En géométrie euclidienne , c'est-à-dire dans le plan et l'espace muni d'une distance et d'un produit scalaire , les droites et les plans possèdent des propriétés métriques permettant de les caractériser grâce à un point et un vecteur , dit normal . On peut aussi calculer la distance qui les sépare d'un point donné ou bien calculer celle qui sépare deux droites ou deux plans. On peut aussi calculer l'angle formé par deux droites ou deux plans.
Dans cet article, on a muni le plan ou l'espace d'un repère orthonormal dans lequel sont exprimées toutes les coordonnées. Toute droite du plan y possède une équation du type ux + vy + h = 0(u , v ) est différent de (0 , 0) et tout plan de l'espace possède une équation de la forme ux + vy + wz + h = 0(u , v , w ) est différent de (0, 0, 0).
La droite dans le plan euclidien
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Si la droite (D ) d'équation ux + vy + h = 0y , donc si v n'est pas nul, alors elle possède une équation sous la forme
y
=
a
x
+
b
{\displaystyle y=ax+b}
avec
a
=
−
u
v
,
b
=
−
h
v
{\displaystyle a=-{\frac {u}{v}},\,b=-{\frac {h}{v}}}
La pente (ou coefficient directeur ) d'une droite est le réel a .
Si l'on appelle α l'angle entre l'axe des abscisses x et la droite (D ), α peut se déduire par :
a
=
tan
(
α
)
⇔
α
=
arctan
(
a
)
.
{\displaystyle a=\tan(\alpha )\Leftrightarrow \alpha =\arctan(a).}
Le vecteur
d
→
(
−
v
,
u
)
{\displaystyle {\vec {d}}(-v,u)}
vecteur directeur de (D ), Le vecteur
d
→
′
(
1
,
a
)
{\displaystyle {\vec {d}}'(1,a)}
Soit
M
(
x
,
y
)
{\displaystyle M(x,y)}
D ) dont une équation dans un repère orthonormal est donnée par :
(
1
)
u
x
+
v
y
+
h
=
0
{\displaystyle (1)\qquad ux+vy+h=0}
et
M
0
(
x
0
,
y
0
)
{\displaystyle M_{0}(x_{0},y_{0})}
D ), on a :
(
2
)
u
x
0
+
v
y
0
+
h
=
0
{\displaystyle (2)\qquad ux_{0}+vy_{0}+h=0}
En retranchant (2) à (1) on obtient :
u
(
x
−
x
0
)
+
v
(
y
−
y
0
)
=
0
{\displaystyle u(x-x_{0})+v(y-y_{0})=0}
En notant
N
→
{\displaystyle {\vec {\mathrm {N} }}}
(u , v ) , on exprime (1) comme suit :
N
→
⋅
M
0
M
→
=
0
{\displaystyle {\vec {\mathrm {N} }}\cdot {\overrightarrow {M_{0}M}}=0}
La droite d'équation ux + vy + h = 0
N
→
{\displaystyle {\vec {\mathrm {N} }}}
N
→
{\displaystyle {\vec {\mathrm {N} }}}
vecteur normal à la droite (D ).
Si la droite (D ) n'est pas parallèle à l'axe y , elle peut être donnée par une équation de type :
y
=
a
x
+
b
{\displaystyle y=ax+b}
Le vecteur
N
→
(
−
a
,
1
)
{\displaystyle {\vec {\mathrm {N} }}(-a,1)}
D ).
modifier
Soit un point
M
(
x
,
y
)
{\displaystyle M(x,y)}
N
→
(
u
,
v
)
{\displaystyle {\vec {\mathrm {N} }}(u,v)}
M appartient à la droite (D ), passant par
M
0
(
x
0
,
y
0
)
{\displaystyle M_{0}(x_{0},y_{0})}
N
→
{\displaystyle {\vec {\mathrm {N} }}}
N
→
⋅
M
0
M
→
=
0
{\displaystyle {\vec {\mathrm {N} }}\cdot {\overrightarrow {M_{0}M}}=0}
La droite D , passant par
M
0
(
x
0
,
y
0
)
{\displaystyle M_{0}(x_{0},y_{0})}
N
→
{\displaystyle {\vec {\mathrm {N} }}}
u
(
x
−
x
0
)
+
v
(
y
−
y
0
)
=
0
{\displaystyle u(x-x_{0})+v(y-y_{0})=0\,}
modifier
Soit H le point projeté de
M
(
x
,
y
)
{\displaystyle M(x,y)}
D , qui est donc tel que
H
M
→
{\displaystyle {\overrightarrow {HM}}}
D ).
La droite perpendiculaire à D et passant par M étant orientée suivant la direction du vecteur
N
→
(
u
,
v
)
{\displaystyle {\vec {\mathrm {N} }}(u,v)}
M et (D ) est donnée par :
d
a
(
H
,
M
)
=
u
x
+
v
y
+
h
u
2
+
v
2
{\displaystyle d_{\mathrm {a} }(H,M)={\frac {ux+vy+h}{\sqrt {u^{2}+v^{2}}}}}
En valeur absolue :
‖
H
M
→
‖
=
|
u
x
+
v
y
+
h
|
u
2
+
v
2
{\displaystyle \|{\overrightarrow {HM}}\|={\frac {|ux+vy+h|}{\sqrt {u^{2}+v^{2}}}}}
Dans le repère
(
O
,
i
→
,
j
→
)
{\displaystyle (\mathrm {O} ,{\vec {i}},{\vec {j}})}
N
→
(
cos
φ
,
sin
φ
)
{\displaystyle {\vec {\mathrm {N} }}(\cos \varphi ,\sin \varphi )}
vecteur unitaire normal à la droite (D ), orienté de O vers (D ), la valeur φ représente alors l'angle
(
i
→
,
N
→
)
{\displaystyle ({\vec {i}},{\vec {\mathrm {N} }})}
p
{\displaystyle p}
O du repère et la droite D.
L'équation (1) s'écrit :
x
cos
φ
+
y
sin
φ
−
p
=
0
{\displaystyle x\cos \varphi +y\sin \varphi -p=0}
Soit D et D' deux droites d'équations
(
D
)
:
u
x
+
v
y
+
h
=
0
{\displaystyle (D):ux+vy+h=0\,}
(
D
′
)
:
u
′
x
+
v
′
y
+
h
′
=
0
{\displaystyle (D'):u'x+v'y+h'=0\,}
L'angle formé par les deux droites est connu par sa tangente :
tan
(
D
,
D
′
)
=
tan
(
N
→
,
N
′
→
)
=
u
v
′
−
u
′
v
u
u
′
+
v
v
′
{\displaystyle \tan(D,D')=\tan({\vec {\mathrm {N} }},{\vec {\mathrm {N} '}})={\frac {uv'-u'v}{uu'+vv'}}}
Soit les droites (D 1 ) et (D 2 ) d'équations cartésiennes respectives :
u
1
x
+
v
1
y
+
h
1
=
0
,
u
2
x
+
v
2
y
+
h
2
=
0
{\displaystyle u_{1}x+v_{1}y+h_{1}=0,\quad u_{2}x+v_{2}y+h_{2}=0\,}
alors :
si
u
2
u
1
=
v
2
v
1
=
h
2
h
1
{\displaystyle {\frac {u_{2}}{u_{1}}}={\frac {v_{2}}{v_{1}}}={\frac {h_{2}}{h_{1}}}}
si
u
2
u
1
=
v
2
v
1
≠
h
2
h
1
{\displaystyle {\frac {u_{2}}{u_{1}}}={\frac {v_{2}}{v_{1}}}\neq {\frac {h_{2}}{h_{1}}}}
si
u
2
u
1
≠
v
2
v
1
{\displaystyle {\frac {u_{2}}{u_{1}}}\neq {\frac {v_{2}}{v_{1}}}}
modifier
Le faisceau est l'ensemble des droites d'équation :
α
D
1
+
β
D
2
=
0
{\displaystyle \alpha D_{1}+\beta D_{2}=0}
En posant
λ
=
β
α
{\displaystyle \lambda ={\frac {\beta }{\alpha }}}
D
1
+
λ
D
2
=
0
{\displaystyle D_{1}+\lambda D_{2}=0}
On a alors trois cas :
si D 1 et D 2 se coupent en un point unique A, le faisceau
D
1
+
λ
D
2
=
0
{\displaystyle D_{1}+\lambda D_{2}=0}
A .
si D 1 et D 2 sont strictement parallèles, le faisceau
D
1
+
λ
D
2
=
0
{\displaystyle D_{1}+\lambda D_{2}=0}
D 1 .
modifier
Les droites d'équations :
D
1
:
u
1
x
+
v
1
y
+
h
1
=
0
{\displaystyle \mathrm {D} _{1}:u_{1}x+v_{1}y+h_{1}=0\,}
D
2
:
u
2
x
+
v
2
y
+
h
2
=
0
{\displaystyle \mathrm {D} _{2}:u_{2}x+v_{2}y+h_{2}=0\,}
D
3
:
u
3
x
+
v
3
y
+
h
3
=
0
{\displaystyle \mathrm {D} _{3}:u_{3}x+v_{3}y+h_{3}=0\,}
sont concourantes ou parallèles si :
|
u
1
v
1
h
1
u
2
v
2
h
2
u
3
v
3
h
3
|
=
0
{\displaystyle {\begin{vmatrix}u_{1}&v_{1}&h_{1}\\u_{2}&v_{2}&h_{2}\\u_{3}&v_{3}&h_{3}\end{vmatrix}}=0}
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modifier
modifier
Dans l'espace, on étudie la droite définie par l'intersection de deux plans d'équations :
(
P
1
)
:
u
1
x
+
v
1
y
+
w
1
z
+
h
1
=
0
{\displaystyle (P_{1}):u_{1}x+v_{1}y+w_{1}z+h_{1}=0\,}
(
P
2
)
:
u
2
x
+
v
2
y
+
w
2
z
+
h
2
=
0
{\displaystyle (P_{2}):u_{2}x+v_{2}y+w_{2}z+h_{2}=0\,}
Le plan (Q ) perpendiculaire à (P 1 ) appartient au faisceau de plans
P
1
+
λ
P
2
=
0
{\displaystyle P_{1}+\lambda P_{2}=0}
(Q ) sera perpendiculaire à (P 1 ) pour
λ
=
−
(
u
1
2
+
v
1
2
+
w
1
2
)
u
1
u
2
+
v
1
v
2
+
w
1
w
2
{\displaystyle \lambda ={\frac {-(u_{1}^{2}+v_{1}^{2}+w_{1}^{2})}{u_{1}u_{2}+v_{1}v_{2}+w_{1}w_{2}}}}
Soient H 1 , HQ et H les projections orthogonales du point M respectivement sur (P 1 ), (Q ) et (D ), on en déduit
M
H
2
=
M
H
1
2
+
M
H
Q
2
{\displaystyle MH^{2}=MH_{1}^{2}+MH_{Q}^{2}}
On calculera MH 1 et MHQ comme détaillé plus bas.
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La distance MH est donnée par
M
H
=
‖
M
M
0
→
∧
V
→
‖
‖
V
→
‖
{\displaystyle MH={\frac {\|{\overrightarrow {MM_{0}}}\wedge {\vec {\mathrm {V} }}\|}{\|{\vec {\mathrm {V} }}\|}}}
Le plan étant défini par l'équation ux + vy + wz + h = 0
N
→
(
u
,
v
,
w
)
{\displaystyle {\vec {\mathrm {N} }}(u,v,w)}
D passant par le point
M
0
(
x
0
,
y
0
,
z
0
)
{\displaystyle M_{0}(x_{0},y_{0},z_{0})}
(
P
)
:
u
x
+
v
y
+
w
z
+
h
=
0
{\displaystyle (P):ux+vy+wz+h=0}
x
−
x
0
u
=
y
−
y
0
v
=
z
−
z
0
w
{\displaystyle {\frac {x-x_{0}}{u}}={\frac {y-y_{0}}{v}}={\frac {z-z_{0}}{w}}}
dans le cas où aucun des réels, u , v , w , n'est nul.
Si un seul des réels est nul, par exemple u = 0, le système devient :
x
=
x
0
y
−
y
0
v
=
z
−
z
0
w
{\displaystyle x=x_{0}\qquad {\frac {y-y_{0}}{v}}={\frac {z-z_{0}}{w}}}
Si deux réels sont nuls, par exemple u =v =0, le système devient :
x
=
x
0
y
=
y
0
{\displaystyle x=x_{0}\qquad y=y_{0}}
modifier
Soient la droite (D 0 ) passant par
M
0
(
x
0
,
y
0
,
z
0
)
{\displaystyle M_{0}(x_{0},y_{0},z_{0})}
V
→
0
(
a
0
,
b
0
,
c
0
)
{\displaystyle {\vec {\mathrm {V} }}_{0}(a_{0},b_{0},c_{0})}
D 1 ) la droite passant par
M
1
(
x
1
,
y
1
,
z
1
)
{\displaystyle M_{1}(x_{1},y_{1},z_{1})}
V
→
1
(
a
1
,
b
1
,
c
1
)
{\displaystyle {\vec {\mathrm {V} }}_{1}(a_{1},b_{1},c_{1})}
Si les vecteurs
V
→
0
{\displaystyle {\vec {\mathrm {V} }}_{0}}
V
→
1
{\displaystyle {\vec {\mathrm {V} }}_{1}}
M
0
M
1
→
,
V
→
0
,
V
→
1
{\displaystyle {\overrightarrow {M_{0}M_{1}}},{\vec {\mathrm {V} }}_{0},{\vec {\mathrm {V} }}_{1}}
k |. Ce réel se calcule grâce au produit mixte :
k
=
(
M
0
M
1
→
,
V
→
0
,
V
→
1
)
{\displaystyle k=({\overrightarrow {M_{0}M_{1}}},{\vec {\mathrm {V} }}_{0},{\vec {\mathrm {V} }}_{1})}
L'aire de la base du solide est donnée par
‖
W
→
‖
{\displaystyle \|{\vec {\mathrm {W} }}\|}
W
→
=
V
→
0
∧
V
→
1
{\displaystyle {\vec {\mathrm {W} }}={\vec {\mathrm {V} }}_{0}\wedge {\vec {\mathrm {V} }}_{1}}
La distance entre les deux droites est alors égale à
d
=
|
k
|
‖
W
→
‖
{\displaystyle d={\frac {|k|}{\|{\vec {\mathrm {W} }}\|}}}
Si les vecteurs sont colinéaires alors les deux droites sont parallèles et la distance qui les sépare correspond à la distance qui sépare le point M 1 de la droite D 0 .
modifier
Soit
M
(
x
,
y
,
z
)
{\displaystyle M(x,y,z)}
P ) dont l'équation dans un repère orthonormé est donnée par :
(
1
b
i
s
)
u
x
+
v
y
+
w
z
+
h
=
0
{\displaystyle (1\mathrm {bis} )ux+vy+wz+h=0}
Pour
M
0
(
x
0
,
y
0
,
z
0
)
{\displaystyle M_{0}(x_{0},y_{0},z_{0})}
(
2
b
i
s
)
u
x
0
+
v
y
0
+
w
z
0
+
h
=
0
{\displaystyle (2\mathrm {bis} )ux_{0}+vy_{0}+wz_{0}+h=0}
En retranchant (2bis) à (1bis) on obtient :
u
(
x
−
x
0
)
+
v
(
y
−
y
0
)
+
w
(
z
−
z
0
)
=
0
{\displaystyle u(x-x_{0})+v(y-y_{0})+w(z-z_{0})=0}
En notant
N
→
{\displaystyle {\vec {\mathrm {N} }}}
u , v , w ), on exprime (1bis) comme suit :
N
→
⋅
M
0
M
→
=
0
{\displaystyle {\vec {\mathrm {N} }}\cdot {\overrightarrow {M_{0}M}}=0}
Le plan P d'équation ux + vy + wz + h = 0
N
→
(
u
,
v
,
w
)
{\displaystyle {\vec {\mathrm {N} }}(u,v,w)}
Si le coefficient w n'est pas nul, alors le plan ne contient pas de droite parallèle à l'axe z et l'équation du plan peut s'écrire :
z
=
a
x
+
b
y
+
c
{\displaystyle z=ax+by+c}
avec a = -u /w , b = -v /w et c = -h /w . Le vecteur de composantes (-a , -b , 1) est un vecteur normal au plan.
modifier
Soit un point
M
(
x
,
y
,
z
)
{\displaystyle M(x,y,z)}
N
→
(
u
,
v
,
w
)
{\displaystyle {\vec {\mathrm {N} }}(u,v,w)\,}
M
0
(
x
0
,
y
0
,
z
0
)
{\displaystyle M_{0}(x_{0},y_{0},z_{0})}
N
→
{\displaystyle {\vec {\mathrm {N} }}}
N
→
⋅
M
0
M
→
=
0
{\displaystyle {\vec {\mathrm {N} }}\cdot {\overrightarrow {M_{0}M}}=0}
Le plan P, passant par
M
0
(
x
0
,
y
0
,
z
0
)
{\displaystyle M_{0}(x_{0},y_{0},z_{0})}
N
→
{\displaystyle {\vec {\mathrm {N} }}}
u
(
x
−
x
0
)
+
v
(
y
−
y
0
)
+
w
(
z
−
z
0
)
=
0
{\displaystyle u(x-x_{0})+v(y-y_{0})+w(z-z_{0})=0\,}
modifier
Soit H le projeté de
M
(
x
,
y
,
z
)
{\displaystyle M(x,y,z)}
P ) avec
H
M
→
{\displaystyle {\overrightarrow {HM}}}
P ).
La droite perpendiculaire à (P ) et passant par M étant orientée suivant la direction du vecteur
N
→
(
u
,
v
,
w
)
{\displaystyle {\vec {\mathrm {N} }}(u,v,w)}
M et (P ) est donnée par :
d
a
(
H
,
M
)
=
u
x
+
v
y
+
w
z
+
h
u
2
+
v
2
+
w
2
{\displaystyle d_{\mathrm {a} }(H,M)={\frac {ux+vy+wz+h}{\sqrt {u^{2}+v^{2}+w^{2}}}}}
En valeur absolue :
‖
H
M
→
‖
=
|
u
x
+
v
y
+
w
z
+
h
|
u
2
+
v
2
+
w
2
{\displaystyle \|{\overrightarrow {HM}}\|={\frac {|ux+vy+wz+h|}{\sqrt {u^{2}+v^{2}+w^{2}}}}}
Soient (P ) et (P' ) deux plans d'équations
(
P
)
:
u
x
+
v
y
+
w
z
+
h
=
0
{\displaystyle (P):ux+vy+wz+h=0\,}
(
P
′
)
:
u
′
x
+
v
′
y
+
w
′
z
+
h
′
=
0.
{\displaystyle (P'):u'x+v'y+w'z+h'=0.}
L'angle géométrique (P , P' ) est déterminé à l'aide de l'angle des vecteurs normaux
(
N
→
,
N
→
′
)
{\displaystyle ({\vec {\mathrm {N} }},{\vec {\mathrm {N} }}')}
cos
(
P
,
P
′
)
=
|
cos
(
N
→
,
N
→
′
)
|
=
|
N
→
⋅
N
→
′
|
‖
N
→
‖
‖
N
→
′
‖
=
|
u
u
′
+
v
v
′
+
w
w
′
|
u
2
+
v
2
+
w
2
×
u
′
2
+
v
′
2
+
w
′
2
{\displaystyle \cos(P,P')=|\cos({\vec {\mathrm {N} }},{\vec {\mathrm {N} }}')|={\frac {|{\vec {\mathrm {N} }}\cdot {\vec {\mathrm {N} }}'|}{\|{\vec {\mathrm {N} }}\|\|{\vec {\mathrm {N} }}'\|}}={\frac {|uu'+vv'+ww'|}{{\sqrt {u^{2}+v^{2}+w^{2}}}\times {\sqrt {u'^{2}+v'^{2}+w'^{2}}}}}}
sin
(
P
,
P
′
)
=
|
sin
(
N
→
,
N
→
′
)
|
=
‖
N
→
∧
N
→
′
‖
‖
N
→
‖
‖
N
→
′
‖
=
(
v
w
′
−
v
′
w
)
2
+
(
w
u
′
−
u
w
′
)
2
+
(
u
v
′
−
v
u
′
)
2
u
2
+
v
2
+
w
2
×
u
′
2
+
v
′
2
+
w
′
2
{\displaystyle \sin(P,P')=|\sin({\vec {\mathrm {N} }},{\vec {\mathrm {N} }}')|={\frac {\|{\vec {\mathrm {N} }}\wedge {\vec {\mathrm {N} }}'\|}{\|{\vec {\mathrm {N} }}\|\|{\vec {\mathrm {N} }}'\|}}={\frac {\sqrt {(vw'-v'w)^{2}+(wu'-uw')^{2}+(uv'-vu')^{2}}}{{\sqrt {u^{2}+v^{2}+w^{2}}}\times {\sqrt {u'^{2}+v'^{2}+w'^{2}}}}}}
Du point de vue de l'application numérique , la forme avec le cosinus est plus précise lorsque l'angle est proche de π/2 + k π , et la forme avec le sinus est plus précise lorsque l'angle est proche de 0 + k π .
Cas particulier : angle de plus grande pente
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L'angle de plus grande pente est l'angle le plus grand formé entre un plan quelconque et le plan horizontal. De façon imagée on peut définir l'angle de plus grande pente comme l'angle formé entre la trajectoire (rectiligne ) d'une bille circulant librement sur ce plan quelconque et le plan horizontal.
Étant donné l'équation d'un plan horizontal :
(
P
′
)
:
u
′
x
+
v
′
y
+
h
′
=
0
{\displaystyle (P'):u'x+v'y+h'=0\,}
L'angle de plus grande pente est donné par :
cos
(
P
,
P
′
)
=
|
cos
(
N
→
,
N
→
′
)
|
=
|
u
u
′
+
v
v
′
|
u
2
+
v
2
+
w
2
×
u
′
2
+
v
′
2
{\displaystyle \cos(P,P')=|\cos({\vec {\mathrm {N} }},{\vec {\mathrm {N} }}')|={\frac {|uu'+vv'|}{{\sqrt {u^{2}+v^{2}+w^{2}}}\times {\sqrt {u'^{2}+v'^{2}}}}}}
Les plans (P ) et (P' ) sont perpendiculaires si les vecteurs normaux
N
→
{\displaystyle {\vec {\mathrm {N} }}}
N
→
′
{\displaystyle {\vec {\mathrm {N} }}'}
u
u
′
+
v
v
′
+
w
w
′
=
0.
{\displaystyle uu'+vv'+ww'=0.}
Soit les plans (P 1 ) et (P 2 ) d'équations cartésiennes respectives :
u
1
x
+
v
1
y
+
w
1
z
+
h
1
=
0
{\displaystyle u_{1}x+v_{1}y+w_{1}z+h_{1}=0\,}
u
2
x
+
v
2
y
+
w
2
z
+
h
2
=
0
{\displaystyle u_{2}x+v_{2}y+w_{2}z+h_{2}=0\,}
Alors :
si
u
2
u
1
=
v
2
v
1
=
w
2
w
1
=
h
2
h
1
{\displaystyle {\frac {u_{2}}{u_{1}}}={\frac {v_{2}}{v_{1}}}={\frac {w_{2}}{w_{1}}}={\frac {h_{2}}{h_{1}}}}
si
u
2
u
1
=
v
2
v
1
=
w
2
w
1
≠
h
2
h
1
{\displaystyle {\frac {u_{2}}{u_{1}}}={\frac {v_{2}}{v_{1}}}={\frac {w_{2}}{w_{1}}}\neq {\frac {h_{2}}{h_{1}}}}
En dehors des cas précédents, les deux plans sont sécants. Leur droite commune a pour équation les équations des deux plans.
Le faisceau de plans défini par les plans P 1 et P 2 est l'ensemble des plans solution de l'équation :
α
P
1
+
β
P
2
=
0
{\displaystyle \alpha P_{1}+\beta P_{2}=0}
En posant
λ
=
β
α
{\displaystyle \lambda ={\frac {\beta }{\alpha }}}
P
1
+
λ
P
2
=
0
{\displaystyle P_{1}+\lambda P_{2}=0}
P 2 = 0 alors λ correspond à l'infini).si (P 1 ) et (P 2 ) se coupent en une droite (D , le faisceau
P
1
+
λ
P
2
=
0
{\displaystyle P_{1}+\lambda P_{2}=0}
D ).
si (P 1 ) et (P 2 ) sont strictement parallèles, le faisceau
P
1
+
λ
P
2
=
0
{\displaystyle P_{1}+\lambda P_{2}=0}
P 1 ).
modifier
Soit les plans d'équation :
(
P
1
)
:
u
1
x
+
v
1
y
+
w
1
z
+
h
1
=
0
{\displaystyle (P_{1}):u_{1}x+v_{1}y+w_{1}z+h_{1}=0}
(
P
2
)
:
u
2
x
+
v
2
y
+
w
2
z
+
h
2
=
0
{\displaystyle (P_{2}):u_{2}x+v_{2}y+w_{2}z+h_{2}=0}
(
P
3
)
:
u
3
x
+
v
3
y
+
w
3
z
+
h
3
=
0
{\displaystyle (P_{3}):u_{3}x+v_{3}y+w_{3}z+h_{3}=0}
S'il existe α , β , γ non tous nuls tels que :
α
P
1
+
β
P
2
+
γ
P
3
=
0
{\displaystyle \alpha P_{1}+\beta P_{2}+\gamma P_{3}=0}
x , y et z Cette relation exprime que (P 1 ) et (P 2 ) sont les plans de base du faisceau contenant (P 3 ).
modifier
modifier
Soient un point
M
0
(
x
0
,
y
0
,
z
0
)
{\displaystyle M_{0}(x_{0},y_{0},z_{0})}
V
→
1
{\displaystyle {\vec {\mathrm {V} }}_{1}}
V
→
2
{\displaystyle {\vec {\mathrm {V} }}_{2}}
M (x , y , z ) appartient au plan (P ) passant par
M
0
(
x
0
,
y
0
,
z
0
)
{\displaystyle M_{0}(x_{0},y_{0},z_{0})}
V
→
1
{\displaystyle {\vec {\mathrm {V} }}_{1}}
V
→
2
{\displaystyle {\vec {\mathrm {V} }}_{2}}
M
0
M
→
=
λ
V
→
1
+
μ
V
→
2
{\displaystyle {\overrightarrow {M_{0}M}}=\lambda {\vec {\mathrm {V} }}_{1}+\mu {\vec {\mathrm {V} }}_{2}}
M
0
M
→
,
V
→
1
,
V
→
2
{\displaystyle {\overrightarrow {M_{0}M}},{\vec {\mathrm {V} }}_{1},{\vec {\mathrm {V} }}_{2}}
Ce qui donne, en représentant le produit mixte de ces trois vecteurs sous la forme d'un déterminant :
det
(
M
0
M
→
,
V
→
1
(
a
1
,
b
1
,
c
1
)
,
V
→
2
(
a
2
,
b
2
,
c
2
)
)
=
0
{\displaystyle \det({\overrightarrow {M_{0}M}},{\vec {\mathrm {V} }}_{1}(a_{1},b_{1},c_{1}),{\vec {\mathrm {V} }}_{2}(a_{2},b_{2},c_{2}))=0}
Son équation est :
|
x
−
x
0
a
1
a
2
y
−
y
0
b
1
b
2
z
−
z
0
c
1
c
2
|
=
(
b
1
c
2
−
c
1
b
2
)
(
x
−
x
0
)
+
(
c
1
a
2
−
a
1
c
2
)
(
y
−
y
0
)
+
(
a
1
b
2
−
b
1
a
2
)
(
z
−
z
0
)
=
0
{\displaystyle {\begin{vmatrix}x-x_{0}&a_{1}&a_{2}\\y-y_{0}&b_{1}&b_{2}\\z-z_{0}&c_{1}&c_{2}\end{vmatrix}}=(b_{1}c_{2}-c_{1}b_{2})(x-x_{0})+(c_{1}a_{2}-a_{1}c_{2})(y-y_{0})+(a_{1}b_{2}-b_{1}a_{2})(z-z_{0})=0}
que l'on peut écrire sous la forme
u
x
+
v
y
+
w
z
+
h
=
0
{\displaystyle ux+vy+wz+h=0}
modifier
Soient deux points
M
1
(
x
1
,
y
1
,
z
1
)
,
M
2
(
x
2
,
y
2
,
z
2
)
{\displaystyle M_{1}(x_{1},y_{1},z_{1}),M_{2}(x_{2},y_{2},z_{2})}
V
→
1
(
a
,
b
,
c
)
{\displaystyle {\vec {\mathrm {V} }}_{1}(a,b,c)}
M
1
M
2
→
{\displaystyle {\overrightarrow {M_{1}M_{2}}}}
Le point M appartient au plan passant par
M
1
(
x
1
,
y
1
,
z
1
)
,
M
2
(
x
2
,
y
2
,
z
2
)
{\displaystyle M_{1}(x_{1},y_{1},z_{1}),M_{2}(x_{2},y_{2},z_{2})}
V
→
1
(
a
,
b
,
c
)
{\displaystyle {\vec {\mathrm {V} }}_{1}(a,b,c)}
M
1
M
→
,
M
1
M
2
→
,
V
→
{\displaystyle {\overrightarrow {M_{1}M}},{\overrightarrow {M_{1}M_{2}}},{\vec {\mathrm {V} }}}
det
(
M
1
M
→
,
M
1
M
2
→
,
V
→
)
=
0
{\displaystyle \det({\overrightarrow {M_{1}M}},{\overrightarrow {M_{1}M_{2}}},{\vec {\mathrm {V} }})=0}
Son équation est :
|
x
−
x
1
x
2
−
x
1
a
y
−
y
1
y
2
−
y
1
b
z
−
z
1
z
2
−
z
1
c
|
=
0
{\displaystyle {\begin{vmatrix}x-x_{1}&x_{2}-x_{1}&a\\y-y_{1}&y_{2}-y_{1}&b\\z-z_{1}&z_{2}-z_{1}&c\end{vmatrix}}=0}
modifier
Soient
M
1
(
x
1
,
y
1
,
z
1
)
,
M
2
(
x
2
,
y
2
,
z
2
)
,
M
3
(
x
3
,
y
3
,
z
3
)
{\displaystyle M_{1}(x_{1},y_{1},z_{1}),M_{2}(x_{2},y_{2},z_{2}),M_{3}(x_{3},y_{3},z_{3})}
Par analogie avec ce qui précède, l'équation du plan passant par ces trois points est :
|
x
−
x
1
x
2
−
x
1
x
3
−
x
2
y
−
y
1
y
2
−
y
1
y
3
−
y
2
z
−
z
1
z
2
−
z
1
z
3
−
z
2
|
=
0
{\displaystyle {\begin{vmatrix}x-x_{1}&x_{2}-x_{1}&x_{3}-x_{2}\\y-y_{1}&y_{2}-y_{1}&y_{3}-y_{2}\\z-z_{1}&z_{2}-z_{1}&z_{3}-z_{2}\end{vmatrix}}=0}
P.C. Aïtcin, P. Louquet et A. Vogt, Géométrie : applications de l'algèbre linéaire et de l'analyse à la géométrie , Armand Colin, coll. « Du cours aux applications » Encyclopædia Universalis Géométrie différentielle classique »François De Marçay, « Droites et plans dans l'espace département de Mathématiques d'Orsay , université Paris-Saclay Mathieu Mansuy, « Espaces affines euclidiens :paramétrage et équations dans l'espace (Master 1, Université de Champagne-Ardennes) 2013
: document utilisé comme source pour la rédaction de cet article.
