수학 에서 등차수열 (等差數列, 문화어 :영어 : arithmetic progression, AP 또는 arithmetic sequence )은 연속하는 두 항의 차이가 모두 일정한 수열 을 뜻한다. 예를 들어 1, 3, 5, 7, 9, ...은 등차수열이다. 이때 두 항의 차이는 이 수열의 모든 연속하는 두 항들에 대해서 공 통으로 나타나는 차 이므로, 공차 (common difference )라고 한다. 예를 들어, 앞의 수열의 공차는 2이다.
수열의 첫항을
a
1
{\displaystyle a_{1}}
d
{\displaystyle d}
a
n
=
a
1
+
(
n
−
1
)
d
{\displaystyle a_{n}=a_{1}+(n-1)d}
x
{\displaystyle x}
a
x
{\displaystyle a_{x}}
d
{\displaystyle d}
a
n
=
a
x
+
(
n
−
x
)
d
{\displaystyle a_{n}=a_{x}+(n-x)d}
물론 여기에
x
=
1
{\displaystyle x=1}
a
n
=
a
1
+
(
n
−
1
)
d
{\displaystyle a_{n}=a_{1}+(n-1)d}
a
n
=
a
5
+
(
n
−
5
)
d
{\displaystyle a_{n}=a_{5}+(n-5)d}
a
n
=
9
+
2
(
n
−
5
)
{\displaystyle a_{n}=9+2(n-5)}
a
n
=
2
n
−
1
{\displaystyle a_{n}=2n-1}
등차수열에서 연속하는 두 수의 차이를 공차(公差)라고 한다. 보통
d
{\displaystyle d}
예시를 들면 다음과 같다.
1, 2, 3, 4,…으로 증가하는 수열이 있을 때, 공차
d
{\displaystyle d}
1, 1, 1, 1, 1, … 이런 수열이 있을 때, 공차
d
{\displaystyle d}
상수수열 이라고 한다)
2, 10, 18, 26, …으로 증가하는 수열이 있을 때, 공차
d
{\displaystyle d}
342, 345, 348, 351 …으로 증가하는 수열이 있을 때, 공차
d
{\displaystyle d}
0, -1, -2, -3, -4 …으로 증가하는 수열이 있을 때, 공차
d
{\displaystyle d}
d
{\displaystyle d}
a
(
n
+
1
)
{\displaystyle a_{(}n+1)}
a
n
{\displaystyle a_{n}}
n
{\displaystyle n}
>=
{\displaystyle >=}
a
x
{\displaystyle a_{x}}
a
y
{\displaystyle a_{y}}
/
{\displaystyle /}
x
{\displaystyle x}
y
{\displaystyle y}
세 수
a
{\displaystyle a}
b
{\displaystyle b}
c
{\displaystyle c}
b
{\displaystyle b}
a
{\displaystyle a}
c
{\displaystyle c}
a
{\displaystyle a}
b
{\displaystyle b}
c
{\displaystyle c}
b
{\displaystyle b}
a
{\displaystyle a}
c
{\displaystyle c}
b
−
a
=
c
−
b
{\displaystyle b-a=c-b}
b
=
a
+
c
2
{\displaystyle b={\frac {a+c}{2}}}
등차중항은 두 수를 1:1로 내분하는 등분점이라고 생각하면 쉽다. 세 수
a
{\displaystyle a}
b
{\displaystyle b}
c
{\displaystyle c}
b
{\displaystyle b}
a
{\displaystyle a}
c
{\displaystyle c}
a
{\displaystyle a}
b
{\displaystyle b}
c
{\displaystyle c}
d
{\displaystyle d}
b
{\displaystyle b}
a
{\displaystyle a}
d
{\displaystyle d}
c
{\displaystyle c}
a
{\displaystyle a}
d
{\displaystyle d}
b
{\displaystyle b}
c
{\displaystyle c}
수열의 정의상 함수처럼 생각하면 이를 내분점, 혹은 외분점의 의미로 받아 들일 수 있다. 항의 비로 표현이 가능하다.[ 1]
등차급수(영어 : arithmetic series )는 다음과 같은 공식으로 나타난다. 초항부터 n번째 항까지의 합
S
n
{\displaystyle S_{n}}
S
n
=
n
(
a
1
+
a
n
)
2
=
n
[
2
a
1
+
(
n
−
1
)
d
]
2
{\displaystyle S_{n}={\frac {n(a_{1}+a_{n})}{2}}={\frac {n[2a_{1}+(n-1)d]}{2}}}
이것은 다음과 같은 방법으로 증명할 수 있다.
S
n
=
a
1
+
a
2
+
⋯
+
a
n
−
1
+
a
n
{\displaystyle S_{n}=a_{1}+a_{2}+\dots +a_{n-1}+a_{n}}
=
a
1
+
(
a
1
+
d
)
+
⋯
+
{
a
1
+
(
n
−
2
)
d
}
+
{
a
1
+
(
n
−
1
)
d
}
{\displaystyle =a_{1}+(a_{1}+d)+\dots +\{a_{1}+(n-2)d\}+\{a_{1}+(n-1)d\}}
S
n
=
a
n
+
a
n
−
1
+
⋯
+
a
2
+
a
1
{\displaystyle S_{n}=a_{n}+a_{n-1}+\dots +a_{2}+a_{1}}
=
{
a
1
+
(
n
−
1
)
d
}
+
{
a
1
+
(
n
−
2
)
d
}
+
⋯
+
(
a
1
+
d
)
+
a
1
{\displaystyle =\{a_{1}+(n-1)d\}+\{a_{1}+(n-2)d\}+\dots +(a_{1}+d)+a_{1}}
2
S
n
=
(
a
1
+
a
n
)
+
(
a
2
+
a
n
−
1
)
+
⋯
+
(
a
n
−
1
+
a
2
)
+
(
a
n
+
a
1
)
{\displaystyle 2S_{n}=(a_{1}+a_{n})+(a_{2}+a_{n-1})+\dots +(a_{n-1}+a_{2})+(a_{n}+a_{1})}
2
S
n
=
[
2
a
1
+
(
n
−
1
)
d
]
+
[
2
a
1
+
(
n
−
1
)
d
]
+
⋯
+
[
2
a
1
+
(
n
−
1
)
d
]
+
[
2
a
1
+
(
n
−
1
)
d
]
{\displaystyle 2S_{n}=[2a_{1}+(n-1)d]+[2a_{1}+(n-1)d]+\dots +[2a_{1}+(n-1)d]+[2a_{1}+(n-1)d]}
2
S
n
=
n
[
2
a
1
+
(
n
−
1
)
d
]
{\displaystyle 2S_{n}=n[2a_{1}+(n-1)d]}
S
n
=
n
[
2
a
1
+
(
n
−
1
)
d
]
2
{\displaystyle S_{n}={\frac {n[2a_{1}+(n-1)d]}{2}}}
결론적으로 등차급수는
{
a
n
}
{\displaystyle \{a_{n}\}}
{
a
n
}
{\displaystyle \{a_{n}\}}
{
a
n
}
{\displaystyle \{a_{n}\}}
등차급수의 공식은 실생활에서는 도형의 넓이(ex-사다리꼴의 넓이)를 구하는데 주로 사용된다.
사람들은 다음과 같은 형태의 합을 쉽게 계산 할 수 있다.
S
=
−
5
−
4
−
3
−
2
−
1
+
0
+
1
+
2
+
3
+
4
+
5
{\displaystyle S=-5-4-3-2-1+0+1+2+3+4+5}
S
=
0
{\displaystyle S=0}
등차수열의 합도 이와같은 방법을 이용할 수 있다. 즉, 양 끝의 합이 0이 되도록 양 끝의 합의 평균을 구해 항의 개수만큼 빼주는 것이다.
그 평균값을 m이라 하면
S
n
=
a
1
+
a
2
+
a
3
+
.
.
.
+
a
n
−
2
+
a
n
−
1
+
a
n
{\displaystyle S_{n}=a_{1}+a_{2}+a_{3}+...+a_{n-2}+a_{n-1}+a_{n}}
양변 m을 n개 빼주면 우변은 위와 같은 형태로 쉽게 0이 되어버린다.
S
n
−
m
∗
n
=
0
{\displaystyle S_{n}-m*n=0}
S
n
=
m
∗
n
{\displaystyle S_{n}=m*n}
S
n
=
{
(
a
1
+
a
n
)
2
}
⋅
n
{\displaystyle S_{n}=\{{\frac {(a_{1}+a_{n})}{2}}\}\cdot n}
S
n
=
n
(
a
1
+
a
n
)
2
{\displaystyle S_{n}={\frac {n(a_{1}+a_{n})}{2}}}
첫항과 공차가 동시에 0이 아닌 어떤 등차수열
a
n
{\displaystyle a_{n}}
∑
n
=
1
∞
a
n
{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}}
발산 한다.
![{\displaystyle S_{n}={\frac {n(a_{1}+a_{n})}{2}}={\frac {n[2a_{1}+(n-1)d]}{2}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2c20edf8a4ff670b534d3cb674f934710a88d023)
![{\displaystyle 2S_{n}=[2a_{1}+(n-1)d]+[2a_{1}+(n-1)d]+\dots +[2a_{1}+(n-1)d]+[2a_{1}+(n-1)d]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9147749b803d5fa44875a9c967785c64cf76e1cf)
![{\displaystyle 2S_{n}=n[2a_{1}+(n-1)d]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9d8933fce5e29b34ad161ee060c0a595efdf9d61)
![{\displaystyle S_{n}={\frac {n[2a_{1}+(n-1)d]}{2}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/caedd3396df40db2fa288eb22d4e5e8be7a9191b)
