Processo de Cauchy

Em teoria da probabilidade, um processo de Cauchy é um tipo de processo estocástico. Há formas simétricas e assimétricas do processo de Cauchy. O termo "processo de Cauchy" não especificado é frequentemente usado para fazer referência ao processo de Cauchy simétrico

O processo de Cauchy tem certas propriedades:

1. É um processo de Lévy;
2. É um processo estável;
3. É um processo de saltos puros;
4. Seus momentos são infinitos.

Processo de Cauchy simétrico

O processo de Cauchy simétrico pode ser descrito por um movimento browniano ou processo de Wiener sujeito ao subordinador de Lévy. O subordinador de Lévy é um processo associado a uma distribuição de Lévy, tendo parâmetro de localização $0$ e parâmetro de escala $t^{2}/2$. A distribuição de Lévy é um caso especial de distribuição gama inversa. Então, usando $C$ para representar o processo de Cauchy e $L$ para representar o subordinador de Lévy, o processo de Cauchy simétrico pode ser descrito como:

$C(t;0,1)\;:=\;W(L(t;0,t^{2}/2)).$

A distribuição de Lévy é a probabilidade do primeiro tempo de chegada para um movimento browniano. Logo, o processo de Cauchy é na essência o resultado de dois processos de movimento browniano independentes.

A representação de Lévy-Khintchine para o processo de Cauchy simétrico é um triplo com deriva zero e difusão zero, o que resulta em um triplo de Lévy-Khintchine de $(0,0,W)$, em que $W(dx)=dx/(\pi x^{2})$.

A função característica marginal do processo de Cauchy simétrico tem a forma:

$\operatorname {E} {\Big [}e^{i\theta X_{t}}{\Big ]}=e^{-t|\theta |}.$

A distribuição de probabilidade marginal do processo de Cauchy simétrico é a distribuição de Cauchy cuja densidade é

$f(x;t)={1 \over \pi }\left[{t \over x^{2}+t^{2}}\right].$

Processo de Cauchy assimétrico

O processo de Cauchy assimétrico é definido nos termos de um parâmetro $\beta$. Aqui, $\beta$ é o parâmetro de obliquidade e seu valor absoluto deve ser menor ou igual a $1$. No caso em que $|\beta |=1$, o processo é considerado um processo de Cauchy completamente assimétrico.

O triplo de Lévy-Khintchine tem a forma $(0,0,W)$, em que $W(dx)={\begin{cases}Ax^{-2}\,dx&{\text{if }}x>0\\Bx^{-2}\,dx&{\text{if }}x<0\end{cases}}$, em que $A\neq B$, $A>0$ e $B>0$.

Isto posto, $\beta$ é uma função de $A$ e $B$.

A função característica da distribuição de Cauchy assimétrica tem a forma:

$\operatorname {E} {\Big [}e^{i\theta X_{t}}{\Big ]}=e^{-t(|\theta |+i\beta \theta \ln |\theta |/(2\pi ))}.$

A distribuição de probabilidade marginal do processo de Cauchy é uma distribuição estável com índice de estabilidade igual a $1$.