弘前大、一般相対論における三体問題の直線解の解析解を導出 90
ストーリー by reo
ツッコミと補足よろしく 部門より
ツッコミと補足よろしく 部門より
弘前大学大学院理工学研究科の山田慧生氏と浅田秀樹准教授が、一般相対論における三体問題の直線解を導き、Physical Review 誌に掲載された (陸奥新報の記事、Web 東奥の記事、doi: 10.1103/PhysRevD.82.104019, doi: 10.1103/PhysRevD.83.024040、bero の日記より) 。
多体問題においては、積分法による一般解の解析解は存在しないとアンリ・ポアンカレによって証明されており、問題解法には摂動や数値解析を用いた計算が従来行われていた。2007 年に行われた研究会での浅田先生の発表資料 (PDF) によれば、日本天文学会では「三体問題にだけは手を出すな」「相対論にだけは手を出すな」という格言があるほどだったらしい。
山田慧生氏は現在 M1 で、B4 だった 2009 年の秋にこの問題に取り組み、翌年 1 月に解析解を発見して計算にも成功したという。これが卒業論文としてまとめられ、Physical Review 誌に投稿され、2 本とも採録された。
ブラーボ！ (スコア:3, すばらしい洞察)
Re:ブラーボ！ (スコア:1)
何事も、それの答えが導かれた後に、どうこう言うのは簡単。
ナニも無い白紙に、真理を記す事が出来た、山田さんの頭脳に乾杯♪(*^^)o∀*∀o(^^*)うん♪
Re:ブラーボ！ (スコア:1)
Anonymousで、ここでコソコソ数式をつついてる時点で、ちゃんと発表した人に負けてるんですよ。
同法の計算式を突いても、誰も褒めてはくれない、アインシュタインの論理を、覆すくらい気概を持つべきに思うんです。
□コソコソと匿名の臆病者として投稿 にチェックして自覚して書くのは、寂しくないのかな？
タイトルが分かりづらい (スコア:2)
「制限三体問題を従来より簡単に計算できる方法が導き出された」
くらいが適当なんじゃないか？
三体問題解決するわけないし (スコア:0)
面白い近似式見つけたよ～みんな確かめてみてね。
ってとこですか？
# でも式は美しい
Re:三体問題解決するわけないし (スコア:4, 参考になる)
いや、近似式なんかではなく、
直線解(=3体が一直線に並んでいる)という「限定された条件の下」での、厳密な解析解を求めたよってことですよ。
ラグランジュ点でいうところのL1、L2、L3ですね。
ラグランジュ点は、ニュートン力学における限定された条件下での三体問題の解析解ですが、
それを今回はアインシュタイン力学的に求めることができた、と。
Re: (スコア:0)
相対論的効果はpost-newtonian で取り入れてるのでなので、近似式です。
Re:三体問題解決するわけないし (スコア:2, すばらしい洞察)
それは数値解。だから厳密解では無理数や分数が残ってておk。
Re:三体問題解決するわけないし (スコア:1)
逆に、なぜ「十進展開されること」が厳密な解の条件だと考えてるんですか？
「十進展開できないから1÷3は厳密に解が求められていない」ということでしょうか？
Re: (スコア:0)
> 逆に、なぜ「十進展開されること」が厳密な解の条件だと考えてるんですか？
そんなことを言ったつもりはないんだけど。
円周率はいかなる方程式の解にもならないけど、円周率を含んだ解は厳密解と言っていいの? いいのだとしたら
「十進小数にできなくても分数なら厳密解でおk」
「分数にできなくても代数的数なら厳密解でおk」
「代数的数にできなくても円周率やネイピア数なら厳密解でおk」
みたいな基準は(数学者が恣意的に決めてるんじゃなければ)どういう根拠があるの? って聞いてるの。
Re:三体問題解決するわけないし (スコア:2)
Re:三体問題解決するわけないし (スコア:1)
円周率は、小数で表現しようとすると無理ですが、だからといって、円周率の値が不定であるわけではありません。
厳密に表現する記号「π」があるので、表現にも困りません。
同じように、1/3も、小数で表現できないだけで、値としては厳密に決まっていますよ。
ちょっと言ってる意味が分からないので、答えになっていると良いのですが。
Re:三体問題解決するわけないし (スコア:1)
そうですよね。実数係数なら何でもできる。
x - \pi = 0
とか。
超越数の定義は、「整数係数」で「有限項」の多項式の解に ならない 数ですよね。
例:\sqrt{2}: x^2 - 2 = 0 だから超越数ではない。
新人。プログラマレベルをポケモンで言うと、コラッタぐらい
Re:三体問題解決するわけないし (スコア:1)
厳密解と数値解の関係は、厳密解の式をなんかの方法で計算していけばいくらでも誤差の少ない数値解を求められる、みたいな感じなのかな。
一方で、解析解の方の定義は「これとこれとこの道具だけで書かれた式」とか。そこに線引きあるのは専門用語だからしょうがない、みたいな。
解となる方程式の扱いやすさとかで区別してる、みたいな簡単な説明があるとありがたいとこですね。 無限和を含んだ厳密解だとその解からさらに発展させるのが難しいけど、πを含んだ厳密解ならまだまだ先に進める、とか。 進んだ結果、上手いことπが消えるような場合もありますし。
Re:三体問題解決するわけないし (スコア:2)
僕は数学者でも物理学者でもないので間違ったことを書くと思います。
何かの数を求める上で重要なのは、その数の性質を明らかにすることです。なので、当然性質がわかりやすいような表現が好まれます。
例えばある数を ∑n=0 ∞ 1/2nCn と書くよりも、 4/3 + (2π)/(9√3) と書く方が良いのは、性質がわかりやすいからです (この二つが本当に同じ数である証拠は Wolfram Alpha に任せた [wolframalpha.com])。最初の表現では、この数が無理数であることとか、約 1.74 になることとかがわかりにくいですよね (そもそもこの無限和が収束することだって、人によっては一瞬ではわからないかもしれません)。
簡単な式でも無限和が出てくると途端に性質がよくわからなくなってしまうので、無限和はなるべく避けるのが原則です。 π や e やその他の数学定数も、使わずに済むなら使わない方が良いけれど、性質がいろいろわかっている有名な定数なら無限和ほど悪くはありません。
もしもある数を無限和を使わないで書こうとするとものすごく複雑になってしまうなら、無限和を使う方がまだましという状況もあり得るのではないかと思います。何にしても、性質がわかりやすい書き方を見つけることが重要です。
Re:三体問題解決するわけないし (スコア:1)
> 円周率「π」や自然対数の底「e」にはなぜ特権的な地位が与えられているのですか?
πやeは前提条件によらず不変だからです。
あなたの言う
> 「x^5+x^4+x^3+x^2+1=0の解をx1,x2,x3,x4,x5とする」
という解は、「5次の項の係数が1」かつ「4次の項の係数が1」かつ「3次の項の係数が1」かつ
「2次の項の係数が1」かつ「1次の項の係数が0」かつ「定数項が1」という極めて限定的な
条件下での解ですから、「5次方程式の解」と主張するのは難しいでしょうね。
もちろん、各次の係数を実数虚数∞含めて全て網羅した解を個別にリストアップしてそれぞれに
固有の記号や名称を割り当てれば、それを厳密解と呼んでも構いませんが、現実的な手法では
ないですよね。
Re:三体問題解決するわけないし (スコア:1)
すみません、前言撤回。
> もちろん、各次の係数を実数虚数∞含めて全て網羅した解を個別にリストアップしてそれぞれに
> 固有の記号や名称を割り当てれば、それを厳密解と呼んでも構いませんが、現実的な手法では
> ないですよね。
たとえ現実的であったとしても、この手法は単なる「ラベルの付け替え」に過ぎず本質的に
何の前進もないので無意味です。
Re:三体問題解決するわけないし (スコア:1)
Re:三体問題解決するわけないし (スコア:1)
数学の話をするのに自分が求める条件を厳密に定義しないでおいて、その部分についてこんな言い方は逆切れだよなぁ…。
Re:三体問題解決するわけないし (スコア:1)
つーかIDも取らずにAnonumousで「後半」とかザックリ言われてもチャット状態の当人以外には追いにくくて仕方ないのでせめてURLか番号を書いてほしい…。
＃…というか「前半」でこれだけ指摘がある程条件に抜けがあると「後半」とやらでも必要な条件や定義がヌケてて
＃マジレスするたびに「コレジャナイ」宣言される不毛な展開になるのじゃないかという危惧が…。
Re:三体問題解決するわけないし (スコア:1)
数と数字を混同されているような気がします。
πやeに特権があるわけではないですよ。ある大きさの数にラベル付けしているだけです。
他の定数だけでなく、√2 や 1/3、それこそ、「5」のような整数だって、ちょうど切りの良い大きさにラベル付けしているだけですよ。
> 「x^5+x^4+x^3+x^2+1=0の解をx1,x2,x3,x4,x5とする」
は、定義が曖昧なのでイマイチですが、厳密な定義がなされていれば、そのようなラベル付けをしても構いません。「π」などは、皆が共通の記号を使うと便利なので「π」を使っているだけです。「5」だって、「五」と書いても構いません。表記によって数は変わりません。
# 特権を持っているのは、0・1・iぐらいかな、と思いますが、数学は専門外なので危ない発言は慎みます。
その数を、人間が数字として表記できるかどうかは、全く別の問題です。
計算機の進歩とともに円周率を何兆桁も計算できる(表記できる)ようになりましたが、円周率は昔から変わっていません。円周率は正確にπであり、計算機の進歩によって円周率が正確になっているわけではありません。(円周率の表記の精度が上がっているだけです。)5兆桁の小数を使って表現しても、それは近似値でしかありません。
ちょっと私も専門ではないので、説明がうまくなくて済みません。
Re:三体問題解決するわけないし (スコア:1)
5次方程式は厳密解を求められない、なんて誰も主張していないよね。5次方程式を「代数的」に解けない、と主張しているだけで。厳密解が存在することと代数的解法で解を求められることを混同しないで欲しいなぁ。
Re:三体問題解決するわけないし (スコア:1)
そもそも
＞円周率はいかなる方程式の解にもならないけど
がおかしいけど。
例えば、sin(x) = 0 の解の一つはπですよね。
Re:三体問題解決するわけないし (スコア:2)
方程式と恒等式と等式とエズラを区別しましょう。
数学の議論はそこからです。
閑話休題
Re:三体問題解決するわけないし (スコア:1)
例えば1/3は十進数だと厳密には表現しきれないけど三進数なら0.1でいいじゃん？
我々がたまたま十進数を使っているだけなのに「十進数で表現できないから厳密ではない」というのはおかしいだろ？
別の言い方をすれば「十進数では表現できないから厳密に表現するためにそういう値を残している」とも言える。
数値表現は万能じゃないんだよ。
Re: (スコア:0)
この手の「無知な俺を論破してみろよｗｗｗ 出来ないのか？ バカめｗｗｗｗ」は、最近だいぶ増えた気がするな
Re: (スコア:0)
例えば x^2 = 2 という方程式があったとする。
これを、式変形などの操作で x = ±√2 として求まるのが厳密解。
一方、計算機を用いた計算や、級数展開などの操作で数値計算して求まるのが数値解。
数値計算で方程式を解く操作については、ニュートン法などの言葉でググるといい。
上式の解は x = 1.41421356... みたいな少数か、あるいは何らかの級数の形で表されることだろう。
Re:三体問題解決するわけないし (スコア:1, すばらしい洞察)
>ところで円周率はおろか2の平方根すらも厳密に十進小数展開を求めることはできないわけですが
なぜここで、人間が自分の指の数を基に決めた十進位取りの欠点を
指摘しているのか意味が分からない。
単に数の表記法の欠点だけであって数学とは関係がない。
十進位取りが気にいらなければ単にπとか√２で表現すればいいだけ。
Re:三体問題解決するわけないし (スコア:1)
近似されてない、が正しいかな。
近似(たいていはテイラー展開)をつかわずきちんと極限操作すると厳密解がでる。
というか、別に数学者が言っているわけではなくて、物理学者が言っているのだとおもいます。
新人。プログラマレベルをポケモンで言うと、コラッタぐらい
厳密解だよ (スコア:1, 参考になる)
「一般に解けない」というのは「どんな場合でも解けない」という意味ではないよ。
一般に5次方程式は解けないけど、x5=1の(近似でない)解は自明だよね。
Re:厳密解だよ (スコア:2)
これは (x-1)^5=0 と書こうとしてミスったに違いない。
Re:厳密解だよ (スコア:1, 参考になる)
> x=0が解のひとつ。
x=1の間違いですよね。
で、t=x+(1/x)…(*)とおくと
x^4+x^3+x^2+x+1=x^2(t^2+t-1)
からt^2+t-1=0の根を求めて(*)に代入すれば、
二次方程式の根の公式だけで全ての根を求められます。
これは正五角形が「定木とコンパスで作図可能」なことと関係があります。
x^17-1=0の根についても同様です。
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%AD%A3%E5%8D%81%E4%B8%83%E8%A7%92%E5%BD%A2 [wikipedia.org]
興味のある方は、高木貞治『初等整数論講義』あたりをどうぞ。
Re: (スコア:0)
Re:厳密解だよ (スコア:1, 興味深い)
凄すぎて突っ込みできません！ (スコア:0)
一般相対論ってB4で取りかかって
秋〜年明けくらいで何とかなるもんなのですか・・・？
個人的にB4以前から興味を持っていたんでしょうね・・・
# 落ちこぼれ物理学士につき感嘆のみで
Re:凄すぎて突っ込みできません！ (スコア:1)
電磁気学, 解析力学, テンソル解析の基礎知識があれば、一般相対論なんぞ１ヶ月で充分。
(一般相対論と同時にテンソル解析を勉強しようとすると３ヶ月かかる)
the.ACount
Re:凄すぎて突っ込みできません！ (スコア:1, すばらしい洞察)
いわゆる駅弁大学でも各種学会で理論的な分野で活躍している人はたくさんいる。俺の専門の理論計算機科学でもそう。
理論は信念というか考え抜いた先に曼荼羅のように見えてくるものだから、ガッツと根性もかなり有効。
入試の点のいい奴は、人より早くいろんな解法を試す能力があるってだけで、使いこなせなければ何も得られない。
もちろん、信念とガッツがあって、入試の点もよく取れるような頭の回転スピードが兼ね備われば最強。でもなかなかいない。
Re:今回の発見はノーベル賞級ですか？ (スコア:2)
> ノーベル賞級の発見なのでしょうか。
ノ～ベル賞は理論のみには与えられないので無理でしょう。
閑話休題
Re:今回の発見はノーベル賞級ですか？ (スコア:5, 参考になる)
せっかくの偉業なのでコメントも多いと思ったら荒れてるだけかい:-(
AC見てたら頭痛くなるので、この辺にぶら下げておこう。
まとめ：
・何がすごいのか
→Physical Review 誌に掲載された。しかも卒論が。
・世界がどう変わるのか
→あんまり。でもみんなやる気になるかも。
定義：
・解析解 →式から出した計算結果。（この場合は厳密解がだせる式）
・厳密解 →誤差の無い計算結果。
・近似解 →誤差のある計算結果。
・摂動 →そういう影響がある、として計算する。
・数値解析 →なんか良さそうな値が出るように式を弄って計算する。
解説：
二体問題は厳密解が出せるけど、三体問題は積分法では特殊な場合をのぞいて厳密解は出せないと証明されてる。（積分法以外は不明。でもみんな多分無理だと思ってる）
で、一般相対論（重力が場を歪める）の範囲でその特殊な場合が解けた。
なんで世界が変わらないかというと、天体は３つだけじゃないから。そしてなにより、数値解析で十分だから。
万有引力定数ですら６桁程度の有効桁数しか無いのに、宇宙を飛んでくロケットは実測値に誤差を大きく含む。
エンジニアが計算尺で戦えたのは、有効桁数で計算する工学の世界の話だから。
そして多体問題が問題として意味があるのは、天文屋さんくらい。
だから今すぐには世界は変わらない。でも、人類の知識がまたひとつ広がったことは確か。
いつか積み重なった特殊例が工学的にも使えるようになってくるかもしれない。
いずれにしても三体問題の特殊例とはいえ厳密解を求められる式を組み立て論文にし、
それがPhysical Reviewに載った山田氏は、偉業を成し遂げたと言って良いと思う。
Re:今回の発見はノーベル賞級ですか？ (スコア:1, 興味深い)
> ・何がすごいのか
> →Physical Review 誌に掲載された。しかも卒論が。
それはどうかなぁ。。。
ファーストオーサーが修士以下で、セカンドオーサーが優秀な指導教官である場合、本当のファーストオーサーはセカンドにいるんだろうなぁ、、、と考えるのがこの世界の常識じゃないかなぁ。指導教官が優秀でかつ人徳がある人の場合、ファーストを若手の学生に送って学生の将来に備えさせる、ということはよく行われていることだろう。逆に本当に学生が独自にやった研究なら、それを公にするために単名で書かせるというのが良識だろう（でもってacknowledgementで指導教官に感謝だな）。
physical reviewもlettersでないあたりはちょっと逃げてるかなーとか思ったりもする。ただphysical review dのほうだとページ数制限がないから数式が書きやすくて好きってのもあるかもしれない(physical review lettersは4ページマックス)。あるいはdの方がこの分野では権威があるとかあるのかもしれんが、私はeな研究者なのでそのあたりの雰囲気は分からん。
いずれにしろ学生がファーストオーサーとか論文がphysical reviewであるとかは普通によくある話じゃないかなぁと思う。
Re:今回の発見はノーベル賞級ですか？ (スコア:1, フレームのもと)
〉> →Physical Review 誌に掲載された。しかも卒論が。
〉それはどうかなぁ。。。
え？「それはどうかなぁ。。。」で済ます？
寝言は一昨日言ってください。
閑話休題
Re:今回の発見はノーベル賞級ですか？ (スコア:1)
タレコミで積分法なんて書いてるけど、求積法じゃないのか？(それとも用語が変わったのか？)
「微分方程式を求積法で解く」と言うのは、未知関数と同じ数の保存量 (これを「積分」と言う) を求めれば、積分定数をパラメーターとする一般解が求まる。ということ。(解空間が保存量ごとに細分されて１本の曲線＝解にまで分離される)
充分な数の保存量があるような微分方程式 (それを可積分系という) しか求積法で解けないが、それよりパラメーターの少ない特殊解は存在してもかまわない。(その例が三体問題の直線解や正三角形解)
充分な保存量がない方程式はカオスを作るから、一般の状況ではまともな関数で表すことが不可能。(特殊解の近くのみ可能、それをKAMトーラスと言う)
the.ACount
Re:今回の発見はノーベル賞級ですか？ (スコア:1, フレームのもと)
〉 タレコミで積分法なんて書いてるけど、求積法じゃないのか？
〉以下略。
日本語でＯＫ。
閑話休題
Re:今回の発見はノーベル賞級ですか？ (スコア:1)
一応フォローしとくと、求積法（quadrature）の一種が積分法（integration）だね。
まあ、定積分を求める手法のことを求積法って言う人も居るし、積分してんだから積分法だって言う人も居る。
この辺の（特に日本語の）単語は、数学屋さんと工学屋さんと電気屋さんと物理屋さんで（さらに時代で）範囲が異なったりするから、あんまり細かい突っ込みは野暮って事で。
だってスラドだし:-P
Re:今回の発見はノーベル賞級ですか？ (スコア:1)
Re:今回の発見はノーベル賞級ですか？ (スコア:1)
ていうか、新しい何かを予言するというより、厳密解法じゃ？（頑張れば予言できなくもないかもしれないけど）
まあ、ノーベル賞級でないというのは同意だけど。
Re:今回の発見はノーベル賞級ですか？ (スコア:1)
Re:今回の発見はノーベル賞級ですか？ (スコア:2)
>おっしゃるような「理論のみ」はすでに物理学じゃないような....
？？
ここが、一般相対性理論の話題ですので述べますが、
アインシュタイン方程式を解いた人はノ～ベル賞を貰ってません。
#カ～・シュバルツシルト・ゲ～デル
##電荷ありは誰だったけか・・・；；；
> おっしゃるような「理論のみ」はすでに物理学じゃないような....
物理でないなら、ホ～キング博士はどうなの？
物理でないなら、ペンロ～ズ博士はどうなの？
ウィッテンは物理じゃないかもｗ
#超弦理論を専攻してたけどID
閑話休題
Re:今回の発見はノーベル賞級ですか？ (スコア:1)
だとすると、M理論みたいなものは、今のままではもらえなさそうってこと？
何か裏付ける観測結果が出るまでお預けと。
Re:今回の発見はノーベル賞級ですか？ (スコア:2)
> M理論みたいなものは、今のままではもらえなさそうってこと？
うん。そう。ただ、誤解しないでね。私がやってた頃よりは大分あゆんでるから。
#でも、今ならDプレ～ンが最先端？。
> 何か裏付ける観測結果が出るまでお預けと。
私個人の意見だけど、観測あってなんぼなんだなぁ。
今回のは限定で厳密解が見つかったってお話なので応用は難しいかと。
ノ～ベル賞は実学優先なので今後(あ、あるのか？)かなぁ。
上でのコメにもあったけど、アインシュタインが賞を貰えたのは光電効果。
#受賞の理由に『特に、光電効果』って但し書きついたくらいだしｗ
私にはうかがいしれないけど、new releaseさんがその筋の方でしたら、
がんばってほしい。
#べっ、別に私が挫けたからってわけじゃないからね！
閑話休題