グリーンの定理

グリーンの定理（グリーンのていり、英: Green's theorem）は、ベクトル解析の定理である^[1]^[2] 。イギリスの物理学者ジョージ・グリーンが導出した。２つの異なる定理がそれぞれグリーンの定理と呼ばれる。詳細は以下に記す。注: グリーンの恒等式もグリーンの定理と呼ばれることがある。

グリーンの定理（2次元）

2重積分と線積分との関係を表す数学公式である。これを3次元に拡張したものがストークスの定理であり、また一般化されたストークスの定理の特殊な場合（2次元空間内の1次微分形式と2次微分形式の関係式）とも考えられる。

公式

閉曲線 C で囲まれた領域 D を考える場合、C¹ 級関数 P(x, y), Q(x, y) について、以下が成り立つ。

$\oint _{C}(P\mathrm {d} x+Q\mathrm {d} y)=\iint _{D}\left({\frac {\partial Q}{\partial x}}-{\frac {\partial P}{\partial y}}\right)\mathrm {d} x\mathrm {d} y$

すなわち、P(x, y), Q(x, y)のC上の線積分が、その外微分の領域D上の重積分に一致する。

定理の成立条件

領域と境界の条件

領域D としては、境界が区分的に滑らかな単一閉曲線Cとする単連結領域のほかに、多重連結領域を考えることができる。多重連結領域の場合には、その境界が区分的に滑らかな閉曲線C₁、C₂、…、C_n で与えられるとし、C₂、…、C_n がC₁ の内部に含まれるとしたときに、C₂、…、C_n の向き付けは、正の方向に進んだときに、領域D の内部が左側に位置するようにとるものとする。すなわち、外部の境界C₁ の向き付けが反時計回りであるのに対し、内部の境界 C₂、…、C_n の向き付けは時計回りとする。

関数の連続微分可能性

定理の成立条件として、P、Q がそれぞれy、x について1回連続微分可能（C¹級）が仮定されることが多いが、実際は∂Q/∂x、∂P/∂yが存在し、その差のみが連続であれば十分であることが、1900年、エドゥアール・グルサ（英語版）によって示され^[3]、その後、サロモン・ボホナーによっても、1930年代に同様な指摘がなされている^[4]。

一般化されたストークスの定理との対応

グリーンの定理は、以下のように一般化されたストークスの定理において、R²の有界閉領域D 上で1次の微分形式ωを考えた場合に相当する。

\int _{\partial D}\omega =\int _{D}\mathrm {d} \omega

実際、1形式

\omega =P\mathrm {d} x+Q\mathrm {d} y,\,

に対して、その外微分は

\mathrm {d} \omega ={\biggl (}{\frac {\partial Q}{\partial x}}-{\frac {\partial P}{\partial y}}{\biggr )}\mathrm {d} x\wedge \mathrm {d} y

であり、グリーンの定理に対応している。

応用

面積の求積

グリーンの公式の応用の一つとして、平面内の領域 $D$ に対し、その周囲における線積分による面積の求積がある^[2]。プラニメータにも応用されている。閉曲線 $C$ で囲まれる領域 $D$ に対し、その面積は

A=\iint _{D}1\mathrm {d} x\mathrm {d} y

で与えられる。 $P (x, y)=- y /2$ 、 $Q (x, y)= x /2$ とすると、

{\frac {\partial Q}{\partial x}}-{\frac {\partial P}{\partial y}}=1

であるから、グリーンの定理より、面積 $A$ は線積分

A={\frac {1}{2}}\oint _{C}(-y\mathrm {d} x+x\mathrm {d} y)

で求まる。

$P (x, y)= -y$ 、 $Q (x, y)=0$ 、もしくは $P (x, y)=0$ 、 $Q (x, y)= x$ の組からも同様の結果を得ることができ、面積 $A$ を求める線積分の公式として、

A=\oint _{C}x\mathrm {d} y=\oint _{C}-y\mathrm {d} x

も成り立つ。

コーシーの積分定理

複素数z=x +iy の正則関数

f(z)=f(x+iy)=u(x,y)+iv(x,y)\quad u,v\in \mathbb {R}

にグリーンの定理を適用すれば、「正則関数の閉曲線上の積分がゼロになる」というコーシーの積分定理を導くことができる。実際、

\oint _{C}f(z)\,\mathrm {d} z=\oint _{C}(u\,\mathrm {d} x-v\,\mathrm {d} y)+i\oint _{C}(u\,\mathrm {d} y+v\,\mathrm {d} x)

に対して、グリーンの定理より、

\oint _{C}(u\,\mathrm {d} x-v\,\mathrm {d} y)=\iint _{D}{\biggl (}-{\frac {\partial v}{\partial x}}-{\frac {\partial u}{\partial y}}{\biggr )}\,\mathrm {d} x\mathrm {d} y,\quad \oint _{C}(u\,\mathrm {d} y+v\,\mathrm {d} x)=\iint _{D}{\biggl (}{\frac {\partial u}{\partial x}}-{\frac {\partial v}{\partial y}}{\biggr )}\,\mathrm {d} x\mathrm {d} y

であるが、被積分関数はコーシー・リーマンの関係式より、0に等しく、

\oint _{C}f(z)\,\mathrm {d} z=0

を得る。