倍加時間

倍加時間（ばいかじかん、英語: doubling time）とは、何らかの数または量が2倍になるのに要する時間のことである。倍増時間（ばいぞうじかん）とも言う。人口増加・インフレーション・天然資源の採出量・物の消費量・複利計算・悪性腫瘍の大きさなど、時間の経過とともに大きくなる物に適用される。相対的（絶対的ではない）な増加率が一定の場合、量は指数関数的に増加し、倍加時間は一定になる。この場合、増加率から直接に倍加時間を計算することができる。

倍加時間は、2の自然対数を、増加率の冪指数で割ることで求められる。あるいは、パーセントで表した増加率の数値で70を割ると概算値が求められる。さらに大まかな値を求めるのに、70の代わりに約数の多い72を使う方法が良く知られており、「72の法則」と呼ばれている。

倍加時間は指数関数的増加方程式の特性単位（英語版）であり、倍加時間の逆の指数関数的減衰に対する同種の値が半減期である。

例えば、2006年のカナダの年間の人口増加率は0.9%であり、70を0.9で割るとおおよその倍加時間である78年が求められる。ここから、人口増加率が変わらない場合、2006年のときの3300万人から、78年後の2084年には倍の6600万人になることになる。

歴史

倍加時間という概念は、バビロニア数学において金の貸し借りに関する計算で現れる。紀元前2000年頃の粘土板に、「月に1/60の利率（複利なし）を与えたとき、倍加時間を求めよ」という演習が含まれている。この場合、年間の利率は12/60 = 20%であり、複利なしなので倍加時間は100/20で5年となる^[1] ^[2]。この時代には、借りた額の2倍の額を一定期間後に返済するのが一般的な商慣習であった。紀元前1900年のアッシリアの一般的な金貸しは、2ミナの重さの金を借りて5年後に4ミナを返すというものだった^[1]し、この時代のエジプトの諺に「富が利子のあるところに置かれれば、それは倍になって戻ってくる」というものがある^[1]^[3]。

説明

単に成長率のパーセンテージを見るよりも、倍加時間を見る方が、長期的な成長の影響をより直感的に理解することができる。

単位時間あたりの成長率がr%の固定値であるとき、倍加時間T_dは以下の式で求められる。

T_{d}={\frac {\log(2)}{\log(1+{\frac {r}{100}})}}

≈

{\frac {70}{r}}

ある時間の対象物の数は以下の式で求められる。

単純な倍加時間の式:

N(t)=C2^{t/d}

N(t) = 時間tにおける対象物の数
d = 倍加時間（対象物の数が倍になるのにかかる時間）
c = 対象物の当初の数
t = 時間

成長率をr%としたときの倍加時間T_d

r%	T_d
0.1	693.49
0.2	346.92
0.3	231.40
0.4	173.63
0.5	138.98
0.6	115.87
0.7	99.36
0.8	86.99
0.9	77.36
1.0	69.66

r%	T_d
1.1	63.36
1.2	58.11
1.3	53.66
1.4	49.86
1.5	46.56
1.6	43.67
1.7	41.12
1.8	38.85
1.9	36.83
2.0	35.00

r%	T_d
2.1	33.35
2.2	31.85
2.3	30.48
2.4	29.23
2.5	28.07
2.6	27.00
2.7	26.02
2.8	25.10
2.9	24.25
3.0	23.45

r%	T_d
3.1	22.70
3.2	22.01
3.3	21.35
3.4	20.73
3.5	20.15
3.6	19.60
3.7	19.08
3.8	18.59
3.9	18.12
4.0	17.67

r%	T_d
4.1	17.25
4.2	16.85
4.3	16.46
4.4	16.10
4.5	15.75
4.6	15.41
4.7	15.09
4.8	14.78
4.9	14.49
5.0	14.21

r%	T_d
5.5	12.95
6.0	11.90
6.5	11.01
7.0	10.24
7.5	9.58
8.0	9.01
8.5	8.50
9.0	8.04
9.5	7.64
10.0	7.27

r%	T_d
11.0	6.64
12.0	6.12
13.0	5.67
14.0	5.29
15.0	4.96
16.0	4.67
17.0	4.41
18.0	4.19
19.0	3.98
20.0	3.80

上の表から、例えば、年間成長率が4.8%の場合の倍加時間は14.78年となり、倍加時間を10年とするためには年間成長率を7.0%と7.5%の間（実際には7.18%）にすれば良いことがわかる。

資源の消費が一定の割合で増加する場合に適用すると、1倍加時間に消費された総量は、それまでの期間で消費された総量に等しい。ジミー・カーター米大統領は1977年の演説で、「過去の2つの十年紀のそれぞれで、世界の石油消費量は、それ以前の有史以来の石油消費量を上回っている。1950年から1970年にかけて世界の石油消費量がほぼ指数関数的に増加し、倍加時間が10年以下となったためである。」と述べた。

時間t₁における量がq₁、時間t₂における量がq₂であるとき、この間の成長率が一定であったと仮定すると、倍加時間は以下のように求められる。

T_{d}=(t_{2}-t_{1})\cdot {\frac {\log(2)}{\log({\frac {q_{2}}{q_{1}}})}}

細胞培養の倍加時間

細胞培養の倍加時間 $t d$ は、比増殖速度（1単位時間の倍加量） $μ$ を用いて以下のように求められる。

比増殖速度:

\mu ={\frac {\ln N(t)-\ln N(0)}{t}}

$μ$ = 比増殖速度
$t$ = 時間（通常は時間単位）
$N (t)$ = 時間 $t$ における細胞の数（微分方程式 $\textstyle {\frac {dN}{dt}}=\mu N$ に従う）

（ただし、実験的には2点のデータ $N (0), N (t)$ から比増殖速度 $μ$ を推定すると誤差の影響を大きく受けるので、複数のデータから対数 $ln N (t)$ をとり、傾き $μ$ を最小二乗法によって推定する^[4]。）

倍加時間:

t_{\mathrm {d} }={\frac {\ln 2}{\mu }}

以下は細胞の倍加時間の例である。

細胞の種類	採取元	倍加時間
間葉系幹細胞	マウス	21-23 時間^[5]
心臓幹細胞	ヒト	29 ± 10 時間^[6]

出典

^ ^a ^b ^c Why the “Miracle of Compound Interest” leads to Financial Crises, by Michael Hudson
^ Have we caught your interest? by John H. Webb
^ Miriam Lichtheim, Ancient Egyptian Literature, II:135.
^ 小西正朗; 堀内淳一 (2015), “細胞の増殖を捉える：計測法から比速度算出まで（続・生物工学基礎講座―バイオよもやま話―）”, 生物工学会誌 93 (3): 149–152, ISSN 0919-3758
^ “Life Technologies”. 2016年11月21日閲覧。
^ Human cardiac stem cells.

外部リンク

[hudson-1] Why the “Miracle of Compound Interest” leads to Financial Crises, by Michael Hudson

[2] Have we caught your interest? by John H. Webb

[3] Miriam Lichtheim, Ancient Egyptian Literature, II:135.

[4] 小西正朗; 堀内淳一 (2015), “細胞の増殖を捉える：計測法から比速度算出まで（続・生物工学基礎講座―バイオよもやま話―）”, 生物工学会誌 93 (3): 149–152, ISSN 0919-3758

[5] “Life Technologies”. 2016年11月21日閲覧。

[6] Human cardiac stem cells.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

倍加時間

目次

歴史

説明

関連する概念

細胞培養の倍加時間

関連項目

出典

外部リンク