H 2
modifier
Soit f fonction holomorphe sur 𝔻, on sait que f série de Taylor en 0 sur le disque unité :
∀
z
∈
D
f
(
z
)
=
∑
n
=
0
+
∞
f
^
(
n
)
z
n
avec
f
^
(
n
)
:=
f
(
n
)
(
0
)
n
!
.
{\displaystyle \forall z\in \mathbb {D} \qquad f(z)=\sum _{n=0}^{+\infty }\,{\hat {f}}(n)\ z^{n}\qquad {\text{avec}}\qquad {\hat {f}}(n):={\frac {f^{(n)}(0)}{n!}}.}
On dit alors que f H 2
(
f
^
(
n
)
)
{\displaystyle ({\hat {f}}(n))}
ℓ2 . Autrement dit, on a :
H
2
(
D
)
=
{
f
∈
H
o
l
(
D
)
|
∑
n
=
0
+
∞
|
f
^
(
n
)
|
2
<
+
∞
}
{\displaystyle H^{2}(\mathbb {D} )=\left\lbrace f\in Hol(\mathbb {D} )~\left|~\sum _{n=0}^{+\infty }\,|{\hat {f}}(n)|^{2}<+\infty \right.\right\rbrace }
On définit alors la norme de f
‖
f
‖
2
:=
(
∑
n
=
0
+
∞
|
f
^
(
n
)
|
2
)
1
2
.
{\displaystyle \|f\|_{2}:=\left(\sum _{n=0}^{+\infty }|{\hat {f}}(n)|^{2}\right)^{\frac {1}{2}}.}
La fonction
z
↦
log
(
1
−
z
)
=
−
∑
n
=
1
∞
z
n
n
{\displaystyle z\mapsto \log(1-z)=-\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {z^{n}}{n}}}
H 2
∑
n
≥
1
1
n
2
{\displaystyle \sum _{n\geq 1}{\frac {1}{n^{2}}}}
série de Riemann convergente ).
Une autre expression de la norme
modifier
Pour f 0 ≤ r <1 , on définit :
M
2
(
f
,
r
)
:=
(
1
2
π
∫
−
π
π
|
f
(
r
e
i
t
)
|
2
d
t
)
1
2
.
{\displaystyle M_{2}(f,r):=\left({\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }\vert f(r\mathrm {e} ^{\mathrm {i} t})\vert ^{2}~\mathrm {d} t\right)^{\frac {1}{2}}.}
la fonction r ↦ M 2 (f , r )[0, 1[ .
f ∈ H 2
lim
r
→
1
−
M
2
(
f
,
r
)
<
+
∞
{\displaystyle \lim _{r\to 1^{-}}M_{2}(f,r)<+\infty }
‖
f
‖
2
2
=
lim
r
→
1
−
1
2
π
∫
−
π
π
|
f
(
r
e
i
t
)
|
2
d
t
=
sup
0
≤
r
<
1
1
2
π
∫
−
π
π
|
f
(
r
e
i
t
)
|
2
d
t
.
{\displaystyle \|f\|_{2}^{2}=\lim _{r\to 1^{-}}{{\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }\vert f(r\mathrm {e} ^{\mathrm {i} t})\vert ^{2}~\mathrm {d} t}=\sup _{0\leq r<1}{\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }\vert f(r\mathrm {e} ^{\mathrm {i} t})\vert ^{2}~\mathrm {d} t.}
Démonstration
Posons
z
=
r
e
i
t
{\displaystyle z=r\mathrm {e} ^{\mathrm {i} t}}
r
∈
[
0
,
1
[
{\displaystyle r\in [0,1[}
t
∈
[
−
π
,
π
]
{\displaystyle t\in [-\pi ,\pi ]}
f
(
z
)
=
∑
n
=
0
+
∞
f
^
(
n
)
z
n
donc
f
(
r
e
i
t
)
=
∑
n
=
0
+
∞
f
^
(
n
)
r
n
e
i
n
t
{\displaystyle f(z)=\sum _{n=0}^{+\infty }{\hat {f}}(n)z^{n}{\hbox{ donc }}f(r\mathrm {e} ^{\mathrm {i} t})=\sum _{n=0}^{+\infty }{\hat {f}}(n)r^{n}\mathrm {e} ^{\mathrm {i} nt}}
formule de Parseval , on a :
M
2
(
f
,
r
)
2
=
∑
n
=
0
+
∞
|
f
^
(
n
)
|
2
r
2
n
{\displaystyle M_{2}(f,r)^{2}=\sum _{n=0}^{+\infty }\vert {\hat {f}}(n)\vert ^{2}r^{2n}}
Si f ∈ H 2
M
2
(
f
,
.
)
{\displaystyle M_{2}(f,.)}
lim
r
→
1
−
M
2
(
f
,
r
)
{\displaystyle \displaystyle {\lim _{r\rightarrow 1-}M_{2}(f,r)}}
théorème de convergence monotone cette limite est égale à
‖
f
‖
2
{\displaystyle \|f\|_{2}}
lim
r
→
1
−
M
2
(
f
,
r
)
=
M
<
+
∞
{\displaystyle \displaystyle {\lim _{r\rightarrow 1-}M_{2}(f,r)=M<+\infty }}
N
≥
0
{\displaystyle N\geq 0}
M
2
(
f
,
r
)
{\displaystyle M_{2}(f,r)}
∑
n
=
0
N
|
f
^
(
n
)
|
2
r
2
n
≤
∑
n
=
0
+
∞
|
f
^
(
n
)
|
2
r
2
n
≤
M
2
{\displaystyle \sum _{n=0}^{N}\vert {\hat {f}}(n)\vert ^{2}r^{2n}\leq \sum _{n=0}^{+\infty }\vert {\hat {f}}(n)\vert ^{2}r^{2n}\leq M^{2}}
r
{\displaystyle r}
1
−
{\displaystyle 1^{-}}
N
{\displaystyle N}
+
∞
{\displaystyle +\infty }
H 2
modifier
Pour tout f ∈ H 2 z
|
f
(
z
)
|
≤
‖
f
‖
2
1
−
|
z
|
2
.
{\displaystyle \vert f(z)\vert \leq {\frac {\|f\|_{2}}{\sqrt {1-\vert z\vert ^{2}}}}.}
Démonstration
On applique l'inégalité de Cauchy-Schwarz au développement en série de Taylor de f z
|
f
(
z
)
|
≤
∑
n
=
0
+
∞
|
f
^
(
n
)
|
|
z
|
n
≤
‖
f
‖
2
(
∑
n
=
0
+
∞
|
z
|
2
n
)
1
2
=
‖
f
‖
2
1
−
|
z
|
2
{\displaystyle \vert f(z)\vert \leq \sum _{n=0}^{+\infty }\vert {\hat {f}}(n)\vert \vert z\vert ^{n}\leq \|f\|_{2}\,{(\sum _{n=0}^{+\infty }\vert z\vert ^{2n})}^{\frac {1}{2}}={\frac {\|f\|_{2}}{\sqrt {1-\vert z\vert ^{2}}}}}
.
Cela signifie que l'application linéaire d'évaluation f ↦ f (z )H 2 z
1
1
−
|
z
|
2
.
{\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {1-\vert z\vert ^{2}}}}.}
En fait, on peut montrer que la norme est exactement égale à cette constante.
Les deux prochaines propriétés sont alors des conséquences directes de cette dernière.
Soit (fn ) une suite d'éléments de H 2 f (fn ) converge uniformément sur tout compact de 𝔻 vers f
Soit (fn ) une suite d'éléments de H 2 sous-suite qui converge uniformément sur tout compact de 𝔻.
Pour 0 < p < + ∞ , on définit l'espace de Hardy Hp f
sup
0
<
r
<
1
(
∫
0
2
π
|
f
(
r
e
i
t
)
|
p
d
t
2
π
)
<
+
∞
.
{\displaystyle \sup _{0<r<1}\left(\int _{0}^{2\pi }|f(r\mathrm {e} ^{\mathrm {i} t})|^{p}~{\frac {\mathrm {d} t}{2\pi }}\right)<+\infty .}
On définit alors :
‖
f
‖
p
=
sup
0
<
r
<
1
(
∫
0
2
π
|
f
(
r
e
i
t
)
|
p
d
t
2
π
)
1
p
.
{\displaystyle \|f\|_{p}=\sup _{0<r<1}\left(\int _{0}^{2\pi }|f(r\mathrm {e} ^{\mathrm {i} t})|^{p}~{\frac {\mathrm {d} t}{2\pi }}\right)^{\frac {1}{p}}.}
Pour p ≥ 1Hp espace de Banach .
Soit f ∈ Hp p ≥ 1presque tout t mesure de Lebesgue ) :
f
∗
(
e
i
t
)
:=
lim
r
→
1
−
f
(
r
e
i
t
)
{\displaystyle f^{*}(\mathrm {e} ^{\mathrm {i} t}):=\lim _{r\to 1^{-}}f(r\mathrm {e} ^{\mathrm {i} t})}
f ↦ f *Hp
H
∗
p
{\displaystyle H_{*}^{p}}
L
p
(
[
0
,
2
π
]
,
d
t
2
π
)
{\displaystyle L^{p}\left([0,2\pi ],{\frac {\mathrm {d} t}{2\pi }}\right)}
H
∗
p
=
{
f
∈
L
p
(
[
0
,
2
π
]
,
d
t
2
π
)
|
∀
n
≤
−
1
,
f
^
(
n
)
=
0
}
.
{\displaystyle H_{*}^{p}=\left\{\left.f\in L^{p}\left([0,2\pi ],{\frac {\mathrm {d} t}{2\pi }}\right)~\right|~\forall n\leq -1,~{\hat {f}}(n)=0\right\}.}
On a une autre caractérisation de la norme grâce aux propriétés des fonctions sous-harmoniques : Pour toute f ∈ Hp
‖
f
‖
p
=
lim
r
→
1
−
(
∫
0
2
π
|
f
(
r
e
i
t
)
|
p
d
t
2
π
)
1
p
.
{\displaystyle \|f\|_{p}=\lim _{r\to 1^{-}}\left(\int _{0}^{2\pi }|f(r\mathrm {e} ^{\mathrm {i} t})|^{p}{\frac {\mathrm {d} t}{2\pi }}\right)^{\frac {1}{p}}.}
![{\displaystyle t\in [-\pi ,\pi ]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/629229eff3413ece582791ee3787241084176903)
![{\displaystyle L^{p}\left([0,2\pi ],{\frac {\mathrm {d} t}{2\pi }}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fadf9806597bb25659ea04190dea6910fabc4244)
![{\displaystyle H_{*}^{p}=\left\{\left.f\in L^{p}\left([0,2\pi ],{\frac {\mathrm {d} t}{2\pi }}\right)~\right|~\forall n\leq -1,~{\hat {f}}(n)=0\right\}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/deef6e1670de23fce776b46744135335644f6057)
