Arhimedov zakon
Arhimedov zakon nazvan je po Arhimedu (oko 287.-212. pne.) iz Sirakuze koji je prvi otkrio ovaj zakon, a koji glasi:
Drugim rečima, na svako telo potopljeno u tečnost deluje sila potiska koja je jednaka težini telom istisnute tečnosti. Ovo je osnovni zakon hidrostatike (i aerostatike). Ovaj zakon je opšti i važi za sve fluide i gasove, ali je prvo otkriven kod tečnosti.
Arhimedov princip je razlog zašto čamci plivaju i vazdušni baloni lete. Ako je sila potiska jednaka težini tela, telo je u mirovanju.
Na jedno telo u fluidu deluju dve sile i one se predstavljaju kao vektori koji deluju na težište tela. Potisak u homogenom fluidu opisuje se:
gde je ρflu gustina fluida, g zemljino ubrzanje i V je zapremina istisnute tečnosti (jednako je zapremini tela). Pored ovoga na telo deluje i sila teže koja za homogeno telo iznosi:
gde je ρsol gustina tela koje se zaranja.
Neka je FA sila potiska, a Fp težina tela. Uzrok potiska je postojanje gravitacije, kao i za težinu, stoga obe sile imaju isti pravac ali suprotan smer. Rezultanta te dve sile je istog pravca, a intenzitet i smer je zavisan od toga koja je sila veća. Za telo potopljeno u fluid su moguća tri slučaja (kao na slici, zdesna na levo) u zavisnosti od odnosa sila
- Telo izranja, penje se. Ovo je slučaj kada je FA > Fp, odnosno ρflu > ρsol.
- Telo je u položaju ravnoteže, indiferentnosti kada FA = Fp, odnosno ρflu = ρsol i telo ne trpi ubrzanje tojest miruje (ili se nalazi u stanju ravnomernog kretanja ako zanemarimo trenje u fluidu).
- Telo tone, pada jer je tada FA < Fp, odnosno ρflu < ρsol i telo ubrzava u smeru dejstva gravitacione sile.
Ukoliko telo pliva, ono je samo delom potopljeno i ravnoteža je uspostavljena između težine i potiska koji nastaje istiskivanjem dela od ukupne zapremine čvrstog tela (kao na slici).
U ovom slučaju telo je potopljeno samo delom, i to je zapremina Vi, i to uzrokuje potisak koji je u ravnoteži sa težinom tela:
a odatle se izvodi formula:
na osnovu koje se može izračunati gustina nepoznatog tela (ako znamo zapreminu).
Iz ove formule se mogu dobiti zanimljivi rezultati. Uzmimo na primer ledeni breg (kao što je onaj koji je udario Titanik) koji plovi morem. Gustina leda u plivajućoj santi je 917 kg/m³, što je manje od gustine morske vode koja iznosi 1027 kg/m³. Odnos gustina je jednak odnosu zapremina, što direktno vodi do zaključka da je 89,3% ledenog brega ispod površine vode (približno devet desetina).
Za razliku od tečnosti, gas je stišljiv i ima promenljivu gustinu u zavisnosti od nekih fizičkih parametara. Polazeći od jednačine idealnog gasa
gde predstavlja pritisak, je zapremina, je broj molova gasa, je apsolutna temperatura, i je univerzalna gasna konstanta (8.314 J/mol K) možemo dobiti sledeći izraz za gustinu gasa
gde je molarna masa gasa. Ovde je bitno primetiti da pritisak nije konstantan već promenljiv sa nadmorskom visinom te je stoga problem lebdenja (barem teoretski) prilično komplikovan.
Postoji anegdota (prema Vitruviusu) koja govori kako je Arhimed otkrio da zlatna kruna, napravljena za kralja Hierona ll., nije od čistog zlata. Kada je zlatna kruna u obliku lovorovog vijenca napravljena, od Arhimeda je zatraženo da utvrdi je li kruna od čistog zlata ili je nečasni zlatar umiješao i srebro. Pri tom nije smio oštetiti krunu. Problem je bio kako odrediti volumen (obujam) krune pomoću kojeg bi se uz poznatu masu, odredila gustoća zlata. Rješenje je došlo za vrijeme kupanja. Primijetio je da se ulaskom u kadu podigla razina vode. Shvatio je da je to način kojim bi se mogao izračunati i obujam krune. Dijeljenjem mase krune s njenim obujmom izračunala bi se gustoća metala u kruni. Manja gustoća od gustoće zlata značilo bi da je zlatu dodano srebro. Našavši rješenje problema, bio je toliko uzbuđen da je, zaboravivši se obući, iz kade istrčao gol na ulicu, vičući Heureka! (grč. εὕρηκα!) - Našao sam!.
Zbog malog volumena zlatne krune praktično bi bilo teško izmjeriti porast nivoa istisnute vode u posudi. Ali princip hidrostatskog tlaka (vidi sliku), danas poznat kao Arhimedov zakon i opisan u njegovoj raspravi O plutajućim tijelima, mogao je poslužiti u rješavanju ovog problema. Po njemu, masa istisnute tekućine razmjerna (proporcionalna) je njenom obujmu. Znači ako dva tijela iste mase, a različitog obujma, uronimo u tekućinu tijelo većeg obujma istiskuje više tekućine, trpi veći uzgon i postaje lakše od tijela manjeg obujma i vaga više nije vodoravna. Ovim je dokazano da tijelo većeg obujma (zlatna kruna) ima manju gustoću (zbog dodanog srebra).
