Tallsystem

Det finnes en rekke tallsystemer som er og har vært i bruk. De mest kjente er romertallene og desimalltallene/titallsystemet, som er i bruk i dag. Det finnes også en del tallsystemer som brukes i sammenheng med datamaskiner som totallsystemet/binærtall, åttetallsystemet, sekstentallsystemet og 64-tallsystemet. Tallsystemet vi bruker i dagliglivet er titallsystemet. Det vil si et tallsystem bygget opp av tierpotenser. For eksempel er tallet 100 = 10². Tallsystemet som brukes i databehandling er det såkalte totallsystemet (binære tall). Tallene i dette systemet bygges opp av toerpotenser. For eksempel er tallet 8 = 2³ Det finnes også andre tallsystemer, som tolvtallsystemet (dusin) og sekstitallsystemet (brukes i beregninger av tid og vinkler). Symbolene som tallene i et tallsystem skrives med kalles siffer eller talltegn.

Historiske tallsystemer

Det finnes en rekke tallsystemer som ikke lenger er i bruk eller som brukes mest av historiske årsaker. Et eksempel på dette er det romerske tallsystemet. Aztekerne og mayaene brukte et 20-tallsystem og sumererne brukte et 60-tallsystem (seksagesimalsystemet).

Moderne tallsystemer

Heltall

I moderne tallsystemer, som for eksempel

• det desimale tallsystemet (titallsystemet),
• det binære tallsystemet (totallsystemet),
• det oktale tallsystemet (åttetallsystemet)
• det duodesimale tallsystemet (tolvtallsystemet) og
• det heksadesimale tallsystemet (sekstentallsystemet),

kan alle heltall uttrykkes som en sekvens av sifre på formen

$(a_{n}a_{n-1}\dots a_{2}a_{1}a_{0})_{b}$

der $b$ er grunntallet og hver $a_{i}$ er et siffer. Hvert siffer er større enn eller lik 0 og mindre enn grunntallet $b$. Eksempler på dette er (4D2)₁₆, (2322)₈, (10011010010)₂ og (1234)₁₀, som alle uttrykker den samme tallverdien, den vi skriver i desimalnotasjon som 1234.

Det er normalt å utelate grunntallet når det er underforstått hvilket grunntall som er brukt. Da uttrykkes tallet som

$a_{n}a_{n-1}\dots a_{2}a_{1}a_{0}$

som for eksempel 4D2, 2322, 10011010010 eller 1234.

Verdien av et slikt tall, med grunntall $b$, er

$a_{n}b^{n}+a_{n-1}b^{n-1}+\cdots +a_{2}b^{2}+a_{1}b+a_{0}$

For eksempel, (4D2)₁₆ i titallsystemet blir

$(4)_{16}(16)_{10}^{2}+(D)_{16}(16)_{10}+(2)_{16}$

$=(4)_{10}256_{10}+(13)_{10}(16)_{10}+(2)_{10}$

$=(1024)_{10}+(208)_{10}+(2)_{10}$

$=(1234)_{10}$

Desimaltall

Som for heltall er det normalt å utelate grunntallet når det er underforstått hvilket grunntall som er brukt. Da uttrykkes tallet som

$a_{n}a_{n-1}\dots a_{1}a_{0},a_{-1}a_{-2}\dots$

Verdien av et slikt tall, med grunntall $b$, er

$a_{n}b^{n}+a_{n-1}b^{n-1}+\cdots +a_{1}b+a_{0}+a_{-1}b^{-1}+a_{-2}b^{-2}+\cdots$

Omgjøring av tall i ett tallsystem til det tilsvarende tallet i titallsystemet

For å gjøre om et tall i f.eks. et totallssystem til det tilsvarende tallet i et titallssystem må tallet multipliseres med en toerpotens. Størrelsen på potensen bestemmes av verdien av sifferet i tallet (altså tierplassen, hundreplassem osv). Tallet 1011 (i et totallssystem) vil da bli 1*2³ + 0*2² + 1*2 + 1*2° = 11 i et titallssytem. Det samme gjør du med et utgangspunkt i f.eks. et tolvtallsystem, bare med potenser av tallet 12 istedenfor toerpotenser.

Omgjøring av tall i titallsystemet til det tilsvarende tallet i et annet tallsystem

For å gjøre om et tall i titallsystemet til det tilsvarende tallet i et annet tallsystem, må tallet deles med den gjeldende potensen helt til det når 0, og alle rester må taes i betraktning. For eksempel vil tallet 83 (i titallsystemet) regnes om på denne måten, for å gjøre det om til totallsystemet:

83:2 blir 41, med rest 1,
41:2 blir 20, med rest 1,
20:2 blir 10, med rest 0,
10:2 blir  5, med rest 0,
 5:2 blir  2, med rest 1,
 2:2 blir  1, med rest 0,
 1:2 blir  0, med rest 1.

For å finne hva tallet 83 (i titallsystemet) blir i totallsystemet, begynner vi med restene nedenifra. Tallet blir dermed 1010011 i totallsystemet. Hvis et tall skal gjøres om til det tilsvarende tallet i f.eks femtallsystemet, må man dele tallet på 5:

83:5 blir 16, med rest 3,
16:5 blir  3, med rest 1,
 3:5 blir  0, med rest 3.

Altså blir dette 313 i femtallsystemet.

Se også

• Tall