈقȂ�_�́A���̖ړI���K������ �A���S���Y���i�����菇�j�L�q�ł͂Ȃ����ƂƁA�����i���ꏈ���n�j �̑��݂��O��ɂ͂Ȃ��Ă��Ȃ����Ƃ��낤�B�`���I�̌n�͘_���w�⃂�f���_�� �o�ꂷ��̂ŁA���s�����菇���͂ނ���A�����咣�i�u�~�~�ł���v�� �����悤�ȕ��j��\�����邽�߂Ɏg����B

�����Ƃ��A�v���O���~���O����ł��錾���͂��邵�A�����̂��߂ɘ_������ ������B������A�v���O���~���O����̈ꕔ�Ƃ��āA�_���I�Ȍ`���I�̌n���� �ߍ��܂�Ă���ƌ����Ȃ����Ȃ��B����A���݂���v���O���~���O����̒��� ���f���Ƃ��Ă̌`���I�̌n������B�����̂���Ȃ����m�肵�����E���ɂ͂Ȃ� �Ȃ��B���s�”\�iexecutable�j�Ȍ`���I�̌n�Ȃ�Ă̂����邩��ˁB

�ƁA���������������A�`���I�̌n����ɋ����K�v�͂Ȃ��B����Ȉ�� ������Ƃ���΁A����́A�u�`���I�̌n�ɂ‚��Đ�������v�Ƃ����s�׎��̂� ����������_�̉e�����傫���Ɩl�͎v���B�����ŁA�u�`���I�̌n�ɂ‚��Đ��� ����v�Ƃ����s�׎��̂�����������_�ɂ‚��ďq�ׂ���(*��1)�B���A�� �肠�����͎��Ⴊ�K�v�ł��邩��A���߂��珇���A��̓I�Ȍ`���I�̌n���` ����B

��1

���̋L���̌㔼�ŏq�ׂ����A�Ǝv�����̂����A1�‚̋L���Ƃ��Ă͒����Ȃ肷 ���邩���߂��B�u�`���I�̌n�ɂ‚��Đ�������v�Ƃ����s�׎��̂��������� ���_�́A�ʂȋL���ɂ���i��������Ȃ��j�B

4. ���̎�����`����

�ʂȋL�� �u�ċA����n 1�v�̑�4���ŁA �ȒP�Ȍ`���I�̌n�𓱓����Ă���B���Ė{�L���ł́A�ϐ��L���W���Ɗ֐��L�� �W�����Œ肵�āA�u�ċA����n 1�v����̓I�Ȍ`���I�̌n��1�’�`���悤�B �����āA���̋�̓I�Ȍ`���I�̌n������Ƃ��Ďg���B�`���I�̌n�i�l�H����V �X�e���j�́A���iterm�j�Ǝ��iformula�j�Ƃ������ނ̋L���\������\���� ���(*��2)�B�܂��́A�������`����B�u���v�Ƃ������t�́A�`���I�̌n�ɓ� �L�̐��p��ł��邩��A���̕���ɂ�����u���v�ɂ‚��Ă͖Y��āA������ �痝�����Ȃ��Ă͂Ȃ�Ȃ��B

��2

���Ǝ��́A�ǂ�Ȍ`���I�̌n�ł������Ă���Ǝv���B�_����W�J����ɂ́A ���̈ꕔ�������Ƃ��Ďw�肷��B����ɁA��㈌n�i�ؖ��n�j���K�v�ɂȂ�B�� ���A���̋L���ň����͈͂ł́A�����≉㈌n�͕K�v�Ȃ��B

���́A�ϐ��L���Ɗ֐��L���̑g�ݍ��킹�ł���B�����ł́A�ϐ��L���W���� {x, y}�A�֐��L���W���Ƃ��ẮA0�����֐��L���i�萔�L���j��{0, 1}�A2���� �֐��L����{+, *}�A���̑��̊֐��L���͂Ȃ��Ƃ���B �u�ċA����n 1�v�̑�4���ɏ� �����e���f�iterm�j�̒�`���A��̉����Ĉȉ��ɌJ��Ԃ��B

  1. �ϐ��L��x��y�͍��ł���B
  2. �萔�L��0��1�͍��ł���B
  3. t1, t2�����̂Ƃ��A+(t1, t2)��*(t1, t2)�͍��ł���B
  4. �ȏ�̎菇�œ�������̂��������ł���B

���̒�`�ɏ]���ƁA�ǂ̂悤�Ȃ��̂����ɂȂ邩�A���̈ꕔ�� �ȉ��ɗ񋓂��Ă݂�B�O�̂��߁A�ȉ��ł͍������p���i�u'�v�j�ł������Ď����B

  1. �K��1����A'x'�A'y'�͍��ł���B
  2. �K��2����A'0'�A'1'�͍��ł���B
  3. 'x'�A'y'�A'0'�A'1'�����ł��邱�Ƃ͊��ɕ������Ă��邩��A�K��3���g ���΁A'+(x, y)'�A'+(0, 1)'�A'+(x, 1)'�A'*(1, 1)'�A'*(y, 0)'�Ȃǂ� ���ł��邱�Ƃ��킩��B
  4. ���܂œ���ꂽ�����ɁA����ɋK��3���g���ƁA'+(1, +(x, y))'�A '*(+(x, 1), *(1, 1))'�A'+(*(y, 0), x)'�Ȃǂ����ł��邱�Ƃ��킩��B
  5. ����ɁA'+(+(1, +(x, y)), *(+(x, 1), *(1, 1)))'�A'*(+(0, 1), +(*(y, 0), x))'�Ȃǂ����ł��邱�Ƃ��킩��B

�֐��L���i�ނ���A���Z�L���Ƃ������ق����������낤�j�u+�v��u*�v���� ���̑O�ɏ�����Ă��邱�ƂɈ�a��������Ȃ�A+(X, Y) �� (X + Y)�A*(X, Y) �� (X * Y)�ƕϊ�����Ύ��̂悤�ɂȂ�B

�]���Ȋۊ��ʂ���菜���A���Z�L���̗D�揇�ʋK���i�u*�v�́u+�v���D�� ����j�����肷��΁A���̂悤�ɁA�����ƌ����ꂽ�`�ɂȂ�B

�������̃e�L�X�g�Ƃ��ď����i�V���A���C�Y����j���@�͂����‚����邪�A ���̍\�����킩��₷���\������ɂ��c���[�}��������B���̐}�́A3�‚̍� �ɑΉ�����c���[�}��`�������̂ł���B

FIG: ���̃c���[�}

/* term-trees */

5. ���͉����Ӗ�����̂�

�������̃e�L�X�g�Ƃ��ď����΁A����͈��̕�����ł���B��'+(1, +(x, y))'�𕶎���炵�������΁A"+(1, +(x, y))"�ƂȂ邾�낤(*��3)�B�܂��A �����c���[���Ǝv���΁A����͈��̐}�`�ł���B�}�`�Ƃ��Ă̍����R���s���[ �^�ň��������Ȃ�A�O���t�B�b�N�X�E�f�[�^�Ƃ��č�����`����邾�낤�B�i�� �p��́A�����c���[��̃f�[�^�\���ŕ\���̂��֗��ł���B�j

��3

�u������炵���v���Ă̂́A���͈Ӗ��s�������A�����̃v���O���~���O���� �ŕ����񃊃e�������d���p���ň͂ޏK��������̂ŁA����ɏ]���Ă݂��B�� �����A���̏����������錾������邯�ǁB

�‚܂荀�́A������f�[�^�^�O���t�B�b�N�X�E�f�[�^�^�c���[�\���f�[�^�� �ǂƂ��ď��������ׂ����̂ł���B�Ƃ��낪����A��'+(1, 1)'������ƁA �u2�Ƃ��������Ӗ�����v�悤�ȋC�����Ă��܂��B�͂����āA��'+(1, 1)'��2 �Ȃ̂��낤���H ���́u2�ł͂Ȃ��v�ƂȂ�B��'+(1, 1)'�͍�'+(1, 1)'�ȊO�� �Ȃɂ��̂ł��Ȃ��B

���͌����Đ��l�ł͂Ȃ����A�u��΂ɐ��l�ɂ͂Ȃ肦�Ȃ��̂��v �Ƃ����ƁA���͐��l�ɂȂ肦��B��������₱�����I ���͒P�Ȃ镶����f�[ �^��O���t�B�b�N�X�E�f�[�^�Ƃ́A�p�r���Ⴄ�̂ł���B���ꎩ�̂́A������ �f�[�^��O���t�B�b�N�X�E�f�[�^�Ƃ��������悤���Ȃ��̂����A���ɈӖ����� �����悤�Ƃ������S�i����������j�����݂���B���̉��S�̑��݂����A�����P �Ȃ镶����f�[�^��O���t�B�b�N�X�E�f�[�^�Ƌ�ʂ���鍪���ł���B

���S�i�B�ꂽ�Ӑ}�A�ӎu�j�́A���ꂪ���s�����܂ł͔F������Ȃ����A �\�����ċc�_�̑Ώۂɂ��Ȃ肦�Ȃ��B�u���ɂ͈Ӗ��ȂǂȂ��v�Ƃ́A���S���� �s�����ȑO�̏�Ԃɂ����錾���ł���B�����A���̉��S���ЂƂ��ю��s���� �Ă��܂��΁A���͈Ӗ������‚��ƂɂȂ�B�Ⴆ�΁A���ɐ��l�Ƃ��Ă̈Ӗ���^ ����s�ׂ����s���ꂽ��ł́A�u���͐��l��\���v���^���ɂȂ�B

�厖�Ȃ��Ƃ́A���ɐ��܂�‚��Ӗ����ւ΂�‚��Ă���̂ł��Ȃ����� ���Ƃ�(*��4)�B���͖{���A�Ӗ��I�ɖ��F�ł��邪�A�u���ɃV�J�W�J�̈Ӗ� �������������v�Ƃ������S���������A���ɂ���ォ���Ӗ���t�^������ �ł���B���S�͑��l�ł��邩��A�������ɐF�X�ȈӖ���^���邱�Ƃ��ł���B �܂��A���́u�i������́j�Ӗ������v���Ƃ����v����Ă���킯�ł��Ȃ��B �Ӗ��������Ȃ��܂܂ł������̂ł���B

��4

�����`����Ƃ��A�u�V�J�W�J�̈Ӗ���^����\��v�ō����`���邱�Ƃ� ����B�Ⴆ�΁A�u���R���_�̂��߂̍��v�Ƃ��B���������̏ꍇ�ł��A�u���R�� �_�̂��߂̍��v�Ɏ��R���ȊO�̈Ӗ���^���邱�Ƃ��֎~�����킯�ł͂Ȃ��B ���R����\���ƐM���č��𑀍삵�Ă��Ă��A�܂������ʂȑΏۂ�\���Ă��邩 ���m��Ȃ��̂ł���B

NOTE: �Ӗ��������Ȃ��܂܂̍�

���͈Ӗ������‚��Ƃ��ł��邪�A�Ӗ��������Ȃ��܂܁A�������Ƃ��đ��삷 �邱�Ƃ��ł���B���������ȂȂ�Ӗ������‚��Ɉ�،��y���Ȃ��Ă��A ���̕\���ł��镶����^�}�`�^�؍\���Ȃǂ��@�B�I�ɑ��삷�邱�Ƃ͂ł���� ���B�Ⴆ�΁A�u�������i����j����́A�؂̖��[�̃m�[�h�ɕʂȖ؂��g�ڂ��؁h ���鑀��ł���B

�Ӗ��������Ȃ����𑀍삷�邱�Ƃ́A��l�ɂƂ��Ă͐h�����Ƃ����A�q���� ��R�������Ȃ��炵���B���̂��Ƃ́A�L ���u�J�ڌn�ƑJ�ږ|��n�v�̑�1���ŏq�ׂ��B�q���́A���ɕ`���ꂽ�}�`�� �ό`����ߒ����A���ꎩ�̂Ƃ��Ċy����ł���悤�Ɍ�����B�ށ^�ޏ���� �g�`���I�h�Ȃ̂��B

�L�����������ӂȃv���O���~���O����i�Ⴆ��Lisp�j�ł́A�u���ɕ`���ꂽ �}�`��ό`����ߒ��v���A�f�[�^�\���ɑ΂��鑀���ŗe�ՂɃV�~�����[�g�� ����B�‚܂�A�q�����s���Ă���L���I���ƒA���S���Y���I�ȍs�ׂ��A�R���s���[ �^�ɂ�点�邱�Ƃ��ł���B��l�́u���Ӗ��ȑ���𖳐S�ɐ��s����v���Ƃ� ���͂△��������A��l���`���I�ɂȂ邽�߂ɂ́A�L�������v���O���������� �悤�ȁA���^�ȗ��ꂩ��̗��������Ȃ��̂�������Ȃ��B

�������l�́A�i��l�́j�L������͈Ӗ��Ɏx�����Ă���Ƃ������������� ��M���Ă͂��Ȃ��B�ŏ��͖��Ӗ��������L��������A�������������o������ �����ɁA�u�w��ɈӖ�������v�Ƃ������z�������N����������������Ȃ��B�� �������A�L������s�ׂ��Ӗ��Ɏx�����Ă���̂��A�@�B�I�A���S���Y���� �]���Ă��邾���Ȃ̂��A����𔻒肷����@���Ȃ��B

6. ���ɈӖ���^����

�O�߂ŏq�ׂ��悤�ɁA���Ɂg���܂�‚���������Ӗ��h�ȂǂȂ��I �����A�� ����Ӗ������蓖�Ă邱�Ƃ͂ł���B���̐߂ŁA���ɂ����‚��̈Ӗ���^���� �݂�B

�E �Ӗ��t�^�̗�1�F���R��

���R���Ƃ͔񕉂́i�‚܂�A0���܂ށj�����ł���B�ϐ��i��X�̗�ł́A 'x'��'y'�����j���g����h�̈�Ƃ��āA���R���̏W��{0, 1, 2, ...}���̗p�� ��B�ÓT�I�Ȍ������ł́A�u�ϐ�x,y�̕ψ�͎��R���̏W���ł���v�ƂȂ�B

�����Œ��ӁF���̂悤�ȋ^��������Ȃ��������낤�� -- �u��̒i�����ɓo �ꂷ��'0'�A'1'�A'2'�Ȃǂ͉��Ȃ񂾁H�v�u�������P�Ȃ�L���ł͂Ȃ����B �P�Ȃ�L�������R����\�������͂��������Ȃ񂾁H�v -- �����w�E���B���A�� ����C�ɂ��͂��߂�ƁA�L���̈Ӗ����m�肷�邽�߂̖�����ނ̉ߒ��Ɋׂ�B �l�i�w�R�j���A�ʏ�̓��{��ŏ������g�n�̕��h�̂Ȃ��ɓo�ꂷ��L���́A�� ���ɂ����߂��ė~�����B�l�́A���̋L�����A�����Č`���I�ɏ����Ă���킯 �ł͂Ȃ��B�l�����ʂɏ���'0'�́A���Ӗ��ȋL���ł͂Ȃ��āA�����̃[���ł���A �[���̊T�O�͂��Ȃ����펯�I�ɒm���Ă���u���̃[���v�ł���B

�����𑱂���B���̈Ӗ������̂悤�ɒ�߂�B

�ȏ�̐�����ǂ�ŁA�u�Ȃɂ��A������܂��̂��Ƃ��J��Ԃ������Ă���� ���H�v�Ǝv������������Ȃ��B����Ȋ���������̂́A �L��'0', '1', '+', '*'�Ȃǂ��A���ɏ펯�I�ȈӖ��������Ă��邩��ł���B �u�Ӗ��ȂǂȂ��v�Ɩl���������Ă��A���Ȃ��͌����ꂽ�L���̈Ӗ��𖳈ӎ��� �O��ɂ��Ă���B������A�V���ɒ�`�������Ƃ��u���ɒm���Ă��邱�Ƃ��A �J��Ԃ��q�ׂĂ���v�Ƒ����Ă��܂��̂ł���B

�[���������Ȃ��Ȃ�A���̈Ӗ��t�^�̗�����Ă������������B����قǁA�� ����܂��ł͂Ȃ��͂��ł���B

�E �Ӗ��t�^�̗�2�F�^�U�l

�ϐ��̕ψ�́A�^�U�l�̏W��{true, false}�Ƃ���B

���̉��߂ł́A��'+(1, 1)'�͎��R��2���Ӗ����Ȃ��B(true and true)������A '+(1, 1)'��true���Ӗ�����B���̉��߂ł́A��'1 + (x + 1)'�́Ax �� x+2 �Ƃ����֐����`���Ȃ��Bx���Ȃ�ł���i�‚܂�Ax��true�ł�false�ł��j ��'1 + (x + 1)'�̒l��true�ɂȂ�B

�E �Ӗ��t�^�̗�3�F�񕉎����̊֐�

P�́A0�ȏ�̎����̏W�����Ƃ���B�‚܂�AP={x | x��0�ł������}�BP�̒l�� �΂���P�̒l��Ή�������֐��̑S�̂�F�Ƃ���(*��5)�B�‚܂�Af��F�Ƃ́Af���� �����̏�Œ�`���ꂽ�񕉎����l�̊֐��ł��邱�Ƃ��B

��5

���ׂĂ̊֐����l����̂����Ȃ�A�A���֐��Ƃ��������֐��Ɍ��肵�Ă��� ���B0��0�Ɉڂ������֐��i�P���֐��j�Ȃ񂩂������₷����������Ȃ��B

�ϐ��̕ψ�́A�֐��̏W��F�Ƃ���B

�E �Ӗ��t�^�̗�4�Fmax-plus�㐔

�ϐ��̕ψ�́A��1�Ɠ��������R���̏W��{0, 1, 2, ...}�ł���B

���̉��߂ł́A��'+(0, 1)'�̈Ӗ��i�l�j��0�ł���B��'+(0, x)'�̈Ӗ��i�l�j �́A�ϐ�'x'�ɗ^�����l�Ɠ����ɂȂ邪�A����́A���� +(0, x) = x �������� �Ă���ƍl���Ă悢���ƂɂȂ�B�܂��A��'*(1, x)'�̈Ӗ��i�l�j�́A�ϐ�'x' �ɗ^�����l�Ɠ����ɂȂ邪�A����́A���� *(1, x) = x ���������Ă���ƍl ���Ă悢���ƂɂȂ�(*��6)�B

��6

�����œ������o�Ă��Ă���B���̒i�K�ł́A�����̈Ӗ��͏펯�I�^�����I�� ��������΂悢�B�����̌`���I�Ȏ�舵���́A��7������ 8���ɂ���B

���̗�́A�L���ƈӖ��̑Ή����G�L�]�`�b�N�����A����قǕςȂ��̂ł͂� ���A�n���I�Ȍv�Z�����s�ł���̌n�ł���B

�E �Ӗ��t�^�̗�5�F�񌾌�

�ϐ��̕ψ�́A����'a'�A'b'������ꂽ��̏W���i�‚܂茾��j�̏W���� ����B�‚܂�ϐ��́A�����\�����ƂɂȂ�B����Ƃ͗�̏W���ł���A��� �\������A�g���͕���'a'�A'b'�ƂȂ�B

���̗�̍��́A����̌J��Ԃ��iKleene�X�^�[���Z�j�����������K�\���ɂ� ��i�J��Ԃ����Ȃ��ƁA���K�\���Ƃ͌Ă΂Ȃ���������Ȃ����j�B

NOTE: 1�̈Ӗ���1�ł���

���łɂ����܂łŁA�`���I�̌n�ɂ‚��Đ�������Ƃ��̍���̈ꕔ������� ����B��1�ŁA�u1�̈Ӗ���1�ł���v�Ƃ����������̕�������B�������A�� ���˂��Ɍ����΁A�u'1'�Ƃ����L���i���邢�͐}�`�j�̈Ӗ��͎��R���l��1�ł� ��v�ƂȂ�B����A��4�ł́u1�̈Ӗ���0�ł���v�ƂȂ��Ă���B������Ă� �˂��Ɍ����΁A�u'1'�Ƃ����L���i���邢�͐}�`�j�̈Ӗ��͎��R���l��0�ł���v �ƂȂ�B

��ʂɁA�uX�̈Ӗ���Y�ł���v�Ƃ����Ƃ��AX�͋L����L���I�Ȑ}�`�ł���A Y�͂Ȃ�炩�̎��̂ł���B�Ƃ��낪�A���́i���ۓI�ȑ��ݕ���������Ȃ��j ���w���������߂Ɏg����L���������ꂽ���̂��ƂƂ������č�������B���� ���΁A�u�Ԃ̈Ӗ��͐Ԃł���v�ƕ����΁A�u���𓖂���O�̂��Ƃ��v�Ǝv���� �낤���A�u�Ԃ̈Ӗ��͐‚ł���v�ƕ����΁A�u�����o�J�Ȃ��Ƃ��v�Ǝv������ ���B������A�`���I�̌n�ɈӖ���t�^����������́A���X�ɂ��āu������O�v ���u�o�J�v�Ȃ��Ƃ������Ă��镶�Ɏv���Ă��܂��B

7. ���̎�����`����

���́A���S�Ƃ��ẮA�l�⃂�m��\���‚���̋L���I�\���ł������B����� �΂��Ď��iformula�j�́A�u�~�~�ł���v�Ƃ�������Ȃ����͎咣��\������ ���߂̂��̂ł���B�������A�咣��\���������Ƃ�����]�������܂ʼn��S�� ����A�ŏ����玮�Ɏ咣���܂܂�Ă���킯�ł͂Ȃ��B���Ɠ��l�ɁA�������� ��̕������}�`�Ƃ��Ē�`����A�K�v������Όォ��Ӗ���t�^����B

�u���v���`���I�̌n�ɌŗL�̐��p��ł���A���̕���i���邢�͓���I�ȁj �u���v�Ƃ͕ʕ��ł���B���ʂ́A�L���I�ȕ\�������ł����ƌĂԂ��A�`���I�̌n�ɂ� ���鎮�́A���Ƃ͋�ʂ����L���I�ȕ\���ł���B

�����`����ɂ́A�q��L���Ƃ��֌W�L���Ƃ��Ă΂��L����V���ɓ����� �邪�A�����ł́A�����u=�v�������g�����Ƃɂ���B���܂ŏo�Ă��� �L���B�A'x', 'y', '0', '1', '+', '*' �ɉ����āA'='���g���Ă悢�Ƃ���B

���āA�e���f�̋�̓I�Ȓ�`�͎��̂Ƃ���B

  1. t1��t2�����ł���Ƃ��A=(t1, t2) �͎��ł���B
  2. �ȏ�̎菇�œ�������̂��������ł���B

�����u=�v���O�ɂ���̂����Ȃ�A'(t1=t2)' �Ə����Ă��悢�B ����́A��' +(X, Y)'�̑����'(X + Y)'�Ə����̂Ɠ������Ƃł���B�ȉ� �ł́A�����𒆒u����'(t1=t2)'���g�����Ƃɂ��āA�܂��ꂪ�Ȃ��Ȃ犇 �ʂ��͂�����'t1=t2'�ł��悢�Ƃ��悤�B

���l���Ă��鎖��ł́A���͓��������ł���B�����̈Ӗ��́A�u���ӂƉE�� ���������v�ƒ�`���������낤���A�O�����Ă������܂��Ă���킯�ł͂Ȃ��B �����A�‚܂艡��{�_�̐}�`�������Ӗ����邩�́A�Ӗ���t�^����҂����R�� ���߂Ă悢(*��7)�B

��7

����{�_�̐}�`���u�������v���Ӗ�����K�R���͉����Ȃ��B�����A���Ԃɂ� �K���Ƃ������̂�����B�‚܂�A�قƂ�ǂ̏ꍇ�A�����͎��ۂɓ��������Ƃ� �Ӗ�����̂��B

8. �����u�������v�Ƃ͂ǂ��������Ƃ�

�ȉ��ł́A���₷���Ȃ�悤�ɁA�֐��i���Z�j�L�������������u�ŏ������� �ɂ���B�‚܂�A'+(1, 0)'��'(1 + 0)'�Ə����A'=(1, 0)'��'1=0'�Ə������� �ɂ���B

'(1 + 1)'��'1'�͍��ł��邩��A���̒�`����A'(1 + 1)=1'�͎��ƂȂ�B�� �āA��'(1 + 1)=1'�͐��������낤���H -- ������������Ǝv�����A���̎��� ���̂��B���^�s���m�ł���B�Ȃ��Ȃ�A���Ǝ��̉��߂���肵�ĂȂ�����ł� ��B

��6���ŁA�Ӗ��t�^�̗��5�‹������B

  1. �Ӗ��t�^�̗�1�F���R��
  2. �Ӗ��t�^�̗�2�F�^�U�l
  3. �Ӗ��t�^�̗�3�F�񕉎����̊֐�
  4. �Ӗ��t�^�̗�4�Fmax-plus�㐔
  5. �Ӗ��t�^�̗�5�F�񌾌�

���Ǝ��ɈӖ���t�^���邽�߂̃��J�j�Y���S�̂��܂Ƃ߂��e���f���f�ƌĂԁB ���́u���f���v�Ƃ����p����`���I�̌n�⃂�f���_���L�̗p��ł���A������ �Ŏg���Ă��錾�t�u���f���v�Ƃ͋�ʂ���ׂ��ł���B

��6�߂ł́A5�‚̃��f�������������ƂɂȂ�B�����̃��f���ɂ�荀�Ɉ� ����t�^�������A���̈Ӗ��͂܂���܂��ĂȂ��B�ȉ��ł́A�L���u=�v�̈Ӗ� ���A�펯�ɏ]���u�������v���Ƃ��Ɖ��߂��邱�Ƃɂ���B��������΁A���Ɉ� ����^���邱�Ƃ��ł���B

�������������ǂ����́A���f���ɑ΂��đ��ΓI�ł���B���͂���́A�v���O ���������������ǂ������d�l�ɑ΂��đ��ΓI�Ȃ̂Ǝ�������ł���B��� ���Ă�̂ł͂Ȃ��āA����܂����������Ȃ̂ł���B�`���I�̌n�ƃ��f���_ ���A�v���O�����Ǝd�l�̍l�@�ɗ��p�ł��闝�R�������ɂ���(*��8)�B

��8

�l���AXML�̍\���_�Ɠ����ɁA�v���O�����̎d�l�⌟�؂ɋ��������‚̂́A�� �������U���Ă���킯�ł��Ȃ��A�P�Ȃ���R�ł��Ȃ��B�v����ɓ����Ώۂ��� ��A�����悤�ɋ���������B2�i���邢�͂���ȏ�́j�̗̈�ɋ��������� �̂ł͂Ȃ��āA�l�ɂƂ��Ă͒P��̑Ώہ^�̈�ł���B

����͂Ƃ������A��'(1 + 1)=1'���A5�‚̃��f���ɑ΂��Đ��������ǂ����� ���Ă݂悤�B

�E ���R�����f��

����'(1 + 1)'�͎��R��2���Ӗ�����B�E��'1'�͎��R��1���Ӗ�����B ���ӂƉE�ӂ͓������Ȃ��B����āA��'(1 + 1)=1'�͐������Ȃ��B

�E �^�U�l���f��

����'(1 + 1)'�͐^�U�ltrue���Ӗ�����B�E��'1'�͐^�U�ltrue���Ӗ�����B ���ӂƉE�ӂ͓������B����āA��'(1 + 1)=1'�͐������B

�E �񕉎����̊֐����f��

����'(1 + 1)'�͊֐� x��2x ���Ӗ�����B�E��'1'�͊֐� x��x ���Ӗ�����B ���ӂƉE�ӂ́i�֐��Ƃ��āj�������Ȃ��B����āA��'(1 + 1)=1'�͐������� ���B

�E max-plus�㐔���f��

����'(1 + 1)'�͎��R��0���Ӗ�����B�E��'1'�͎��R��0���Ӗ�����B ���ӂƉE�ӂ͓������B����āA��'(1 + 1)=1'�͐������B

�E �񌾌ꃂ�f��

����'(1 + 1)'�͌���{��}���Ӗ�����B�E��'1'�͌���{��}���Ӗ�����B ���ӂƉE�ӂ͓������B����āA��'(1 + 1)=1'�͐������B

���R�Ȃ���A���̐������̓��f���̑I�ѕ��ɂ���ĐF�X�ƕς��B���A���f ������肷��΁A�ϐ����܂܂Ȃ����̐������𔻒�ł���B�ł́A�ϐ����܂� ���̐������͂ǂ��l������悢���낤���B�Ⴆ�΁A ��'(x * y)=(y * x)'�͐��������ǂ����A�Ƃ������ɂǂ������邩�A�ł���B

1�‚̍l�����́A�u�ϐ����܂ގ��ɂ‚��Ă͐��������l���Ȃ��v�Ƃ������̂� ����B���̍l�������̗p����P�[�X�������̂����A��X�͕ʂȍl�������������B �‚܂�A�ϐ����܂ގ��ɂ‚��Ă����������l�������B���̂悤�ɍl���悤�B

�Ⴆ�΁A��ɏo������'(x * y)=(y * x)'���A�^�U�l���f���ōl����ƁA �ϐ�'x'��'y'�ɑ���ł���l�̑g�ݍ��킹�͑S����4��ނł���B

  1. x�̒l��true�Ay�̒l��true
  2. x�̒l��true�Ay�̒l��false
  3. x�̒l��false�Ay�̒l��true
  4. x�̒l��false�Ay�̒l��false

�����̂��ꂼ��̏ꍇ�ɁA����'(x * y)'�̒l�ƉE��'(y * x)'�̒l������ �邱�Ƃ��ł���B�L���u*�v�̉��߂�and���Z�ł���B���ۂɂ���Ă݂�΁A �ǂ̃P�[�X�ł����ӂ̒l�ƉE�ӂ̒l���������B����āA �ϐ����܂ގ�'(x * y)=(y * x)'�́A�^�U�l���f���ɂ����Ă͐������Ɣ��f�� ����B

�������A���f���̗̈�i�ϐ��̕ψ�j�������ł���Ƃ��́A�u�ǂ�Ȓl��� �����Ă��������v���ǂ����̔��f�̂��߂ɁA����݂‚Ԃ��ɑS�����ׂ邱�Ƃ� �ł��Ȃ��B������A�ϐ����܂ގ��̐������́A���‚ł��m�F�ł���Ƃ����ۏ� ���Ȃ��̂ł���B�ۏ؂��ł��Ȃ��Ȃ�A����́u�������̒�`�v�Ƃ͌ĂׂȂ� �̂ł͂Ȃ����A�Ƃ����^�O�͍l�����ׂ������Ȉӌ������A�b����₱�����Ȃ� ���獡�͋c�_���Ȃ��B

NOTE: ���̐������F�⑫

���̋L���̎���ł́A���͒P���ȓ����Ɍ�����B������A���̐��������g�� �����܂܂Ȃ����h�ɑ΂��Ă�����`���Ȃ��ƁA������ƕ\���͂��R�����Ȃ�B�ʏ� �́i�q��_���́j�`���I�̌n�ł́A�́i�u���ׂẮv���Ӗ�����j��΁i�u�� �݂���v���Ӗ�����j�Ƃ������ʎq�������Ă���̂ŁA'(x * y)=(y * x)'�� �����ϐ������������̑���ɁA'��y.��x.(x * y)=(y * x)'�Ƃ��������g�� ��B���ʎq'��'���g���΁A�{���ŏq�ׂ��̂Ɠ����Ȑ��������`�ł���B

���ʎq'��'��t����'��y.��x.(x * y)=(y * x)'�Ƃ������́A�ϐ����܂񂾎� �Ƃ͍l���Ȃ��B�����ڂ̏�ŏo�����Ă���'x'�A'y'�́A'��y.��x.'�Ɂg����� �Ă���h�̂ŁA�ϐ��i���m�ɂ͎��R�ϐ��j�Ƃ͍l���Ȃ��̂ł���B

�����A���f���̗̈悪�����̂Ƃ��A����݂‚Ԃ����g���Ȃ��Ƃ������́A ���ʎq'��'�𓱓����Ă�������P���Ȃ����Ƃ͒��ӂ��Ă����B '��y.��x.(x * y)=(y * x)'���������Ǝ咣���邽�߂ɂ́A ���ǂ�'(x * y)=(y * x)'�̐��������m�F����K�v������B

9. �܂���������������̂���

�l�́A�u�`���I�̌n�ɂ‚��Đ�������v�Ƃ����s�׎��̂�����������_�� �‚��ďq�ׂ悤�A�Ǝv���Ă��̋L���������n�߂��̂����A���̘b����́A�� �P�Ȍ`���I�̌n�����ۂɍ\�����Ă݂�b�ɂȂ��Ă��܂����B�����A����ł��A �`���I�̌n�ɑ΂���A�����M�[�����̖��ɂ͗��‚��낤�B

���̋L���Ŏ��グ���A1�‚̋�̓I�Ȍ`���I�̌n�ɂ‚��čl���Ă݂�΁A�` ���I�̌n�����ł��邩�̂����悻�̃C���[�W�͂‚��߂邾�낤���A�L���ƈӖ� �������������ł��邱�Ɓi���ꂪ�A�����̂����̍���̌����j���@�����‚��� �v���B

�`���I�̌n�ɂ‚��Ă̐�����w�K�ɂ‚��܂Ƃ������m�炸�ɁA�`���I�̌n �Ɋ���Ă��܂���Ȃ�A����͎��Ƀn�b�s�[�Ȃ��Ƃ�����A�u����͂������v�� �����w�E�����ݓI���ǂ����͋^�킵���B����āA�u�`���I�̌n�ɂ‚��Đ����� ��v�Ƃ����s�׎��̂�����������_�ɂ‚��ďq�ׂ�L�����ق�Ƃɏ������ ���ǂ������^�킵���B

�Ȃɂ͂Ƃ�����A�����ł��̋L���̓I�V�}�C�ł��B�����́A�u�`���I�i�Ȃ� �́j�v�ɑ΂��Đe���݂����Ă��ł��傤���B