������

����ɽ 1 �ˤ����ơ��ѿ� $X$ ���ѿ� $Y$ �δ֤Υ���ɡ���ν����ط�������ʤ�������

�׻������

1. ���������� $n$ �Ȥ��롣

2. �ѿ� $X$ ���ѿ� $Y$ �ˤĤ��ƾ������������̤�Ĥ����ѿ� $X$ �ˤĤ��ƾ���������¤��Ѥ����Ʊ��̤ξ��ˤ�ʿ�ѽ�̤�Ĥ���ˡ�

3. $Y_{i}\ (i = 1, 2, \dots , n - 1)$ �ˤĤ��ơ�$Y_{i} \lt Y_{j}$ �θĿ��� $P_{i}$ ��$Y_{i} \gt Y_{j}$ �θĿ��� $Q_{i}$ �Ȥ���$(j = i + 1, i + 2, \dots , n)$��

   �㤨�С�ɽ 2 �˼����褦�ˡ�$X_{5}$ ���Ф��� $Y$ �ν�̤� $7$ �Ǥ��ꡤ�����걦�ˤ��� $Y$ �ν�̤Τ������礭����Τ� $Y_{8}, Y_{9}, Y_{10}$ �� $3$ �ġ�$P_{5} = 3$�ˡ���������Τ� $Y_{6}, Y_{7}$ �� $2$ �ġ�$Q_{5} = 2$�ˡ�

   $P_{i} + Q_{i} = n - i$��$\sum ( P_{i} + Q_{i} ) = \displaystyle \frac{n\ ( n - 1 )}{2}$ �Ȥʤ뤳�Ȥ����ա�

4. $\sum P_{i}$ �� $2$ �ѿ��ν�̤����������פ�������$\sum Q_{i}$ �� $2$ �ѿ��ν�̤��������������˰��פ������ʤΤǡ�$\sum P_{i} - \sum Q_{i}$ �Ͻ���ΰ������λ�ɸ�Ǥ��롣
   • $2$ �ѿ��ν���������˰��פ���Ȥ��ˤϡ�$\sum P_{i} =\displaystyle \frac{n\ (n-1)}{2}$��$\sum Q_{i} = 0$ �Ǥ��롣

   • $2$ �ѿ��ν�����ս�˴����˰��פ���Ȥ��ˤϡ�$\sum P_{i} = 0$��$\sum Q_{i} = \displaystyle \frac{n\ (n-1)}{2}$ �Ǥ��롣

   ���Τ褦�ʤ��Ȥ��顤$(1)$ �����������С� $- 1 \leqq r_{k} \leqq 1$ �Ȥʤ롣���줬����ɡ���ν����ط����Ǥ��롣 \[ r_k = \frac{\displaystyle \sum_{i=1}^{n-1} P_i - \sum_{i=1}^{n-1} Q_i} {\displaystyle \frac{n\ (n-1)}{2}} \tag{1} \] ����Ǥϡ�$\sum P_{i} = 37$��$\sum Q_{i} = 8$ �ʤΤǡ�$\displaystyle r_{k} = \frac{37 - 8 }{ 10\cdot 9\ /\ 2 } = 0.64444$ �Ȥʤ롣

   • ��ط��������ξ������ѿ��ˤ�������شط�������פȤ���������ء�
   • ��ط�������ξ������ѿ��ˤ������شط�������פȤ���������ء�
   • ��ط����� $0$ �˶ᤤ�Ȥ������ѿ���̵��ؤǤ���פȤ���

����

• �ɤ��餫�����ʤޤ���ξ���ˤ��ѿ��ˤ��������ƤΥ�������Ʊ����ͤ�Ȥ���ˤϡ���ط���������Ǥ��ʤ���

• Ʊ��̤�������ˤϡ��ѿ� X���ѿ� $Y$�ˤ�����Ʊ��̤θĿ��� $n_{x}$ ��$n_{y}$ ��Ʊ��̤��礭���� $t_{i}, t_{j}\ (i = 1, 2, \dots , n_{x};\ j = 1, 2, \dots , n_{y} )$ �Ȥ����Ȥ��������Ƿ׻�����롣Ʊ��̤��ʤ����ˤ� $T_{x} = T_{y} = 0$ �Ȥʤꡤ$(1)$ ������������ \[ \begin{align*} & r_k = \frac{\displaystyle \sum_{i=1}^{n-1} P_i - \sum_{i=1}^{n-1} Q_i} {\displaystyle \sqrt{\frac{n\ (n-1)}{2}-T_x}\ \sqrt{\frac{n\ (n-1)}{2}-T_y}} \tag{1} \\ & T_x = \sum_{i=1}^{n_x}\frac{t_i\ (t_i-1)}{2} \tag{2} \\ & T_y = \sum_{j=1}^{n_y}\frac{t_j\ (t_j-1)}{2} \tag{3} \\ \end{align*} \] ���ա��������Ǥϡ��ѿ� $X$���ѿ� $Y$�Τ����줫�ˡ�ξ���ˡ�Ʊ��̤����뤫�Ǽ�갷����ۣ��ˤʤ뤳�Ȥ����롣

  �����ǡ�����ɡ���ν����ط����Τ⤦��Ĥ����ˡ�򼨤��Ƥ�����Ʊ��̤��ʤ�����Ʊ����̤������롣�ޤ���������ˡ�ǤϽ���դ��򤹤�ɬ�פϤʤ��ˡ�

  �ѿ����� $( X_{i}, Y_{i} )$�� $( X_{j}, Y_{j} )$ ��ͤ���� $i \ne j$ �ˡ�

  • $X_{i} \gt X_{j}$ ���� $Y_{i} \gt Y_{j}$ �ΤȤ� $P_{ij} = 1$
  • $X_{i} \lt X_{j}$ ���� $Y_{i} \lt Y_{j}$ �ΤȤ� $P_{ij} = 1$
  • $X_{i} \gt X_{j}$ ���� $Y_{i} \lt Y_{j}$ �ΤȤ� $Q_{ij} = 1$
  • $X_{i} \lt X_{j}$ ���� $Y_{i} \gt Y_{j}$ �ΤȤ� $Q_{ij} = 1$

  �Ȥ��ơ�$\sum P_{ij} - \sum Q_{ij}$ ����롣

  • Ʊ��̤��ʤ��Ȥ� \[ r_k = \frac{\sum P_{ij} - \sum Q_{ij}}{n\ (n-1)} \]
  • Ʊ��̤�����Ȥ� \[ r_k = \frac{\displaystyle \frac{\sum P_{ij} - \sum Q_{ij}}{2}} {\displaystyle \sqrt{\frac{n\ (n-1)}{2}-T_x}\ \sqrt{\frac{n\ (n-1)}{2}-T_y}} \] ����$T_{x}$ �� $T_{y}$ �� $(2)$��$(3)$ �����̤ꡣ

�齬������

����ɽ 3 �ˤ����ơ��ѿ� $X$ ���ѿ� $Y$ �δ֤Υ���ɡ���ν����ط�������ʤ�������

����1��$T_{x}$ ���������˵������������ܥ���򥯥�å����ʤ�����

����2��$\sum P_{ij} - \sum Q_{ij}$ ���������˵������������ܥ���򥯥�å����ʤ�����

����3��$r_{k}$ ����ʤ����������Ͼ������ʲ� 5 ���ܤǻͼθ��������ͤ������˵������������ܥ���򥯥�å����ʤ�����

����������