Centar masa

Klasična mehanika

$\mathbf {F} ={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}(m\mathbf {v} )$ drugi Newtonov zakon

povijest klasične mehanike kronologija klasične mehanike Grane statika • dinamika/kinetika • kinematika • primjenjena mehanika • nebeska mehanika • mehanika kontinuuma • statistička mehanika Formulacije Newtonova mehanika (vektorska mehanika) analitička mehanika: Lagrangeova mehanika Hamiltonova mehanika Osnovni koncepti prostor • vrijeme • brzina • masa • ubrzanje • gravitacija • sila • impuls sile • spreg sila/moment sile • količina gibanja • kutna količina gibanja • tromost • moment tromosti • referentni okvir • energija • kinetička energija • potencijalna energija • rad • virtualni rad • D'Alembertovo načelo Ključne teme kruto tijelo • dinamika krutog tijela • Eulerove jednadžbe gibanja • gibanje • Newtonovi zakoni gibanja • Newtonov zakon gravitacije • jednadžbe gibanja • inercijski referentni okvir • neinercijski referentni okvir • rotirajući referentni okvir • fiktivna sila • mehanika ravninskog gibanja krutog tijela • pomak (vektor) • relativna brzina • trenje • jednostavno harmonijsko gibanje • harmonijski oscilator • vibracije • prigušenje • koeficijent prigušenja • Rotacijsko gibanje • Kružno gibanje • jednoliko kružno gibanje • nejednoliko kružno gibanje • centripetalna sila • centrifugalna sila • centrifugalna sila (rotacijski referentni okvir) • reaktivna centrifugalna sila • Coriolisov učinak • fizičko njihalo • rotacijska brzina • kutno ubrzanje • kutna brzina • kutna frekvencija • kutni pomak Znanstvenici Isaac Newton • Jeremiah Horrocks • Leonhard Euler • Jean le Rond d'Alembert • Alexis Clairaut • Joseph Louis Lagrange • Pierre-Simon Laplace • William Rowan Hamilton • Siméon-Denis Poisson

Centar masa ili centar mase nekoga tijela ili sistema čestica je "točka u kojoj kao da je sadržana ukupna masa" toga tijela ili sistema. Ovakav opis nije dovoljno jasan da bi se mogao smatrati formalnom definicijom, ali intuitivno upućuje na fizikalni smisao i neke primjene centra masa, npr:

• količina gibanja tijela ili sistema jednaka je umnošku njegove mase i brzine njegovog centra masa;
• ako na tijelo ili sistem ne djeluju vanjske sile, njegov centar masa miruje ili se giba jednoliko pravocrtno, dok se pojedini dijelovi tijela ili sistema mogu gibati drugačije (primjena 1. Newtonovog aksioma);
• vanjska sila koja djeluje na tijelo ili sistem daje njegovom centru masa akceleraciju koja je jednaka omjeru te sile i mase tijela ili sistema, dok pojedini dijelovi tijela ili sistema mogu imati drugačije akceleracije (primjena 2. Newtonovog aksioma za nerelativističke brzine);
• u nekim primjenama klasične mehanike koristi se pojam materijalna točka: to je matematička konstrukcija koja tijelo u cjelosti nadomješta s njegovim centrom masa, tj. prikazuje proizvoljno veliko tijelo kao točku u kojoj je doista sadržana njegova proizvoljno velika masa.

U ovome članku pojam "čestica" označava neku vrlo malu masu koja stvarno zauzima tako mali volumen da se njezin položaj može dobro opisati (u promatranom kontekstu) samo jednom točkom, tj. njezinim vektorom položaja. Tijelo kojemu dimenzije nisu zanemarivo male smatramo sastavljenim od ogromnog broja međusobnim silama povezanih čestica (ili zamišljamo kontinuiranu razdiobu tijela na diferencijalne elemente). "Sistem čestica" označava neki skup čestica koje stvarnim ili zamišljenim razgraničenjem možemo razlučiti od okoline (i koje mogu ali i ne moraju djelovati jedna na drugu).

Daljnja razmatranja temelje se na predodžbi da se pojedina čestica podudara sa svojim centrom masa (tj. volumen čestice je tako mali da je praktično sadržan u njezinom centru masa).

Definicija centra masa

Ilustriranje centra mase održavajući ravnotežu dječje igračke prstom

Centar masa sistema od N čestica je točka C određena vektorom položaja $\scriptstyle {\vec {r}}_{C}$ prema formuli

${\vec {r}}_{C}={\frac {1}{m}}\sum _{i=1}^{N}m_{i}{\vec {r}}_{i}$       (gdje je   $m=\sum _{i=1}^{N}m_{i}$   ukupna masa sistema).

Pojedina čestica označena je simbolom "i" (i=1, 2, ... N), tj. njezina masa je $\scriptstyle m_{i}$ a njezin vektor položaja je $\scriptstyle {\vec {r}}_{i}$.

Ista formula može se koristiti i za određivanje centra masa sistema sastavljenog od proizvoljno velikih dijelova, ako znamo koordinate centra masa svakoga dijela. Tada je $\scriptstyle m_{i}$ masa pojedinog dijela, dok $\scriptstyle {\vec {r}}_{i}$ označava vekor položaja centra masa toga dijela (primjer na skici dolje).

Centar masa tijela može se opisati istom gornjom formulom ako se zamišlja da se tijelo sastoji od N čestica. U stvarnom izračunu, međutim, umjesto ogromnog broja diskretnih sastavnih čestica zamišlja se kontinuirana razdioba tijela na sve sitnije dijelove, koji se graničnim procesom prevode u diferencijalne elemente mase $\scriptstyle dm$ odnosno volumena $\scriptstyle dV$. Tako se sume iz gornje formule prevode u integrale, što omogućuje korištenje poznatih metoda diferencijalnog računa:

${\vec {r}}_{C}={\frac {1}{m}}\int _{V}{\vec {r}}\,\mathrm {d} m$       (gdje je   $m=\int _{V}\,\mathrm {d} m$   ukupna masa tijela).

Integriranje je samo simbolički naznačeno donjim indeksom uz integral: podrazumijeva se da su to trostruki određeni integrali po cijelom volumenu ("V") tijela, kojima se konkretne granice definiraju po vanjskoj konturi tijela. Usto se u stvarnom računu diferencijalni element mase obično opisuje pomoću gustoće ρ (koja je funkcija položaja), tj. $\scriptstyle dm=\rho \,dV$, pa formula poprima oblik

${\vec {r}}_{C}={\frac {1}{m}}\int _{V}{\vec {r}}\,\rho \,\mathrm {d} V$       (gdje je   $m=\int _{V}\rho \,\mathrm {d} V$   ukupna masa tijela).

Centar masa homogenog tijela računa se samo pomoću njegovog volumena V. Budući da homogeno tijelo ima posvuda jednaku gustoću, ona se u gornjem izrazu za položaj centra masa vadi ispred integrala i pokrati s gustoćom u izrazu za masu $\scriptstyle m=\rho V$ , pa se dobiva:

${\vec {r}}_{C}={\frac {1}{V}}\int _{V}{\vec {r}}\,\mathrm {d} V$ .

Obrazloženje definicije: dokaz uloge centra masa

Budući da se gibanje čestice opisuje samo jednim vektorom položaja, njezina brzina i akceleracija mogu se jednoznačno odrediti kao prva odnosno druga derivacija toga vektora položaja po vremenu. Zato je definiranje veličina i formuliranje zakona klasične mehanike najjednostavnije i najjasnije u slučaju čestice. Primjerice, poznati i praktični oblik 2. Newtonovog aksioma (u nerelativističkoj aproksimaciji) "suma sila jednaka je umnošku mase i akceleracije" predstavlja posve jasnu tvrdnju za pojedinu česticu: radi se o sumi svih sila koje djeluju na česticu, o masi čestice, te o akceleraciji čestice koja je jasno definirana preko njezinog vektora položaja.

No, postavlja se pitanje da li je moguće te zakone i veličine na sličan način formulirati i za sistem čestica, odnosno za tijelo kao cjelinu. Za spomenuti Newtonov aksiom, na primjer, nije unaprijed jasno da li je moguće i kako treba definirati pojam "akceleracija tijela", budući da se tijelo sastoji od mnoštva čestica koje mogu imati različite akceleracije. Pokazuje se da rješenje problema omogućuje definicija centra masa.

U tu svrhu, analiziramo tijelo kao sistem čestica: za svaku česticu napišemo jednadžbu $\scriptstyle \Sigma {\vec {F}}=m{\vec {a}}$ ("suma sila jednaka je umnošku mase i akceleracije"), pa zbrojimo sve te jednadžbe. Ako za primjer uzmemo sistem od samo tri čestice s masama m₁, m₂, m₃ odnosno akceleracijama $\scriptstyle {\vec {a}}_{1},{\vec {a}}_{2},{\vec {a}}_{3}$ (a poopćenje na više čestica, odnosno tijelo, je očigledno), nakon zbrajanja dobivamo

$\scriptstyle {\vec {F}}_{v}=m_{1}{\vec {a}}_{1}+m_{2}{\vec {a}}_{2}+m_{3}{\vec {a}}_{3}$

gdje je $\scriptstyle {\vec {F}}_{v}$ skraćena oznaka za zbroj svih vanjskih sila koje djeluju na sve čestice (unutarnje sile, kojima čestice eventualno međusobno djeluju, ponište se prilikom zbrajanja zbog zakona akcije i reakcije).

Na desnoj strani dobivenog izraza pojavio se zbroj umnožaka masa i akceleracija, koji nema očiglednoga smisla, ali na prvi pogled podsjeća na zbroj umnožaka masa i vektora položaja u definiciji centra masa. Jasno je da tu definiciju samo treba dva puta derivirati po vremenu da bi se od vektora položaja dobile akceleracije:

$\scriptstyle m\,{\vec {r}}_{c}=m_{1}{\vec {r}}_{1}+m_{2}{\vec {r}}_{2}+m_{3}{\vec {r}}_{3}$

$\scriptstyle m\,{\vec {v}}_{c}=m_{1}{\vec {v}}_{1}+m_{2}{\vec {v}}_{2}+m_{3}{\vec {v}}_{3}$

$\scriptstyle m\,{\vec {a}}_{c}=m_{1}{\vec {a}}_{1}+m_{2}{\vec {a}}_{2}+m_{3}{\vec {a}}_{3}$

Prva od tri gornje jednadžbe je definicija centra masa za sistem od tri čestice (pomnožena s ukupnom masom, tako da na desnoj strani ostanu samo mase i vektori položaja pojedinih čestica). Njezinim deriviranjem po vremenu dobiva se druga jednadžba (vektori položaja prelaze u brzine). Svaki pribrojnik $\scriptstyle m_{i}{\vec {v}}_{i}$ je količina gibanja $\scriptstyle {\vec {p}}_{i}$ pojedine čestice, npr. za prvu česticu $\scriptstyle {\vec {p}}_{1}=m_{1}{\vec {v}}_{1}$. Ukupna količna gibanja $\scriptstyle {\vec {p}}$ sistema je, po definiciji, jednaka zbroju količina gibanja svih čestica. No, dobivena jednadžba pokazuje da se ona može dobiti i jednostavnije: kao umnožak ukupne mase sistema i brzine njegovog centra masa

${\vec {p}}=m\,{\vec {v}}_{C}$

Posljednja u gornjoj skupini od tri analogne jednadžbe dobiva se daljnjim deriviranjem po vremenu, koje prevodi brzine u akceleracije. Ona pokazuje da je zbroj umnožaka $\scriptstyle m_{i}{\vec {a}}_{i}$ na desnoj strani jednak umnošku ukupne mase sistema i akceleracije njegovog centra masa. To konačno omogućuje tumačenje prethodnog rezultata, koji se dobio primjenom 2. Newtonovog aksioma na pojedinačne čestice:

${\vec {F}}_{v}=m\,{\vec {a}}_{C}$.

Dakle, zakon "suma sila jednaka je umnošku mase i akceleracije" jednako vrijedi i za cijeli sistem odnosno tijelo, samo što se tvrdnja dnosi na akceleraciju njegovog centra masa, a u sumi sila (ovdje skraćeno označenoj kao $\scriptstyle {\vec {F}}_{v}$) preostaju samo sile koje izvana djeluju na sistem odnosno na tijelo.

Ako takvih sila nema (ili se zbrajanjem ponište), centar masa miruje ili se giba jednoliko pravocrtno (nema akceleracije), pa je ukupna količina gibanja konstantna. Pritom se pojedine čestice ili dijelovi sistema ili tijela mogu gibati na različite druge načine, odnosno mijenjati svoje količine gibanja i imati različite akceleracije.

Primjer određivanja centra masa

Umjesto gornjih formula za centra masa, u kojima se koristi vektor položaja $\scriptstyle {\vec {r}}_{C}$ kao oznaka za sve tri koordinate centra masa, u praktičnim se primjenama najčešće pojedina kooordinata zasebno računa. Tako npr. u Kartezijevom sistemu za x-koordinatu centra masa sistema od N čestica imamo (a i preostale dvije koordinate, ako je potrebno, računaju se iz analognih izraza):

$x_{C}={\frac {1}{m}}\sum _{i=1}^{N}m_{i}x_{i}$.

Račun ilustriramo na jednostavnom primjeru: na skici desno prikazan je čekić kojemu se centar masa nalazi na osi x zbog simetričnog rasporeda masa. Na početnom dijelu osi naznačene su jedinice duljine (npr. centimetri): glava čekića mase m₁=2 kg ima centar masa u svojemu središtu, na koordinati x₁=2 cm, a drška mase m₂=0,5 kg na koordinati x₂=6 cm.

Centar masa tijela sa ovako opisanim dijelovima računa se (kako je već spomenuto) po formuli za centar masa sistema čestica, pa imamo

$\scriptstyle x_{c}={\frac {1}{m_{1}+m_{2}}}\,(m_{1}x_{1}+m_{2}x_{2})={\frac {1}{2,5}}\,(2\times 2\,+\,0,5\times 6)=2,8\,cm$.

Odnos centra masa i težišta tijela

Iako među njima ima dosta sličnosti u praktičnim primjenama, u usporedbi s centrom masa pojam težišta nije tako jednoznačno definiran niti ima takav fundamentalni značaj u fizici. Već i njihove opisne definicije, "točka u kojoj kao da je sadržana sva masa tijela" (centar masa) i "točka u kojoj kao da je sadržana sva težina tijela" (težište), razotkrivaju glavne razlike i sličnosti. Za razliku od centra masa, težište ne ovisi samo o građi tijela nego i o gravitacijskom polju u kojemu se tijelo nalazi. No, u homogenom gravitacijskom polju težište tijela je ista točka kao i njegov centar masa.

Gravitacijsko polje na Zemlji skoro je sasvim homogeno, pa u većini praktičnih primjena nema potrebe u računu razlikovati težište tijela od centra masa. Primjerice, tornjevi Petronas u Maleziji visoki su oko 450 metara, a njihovo težište nalazi se samo oko 2 centimetra ispod centra masa (zato što gravitacijsko polje malo opada s visinom, pa je donja polovica mase malo teža od gornje). Stoga je sasvim razumljivo da mnogi jednostavniji tekstovi i elementarni udžbenici ne upozoravju na razliku između centra masa i težišta tijela, a neki te nazive koriste kao sinonime.

Ipak, težište tijela je konceptualno posve različit pojam od centra masa. U nehomogenom gravitacijskom polju njegov položaj nije jednoznačno povezan s tijelom: ako ga je uopće moguće definirati, položaj težišta ovisi o orijentaciji tijela u polju. Usto, čak i spomenuto malo odstupanje težišta od centra masa u približno homogenom Zemljinom polju može biti značajno kod preciznijih mjerenja. Zato su u poznatim standardnim udžbenicima iz fizike ta dva pojma jasno razdvojena.

U različitim Wikipedijama, međutim, najčešće se pojavljuje samo jedan članak, naslovljen ili kao "Težište" ili kao "Centar masa". U nekima od tih članaka, razlika između centra masa i težišta tijela opisana je korektno, u nekima je barem spomenuta, a u nekima uopće nije.

Literatura

• Feynman, Richard; Robert Leighton, Matthew Sands (1963). The Feynman Lectures on Physics. Addison Wesley. ISBN 0-201-02116-1. 
• Kleppner, Daniel; Robert Kolenkow (1973). An Introduction to Mechanics (2e izd.). McGraw-Hill. ISBN 0-07-035048-5. 
• Marion, Jerry; Stephen Thornton (1995). Classical Dynamics of Particles and Systems (4e izd.). Harcourt. ISBN 0-03-097302-3. 
• Murray, Carl; Stanley Dermott (1999). Solar System Dynamics. Cambridge UP. ISBN 0-521-57295-9. 
• Symon, Keithe R. (1971). Mechanics (3rd edition izd.). Addison-Wesley. ISBN 978-0-201-07392-8. 
• Tipler, Paul (2004). Physics for Scientists and Engineers: Mechanics, Oscillations and Waves, Thermodynamics (5th ed.). W. H. Freeman. ISBN 0-7167-0809-4. 
• Goldstein, Herbert; Charles Poole, John Safko (2002). Classical Mechanics (3e izd.). Addison Wesley. ISBN 0-201-65702-3. 
• Serway, Raymond A.; Jewett, John W. (2004). Physics for Scientists and Engineers (6th ed.). Brooks/Cole. ISBN 0-534-40842-7.