NightShiftさんの日記「「 2 」か「 9 」で割ってみる」とそのコメントを見て思った。

「お前ら、なぜこれを知らない…小学校で習っただろうに」

2で割る方は誰でも思いつく話。実際には差分の正負も考慮して探す。実際に数値の間違い探しをすればすぐに判る。なので学校でならうと言うよりは、学校行事の一貫で数字を集計する時に間違い探しを何度かやっていて気がついた、と言う人も多いはず。

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9で割る方は、一見思いつかないように見える。では、こちらは知らないかい?

ある数字が9で割り切れるかどうか知りたければ、全部の桁の数字を足して、それが9で割り切れるか調べればいい。
全部の桁の数字を足そうとすると、その段階で数字が大きくなるなら、9以上になったらその場で9を引けばいい。最後の答が9か0なら9で割り切れる。

実は、「9で割れ」ルールは、『ある数字が9で割り切れるかどうか』を知るのに『全部の桁の数字を足せばいい』のと同じ原理だ。nを底とするn進数表現は、常に(n-1)に対して特殊な反応を示す。
「9で割り切れるか知りたければ、全部の桁を足した結果が9で割れるか確認しろ」
がなぜうまく行くのか。それが理解できれば、誤り検出法にも同じ原理が使えることは自明で判る。