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はてなキーワード: 線形空間とは
まず一言でまとめると、場の論理と幾何の高次的融合が進んでおり、境界の再定義、重力的整合性の算術的制約（swampland 系）、散乱振幅の解析的・代数的構造という三つの潮流が互いに反響しあっている、というのが現在の最前線の構図。
現在の進行は低次元の代数的不変量（モチーフ、モジュラーデータ）＋∞-圏的対称性＋コバーティズム的整合性という三つ組が、量子重力理論（および弦理論）が満たすべき基本的公理になりつつあることを示す。
これらは従来の場の理論が与えてきた有限生成的対象ではなく、ホモトピー型の不変量と算術的整合性を前提にした新しい分類論を必要とする。
大学数学の本って最初の方の分野なら高校数学を全て理解してなくてもわかる内容なんだよね。
具体的に言えば微分積分学(解析学の初歩)の本だ。(線形代数は今の高校のカリキュラムは行列を扱ってないので当たり前っちゃ当たり前)
大学への数学に登場するようなテクニックを既知としていないのがうれしい。
はみ出し削り論法なんて知らなくてもおそらくその論法に相当するものが推論に必要な証明では、当然では済ませずきちんとその論法の(おそらくより一般化されたもの)の紹介とその証明をその前後で提示してくれるものだろう。
俺は最初の一行目の「M2(R)はR上の線形空間としての自然な位相をもつ」でもう打ちのめされた。
M2の定義は既知なのか。eman物理でSL2とかの群の存在を知ってるからとりあえず群の一種ということ以外何もわからん。
三上洋一の数論幾何入門と言う本はわかりやすいというレビューが多かったからそれなら理解できるのかなあ。
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現代の理論物理学では、「位相的」と名の付く理論は、物理系のダイナミクスや局所的な振る舞いよりも、背景となる空間の形（トポロジー）そのものに注目します。
これらの理論は、計量（距離や角度などの幾何学的情報）に依存せず、空間の切り貼り（境界の接合や分解）を通じた情報や不変量を扱います。
TQFTは、数学的に「ボルディズム圏」と呼ばれる空間の切り貼りの構造と、そこから割り当てられる線形空間（ヒルベルト空間や有限次元のベクトル空間）との間の関手として定式化されます。
この理論の特徴は、物理的な「動き」や「時間発展」ではなく、空間のトポロジーに基づいた不変量を計算する点にあります。つまり、たとえばある閉じた多様体に対するTQFTの配分関数は、その空間の「形」が変わっても変わらず、純粋にトポロジカルな情報を反映します。
位相的弦理論は、通常の弦理論を特定の方法で「ツイスト」して、物理的な局所自由度（例えば振動モードの詳細な数値やエネルギー）よりも、世界面やターゲット空間のトポロジーに注目する理論です。
具体的には、2種類のモデル（AモデルとBモデル）に分かれ、Aモデルは主に対象空間のシンプレクティック構造から、Bモデルは複素構造の変形から不変量を抽出します。
これらの結果は、例えば曲線の数え上げやホモロジーの変化といった、幾何学的な不変量として現れ、またTQFTの枠組みと密接に結びついています。
位相的M理論は、通常のM理論の位相的側面を抽出したものとして考えられています。
M理論自体は11次元で記述される統一理論の候補ですが、位相的M理論はその中で、空間の局所的な計量情報を無視し、むしろ全体のトポロジーや膜の振る舞い（特にG₂ホロノミーを持つ7次元多様体など）に注目します。
この理論は、位相的弦理論のより高次元版とも捉えられ、例えば6次元空間に対するサークルバンドルを通じて、2次元の弦理論に還元できると予想されています。
高次元データ空間の幾何学的構造は、情報科学におけるテーマであり、非線形性、トポロジー、リーマン多様体などの数学的概念を必要とする。
このような多様体は、局所的には線形空間として振る舞うが、全体としては非線形構造を持つ。
例えば、データがN次元ユークリッド空間に埋め込まれている場合、その埋め込みは必ずしもユークリッド距離に基づくものではなく、リーマン計量を用いた距離関数が適用されることが多い。
このアプローチは、確率分布のパラメータ空間をリーマン多様体として扱うことで、統計的推定や機械学習アルゴリズムの設計に新たな視点を提供する。
リーマン多様体上の最適化問題を扱う際には、フィッシャー情報行列が重要な役割を果たす。
フィッシャー情報行列は、パラメータ空間内の点での曲率を測定し、その逆行列は最適化アルゴリズムにおける収束速度に影響を与える。
具体的には、フィッシャー情報行列の固有値分解を通じて、多様体上の最適化問題における局所的な最適解の安定性や収束性を評価することが可能となる。
トポロジカルデータ解析は、高次元データの幾何学的構造を理解するための強力な手法である。
特に、持続的ホモロジーやベッチ数といったトポロジーの概念を用いることで、高次元空間内でのデータポイント間の関係性を捉えることができる。
持続的ホモロジーは、データセットが持つトポロジカル特徴を抽出し、その変化を追跡する手法であり、多様体の形状や穴の数などを定量化することが可能である。
これは、異なるスケールでデータを観察しても同じトポロジカル特徴が得られることを意味する。
具体的には、フィルタリング手法（例：距離行列やk近傍グラフ）を用いてデータポイント間の関係性を構築し、その後持続的ホモロジーを計算することで、高次元空間内でのデータ構造を明らかにする。
ユークリッド距離だけでなく、マンハッタン距離やコサイン類似度など、多様な距離関数が存在し、それぞれ異なる幾何学的特性を反映する。
特に、高次元空間における距離関数の選択は、クラスタリングアルゴリズムや分類器の性能に直結するため、その理論的根拠と実用的応用について深く考察する必要がある。
さらに進んだアプローチとして、構造化された距離関数（例：Mahalanobis距離）やカーネル法による非線形変換が挙げられる。
これらは、高次元空間内でのデータポイント間の関係性をより正確に捉えるために設計されており、多様体学習やカーネル主成分分析（KPCA）などで活用されている。
そのslideshareの人はただのgiftedなのでもう少し他のを参考にした方がいいと思う。
機械学習に興味を持ってビショップ本に行くのもあまりお勧めできない。
過剰にベイジアンだし実際問題あそこまで徹底的にベイズにする必要は無いことも多いから。
よく知らんけどMRIとかの方面もだいぶ魑魅魍魎なので（DTIとか微分幾何学的な話がモリモリ出てくる）、
近づくなら覚悟と見通しを持ってやった方がいいんじゃないかなあという気はする。
オライリーの本は読んだことないけど悪くなさそう。「わかパタ」とか「続パタ」とかは定番でよい。
ビッグデータがどうとか世間では言ってるけど、データのビッグさはあんま気にしなくていいと思う。
ビッグデータを処理するためのインフラ技術というものはあるけど、数理的な手法としては別に大して変わらない。
（オンライン学習とか分散学習とかの手法はあるけど、わざわざそっち方面に行く意味も無いと思う。
超大規模遺伝子データベースからパターン検出したい、とかだとその辺が必要かもしれないけど…）
数学については、線形代数は本当に全ての基礎なのでやはり分かっておくとよい。
「キーポイント線形代数」とか「なっとくする行列・ベクトル」とか、他にも色々わかりやすいいい本がある。
（まあ固有値と固有ベクトルが計算できて計量線形空間のイメージがわかって行列式とかトレースとかにまつわる計算が手に馴染むくらい。ジョルダン標準形とかは別にいらん）
プログラミングはそのくらいやってるならそれでいいんじゃないか、という気はする。行列演算が入る適当なアルゴリズム（カルマンフィルタとか）が書けるくらいか。かく言う俺もあまり人の事は言えないけど。
処理をなるべく簡潔かつ構造的に関数に分割したり、抽象化して（同じ処理をする）異なるアルゴリズムに対するインターフェースを共通化したりとかのプログラミング技術的なところも意識できるとなおよい。
ggplot2は独自の世界観ですげえ構造化してあるんだけどやりすぎてて逆に使いづらい…と俺は思う…。
遺伝子のネットワークとかなんかそれ系の話をし出すと離散数学的なアルゴリズムが必要になってきて一気に辛くなるが、必要性を感じるまでは無視かなあ。
プログラミングの学習は向き不向きが本当に強烈で、個々人の脳の傾向によってどうしたらいいかが結構異なる気がしてる。
向いてるなら割とホイホイ書けるようになっちゃうし、向いてないなら（俺もだけど）試行錯誤が必要になる。
まあせいぜい頑張りましょう。
それはさすがにレベル低過ぎじゃね？？？
俺が学生の頃は「あの子と内積とりたい」とか（ディラックのブラケットを思い浮かべること）、数少ない女の子に群がる男を見て「ボーズアインシュタイン凝縮してる」とか、そういうのが普通に日常会話だったが。
今は社会に出てるので線形代数あたりのネタが多いな。内積も当然線形空間ネタなんだが、なんというか、ディラック記法を踏まえた文脈かどうかの違いが本質的。物理系のヒルベルト空間は必然的にその上に作用する作用素とセットだから。
そもそも例えじゃなくて文化資本の格差を時間の関数と見たときの厳密な表現だぞ。
他の科ならわざわざ数学に例えるなんてひくわぁ
文系ならそうだろうけど、理系でそれ言うと自分の馬鹿さ加減を宣伝してることになるぞ。
まともな理系の知識持ってる人間だったら「2階微分」で意味不明と思うなんて有り得ないよ。
うちの会社とか、どう逆立ちしても入社すらできないだろうなあ。
しかしこういう「勉強ダセェw」みたいな子、10年ぶりくらいに見たな…。なんか懐かしい感じ。どういうバックグラウンドの子なんだろう。
そもそも空間に内積が入ってるというのは、内積から自然に誘導されるノルムや距離や位相がある空間だということだ。
ノルム、距離、位相だけでは記述できない、内積によって規定される構造というのは、角度であり特に重要なのは直交という概念だね。
直交性というのは、その（線形）空間の中である意味「お互いに独立」な要素を決める。
n次元ユークリッド空間なら、n本の直交なベクトルを定義することができて、空間中の点はそれぞれのベクトルの方向に、「他のベクトルの方向には影響を与えず」独立に動かすことができる。
逆に、平行なベクトル同士では、互いに完全に影響を与え合う形でしか動かすことができない。平行性も内積によって定義される性質であり、これを従属と言う。
n本以下の平行でない適当なベクトルの組を持ってきたときに、内積を使って直交したベクトルの組を得ることもできる。グラムシュミットの直交化とかで。
空間中の直交なベクトルの組を見出すということは、空間の性質をかなり詳しく知るということになっていて、そのための演算として空間に定義された内積は超重要。
ベクトルに関する操作は、和、スカラー倍、ノルム、そして内積くらいしか高校では使っていない。内積という操作を禁止すると何ができなくなるかを考えてみるといい。
ちなみに内積は標準内積と呼ばれる高校で習う定義に限るものではなくて、内積の公理を満たす演算ならなんでもいい。
これは逆に空間にどういう構造を入れるか？というユーザの意思や物理的要請から決まるもの。内積の定義が各点で変わるような空間もあって、これは空間が曲がっているということに対応する。
ユークリッド空間みたいに平坦で内積が一様な空間というのは特別な空間ということだな。
また、線形空間という概念は実はユークリッド空間に限ったものでもなくて、空間の元に対して和やスカラー倍、単位元や逆元が定義されていて、いくつかの性質を満たせばよい。
これは例えば関数をたくさん集めてきた関数空間についても成り立つことがあって、そこに内積を定義することでユークリッド空間のベクトルの議論と完全に同じ話をすることができる。
俺の高校時代の物理の教師はまだマシだったかな。それでも今にして思えば分かってねーなというところはあるが。
数学教師の方が数が圧倒的に多いから、変なのに当たる確率も高かったのかもしれない。
それにしても計量線形空間やらヒルベルト空間なんて、数学科なら線形代数と関数解析の最初の1コマ目でやるレベルだろうに。
