\documentclass[leqno]{article} \pagestyle{empty} \frenchspacing \begin{document} \begin{center} {\it Propositions et questions diverses} ; par M. E. C{\sc atalan}.\\ \ \\ {\small (S\'eance du 18 avril 1888.)} \end{center} \begin{enumerate} \item {\em Sur les fonctions} $X_n$. --- Dans mon premier M\'emoire sur cette th\'eorie, j'ai d\'emontr\'e la formule \begin{equation} X_n=\hbox{partie r\'eelle de\ } \frac{2^{n+1}}{\pi} \int_0^{\frac{\pi}{2}} \cos^n \varphi (x\cos \varphi + \sqrt{-1} \sin \varphi)^n d\varphi. \end{equation} Tout r\'ecemment, je me suis aper\c cu qu'on peut la remplacer par celle-ci~: \begin{equation} X_n=\frac{2^n}{\pi} \int_0^\pi \sin^n\varphi (x\sin\varphi + \sqrt{-1}\cos \varphi)^n d\varphi, \end{equation} laquelle n'est soumise \`a aucune restriction. Cette formule (2), beaucoup plus simple que la c\'el\`ebre formule de Jacobi \begin{equation} X_n=\frac{1}{\pi}\int_0^\pi (x-\sqrt{x^2-1}\sin\omega)^nd\omega, \end{equation} est-elle {\em nouvelle?} Je m'adresse pour le savoir \`a mes confr\`eres de la {\em Soci\'et\'e math\'ematique.} \item De la formule (2), on d\'eduit, presque sans calcul, divers r\'esultats, plus ou moins importants, que l'on trouvera dans mon {\em sixi\`eme} (et dernier) {\em M\'emoire sur les fonctions $X_n$}, imprim\'e parmi ceux de l'Acad\'emie de Belgique. \item {\em Quelques th\'eor\`emes empiriques.} --- Le journal {\em Mathesis} a publi\'e, en d\'ecembre dernier, une Question propos\'ee par M. {\em Oltramare}. Cette question m'a fait songer au {\em th\'eor\`eme empirique} suivant~: {\em n \'etant un nombre entier, soit $n_1$ la somme des diviseurs de $n$, inf\'erieurs \`a $n$, soit $n_2$ la somme des diviseurs de $n_1$, inf\'erieurs \`a $n_1$; etc. Cela pos\'e~: les nombres $n$, $n_1$, $n_2$, {\dots} tendent vers une limite $\lambda$, laquelle est 1 ou un nombre parfait.} Si cette proposition (v\'erifi\'ee sur divers exemples) est vraie, elle doit \^etre fort difficile \`a d\'emontrer. Dans la {\em Nouvelle Correspondance math\'ematique}, j'ai \'enonc\'e divers th\'eor\`emes empiriques; celui-ci, par exemple~: \def\thefootnote{} {\em n \'etant un nombre entier, la quantit\'e $$6n^2+6n-3$$ est la somme de trois carr\'es, entiers et positifs} (${}^1$)\footnote{ $(^{1})$ Dans le M\'emoire intitul\'e~: {\em Recherche sur quelques produits ind\'efinis}, j'ai donn\'e, au moyen des s\'eries elliptiques, ce th\'eor\`eme remarquable~: {\em Tout multiple de 8 est la somme de huit carr\'es impairs.} Il serait int\'eressant, me semble-t-il, d'en trouver une d\'emonstration \'el\'ementaire.}. \end{enumerate} \end{document}