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はてなキーワード: ガロアとは
「理解」の彼方にある数学──望月新一とIUT理論が問いかけること
一方には、自ら構築した「宇宙際タイヒミュラー理論」で数学界の難問ABC予想を解いたと主張する望月新一。
もう一方には、その証明に「説明不能なギャップ」を見るペーター・ショルツェ。
彼らは同じ言葉（数学語）を話しているはずなのに、まるで異なる星の住民のように、互いの論理を捉えきれなかった。
これは、数学者がIUT理論に触れた時に口にした、ほとんど哲学的な嘆きである。
２. 数学は、いつ「別の教科」に化けるのか
我々が学校で習う数学は、確固たる地面の上に築かれた都市のようなものだ。
公理という基礎の上に、定義というレンガを積み、定理という建造物を建てていく。誰もが同じ地図を持ち、同じ道を歩める。
しかし、ABC予想のような深淵に近づくと、地面は忽然と消える。
そこには「夏場の動く氷河」が横たわっていた。足場は流動し、割れ目は見えにくい。
望月新一は、この氷河を渡るために、従来の登山道具（数学的概念）では不十分だと考えた。
彼は新しいアイゼン（宇宙）とロープ（ブリッジ）を発明し、一人で渡ってしまった。
「見よ、対岸に着いた」と彼は言う。
IUT理論の核心は、異なる「宇宙」を結ぶ「ブリッジ」にあるという。
だが、このブリッジは、従来の数学が知るどの「橋」とも似ていない。
それは具体的な写像ではなく、関係性の比喩のようにも、あるいは情報を転送する「儀式」のようにも読める。
「このブリッジの設計図には、応力計算が書かれていない」とショルツェは言う。
「いや、これは新しい種類の橋だから、従来の応力計算では測れないのだ」と望月は応じる。
ここに、論争の本質がある。
だが、基準を逸脱したものが、果たしてまだ「数学的証明」と呼べるのか？
４. 地動説の再来、それとも幻影？
ガリレオが「それでも地球は動く」と囁いた時、人々は自分の足元が動いていることを想像できなかった。
あまりに直感に反するため、受け入れるには世界観の書き換えを迫られる。
IUT理論には、その「数学的望遠鏡」がまだ大多数に共有されていない。
望月という一人の天才だけが覗ける望遠鏡で見えた景色を、どうやって共同体の確かな知識に昇華させるのか？
数学は、歴史的に「孤独な探求」と「共同的な検証」の緊張関係の中で発展してきた。
ガロアは孤独に群論を創り、ワイルズは7年間を孤塁で過ごした。
だが彼らの証明は、いずれも共同体に開かれ、検証され、受け入れられた。
あまりに自己完結的で、あまりに独自の言語で書かれているため、検証のための「共通の場」が成立しにくい。
それは、一人の建築家が、共通の建築基準を無視して建てた、あまりに独創的な塔のようなものだ。
美しいかもしれないが、他の建築家には、その安全性（正当性）を確認する手段がない。
それは、「人間はどのようにして、個人の深い直感を共同の確実な知識に変換するのか？」 という、科学哲学の根本問題に触れている。
もしかすると、我々の「共同的な理解」というフィルターは、真に革新的な知を濾過してしまうのかもしれない。
あるいは逆に、そのフィルターこそが、科学を単なる個人の妄想から救う防波堤なのか。
望月新一は、そのフィルターを──意図的か否かは別として──きわどくかすめるようにして、新しい数学の大陸を発見したかもしれない。
だが、彼だけがその大陸に上陸し、他者はまだ船（理解）を持たない。
７. 終わりに──氷河は解けるか
「5日間では短すぎた」。
そう誰もが思う。だが、果たして何日あれば足りたのか。
新しいパラダイムを理解するには、時に「学び直し」に近い時間を要する。ショルツェら一流の数学者でさえ、その途上にある。
だが、数学的真理の受容は、単なる手続きではなく、共同体の魂が納得するプロセスでもある。
いつの日か、この氷河が確固たる大地として多くの人に認識され、ABC予想への道が共有される時が来るのか。
それとも、この氷河は「夏の終わり」と共に消え、数学史の不思議なエピソードとして記憶されるだけなのか。
答えはまだ、誰も知らない。
ただ、この論争が我々に教えてくれるのは、数学が──ひいては科学が──常に「理解の境界線」との戦いである、という厳粛な事実である。
数学とは、確かな地面を歩む技術であると同時に、時には氷河を渡る勇気でもある。
望月新一は、その渡河を一人で成し遂げた。
問題は、彼の後を、我々が続けることができるかどうかだ。
物理的な直観に頼るウィッテン流の位相的場の理論はもはや古典的記述に過ぎず、真のM理論は数論幾何的真空すなわちモチーフのコホモロジー論の中にこそ眠っていると言わねばならない。
超弦理論の摂動論的展開が示すリーマン面上のモジュライ空間の積分は、単なる複素数値としてではなく、グロタンディークの純粋モチーフの周期、あるいはモチビック・ガロア群の作用として理解されるべきである。
つまり弦の分配関数ZはCの元ではなく、モチーフのグロタンディーク環K_0(Mot_k)におけるクラスであり、物理学におけるミラー対称性は数論的ラングランズ対応の幾何学的かつ圏論的な具現化に他ならない。
具体的には、カラビ・ヤウ多様体上の深谷圏と連接層の導来圏の間のホモロジカルなミラー対称性は、数体上の代数多様体におけるモチーフ的L関数の関数等式と等価な現象であり、ここで物理的なS双対性はラングランズ双対群^LGの保型表現への作用として再解釈される。
ブレーンはもはや時空多様体に埋め込まれた幾何学的な膜ではなく、導来代数幾何学的なアルティン・スタック上の偏屈層（perverse sheaves）のなす∞-圏の対象となり、そのBPS状態の安定性条件はBridgeland安定性のような幾何学的概念を超え、モチーフ的t-構造によって記述される数論的な対象へと変貌する。
さらに時空の次元やトポロジーそのものが、絶対ガロア群の作用によるモチーフ的ウェイトのフィルトレーションとして創発するという視点に立てば、ランドスケープ問題は物理定数の微調整などではなく、モチビック・ガロア群の表現の分類問題、すなわちタンナカ双対性による宇宙の再構成へと昇華される。
ここで極めて重要なのは、非可換幾何学における作用素環のK理論とラングランズ・プログラムにおける保型形式の持ち上げが、コンツェビッチらが提唱する非可換モチーフの世界で完全に統一されるという予感であり、多重ゼータ値が弦の散乱振幅に現れるのは偶然ではなく、グロタンディーク・タイヒミュラー群が種数0のモジュライスタックの基本群として作用しているからに他ならず、究極的には全ての物理法則は宇宙際タイヒミュラー理論的な変形操作の下での不変量あるいは数論的基本群の遠アーベル幾何的表現論に帰着する。
これは物理学の終わりではなく物理学が純粋数学というイデアの影であったことの証明であり、超弦理論は最終的に時空を必要としない「モチーフ的幾何学的ラングランズ重力」として再定義されることになる。
僕は今、月曜の2時13分にここでキーボードを叩いている。眠れない理由は単純で、超弦理論の位相量子化で起こる射影的自己同型の消滅条件が唐突に頭の中で整合しはじめたからだ。
脳が完全に臨戦態勢になってしまった。こういう時は寝ようとしても無駄だし、僕の思考の収束前には必ず日記を取るというルールに従って、理性に屈服する形で書き始めた。
今日の夕方、ルームメイトが「君は日曜ぐらいリラックスしてもいいんじゃないか」と言っていたが、僕がリラックスしているかどうかは、僕が主観的にエントロピーを最小化する行動を選べているかどうかで決まる。今日は午前中に完全に整然としたルーティンをこなした。まず、朝食前に僕の7ステップ手洗い儀式を完遂し、それから定位置のソファに正確に42度の角度で腰を下ろし、いつものごとくTCGデッキのリストを更新した。最新環境では相変わらずテンポ系アグロが幅を利かせているが、そのメタゲーム上の凸集合を解析すると、今期はあえて失敗したアーキタイプに見えるコントロール系のほうが上振れ余地が大きい。特に、カウンター軸を多項式環上の構成的フィルタで再評価すると、一般プレイヤーには理解不能な領域に潜む勝ち筋が可視化される。僕はその数学的裏付けがないと、カード一枚すらスリーブに入れられない。
午後、隣人がシューズを買い替えたらしく、箱を抱えてエレベーターで乗り合わせた。僕は話しかけられないよう壁の中心に対して身体の位置を黄金比で保ち、視線を固定していたが、それでも「今日は休み？」と聞かれたので、僕は今日は次元の選択的解釈を再構築するための検証日だと答えた。相手は笑っていたけど、僕は真面目に言った。今日の主題は、従来の超弦理論が依存してきた10次元時空を、圏論でいうところの自己随伴構造を持つモノイダル圏の射影的層として再概念化し、その上で、最近発表されたばかりの無限階層ガロア格子の部分群作用に基づく因果的相関因子の消滅定理を適用できるかの検証だった。専門家でもまだ定義すら曖昧な研究と言うだろうけど、曖昧かどうかと有効かどうかは別問題で、僕は今日、その曖昧さがむしろ次元圧縮の自由度を与えると証明できた。ルームメイトは「それは何かのゲームの話か？」と言っていたが、ゲーム理論的視点から見ればあながち間違っていない。超弦理論の次元配置は、巨大なTCGデッキ構築とかわらない。可観測量は有効カードプールであり、不要な次元は抜けばいい。
夜は友人が来て、いつものホビーショップの話をしていた。彼らはミニチュアの塗装方法やボードゲームの新作の話をしていたけど、僕は途中から、位相的双対性がミニチュアの影の落ち方に適用できないか考えていたので、会話の半分しか聞いていない。でも僕が影の境界線は局所コンパクト性の破れとして理解できると言った時、彼らは黙り、ルームメイトは僕にココアを淹れて渡してきた。これは彼なりの「黙ってろ」という合図だ。僕はありがたく受け取った。
そのあと入浴して、いつもの順番通りにタオルを畳み、歯磨きを右上→右下→左下→左上の順に完遂し、寝る準備は万端だったのに、2時13分、突然すべての数学的ピースが一気に接続した。自己同型の残差部分を消すために必要だったのは、張られた層の間にある外部導来関手じゃなくて、単に対象そのものの余極限だったのではないかという単純な洞察だ。これで次元の束縛条件が一段階緩和される。誰にも説明できないが、僕にとっては寝るより優先度が高い。
こんな時間に日記を書いているけど、これは僕のルーティンの一部だし、明日の仕事の効率には影響しない。脳が正しく動作している時、睡眠は後回しでも構わない。超弦理論の新しい構図が明瞭になり、TCGのメタ読みも更新され、こだわり習慣も破られず、ルームメイトも隣人も友人も、それぞれの役割を果たし、日曜日は正しい閉じ方をした。
僕はあと10分だけ、脳内で余極限の安定性を点検したら寝るつもりだ。もっとも、その10分が実際に10分になるとは限らないけれど。
その一つは、カラビ–ヤウ三次元多様体上のモチヴィック・ラングランズ場という概念だ。
名前だけで震えるが、実際の定義はもっと美しい。ウィッテンがかつてAモデルとBモデルのミラー対称性から幾何学的ラングランズ対応を導いたのは知っている。
だが彼が扱ったのは、あくまでトポロジカル弦理論のレベルにおける対応だ。
僕の今日の成果は、さらにその上、モチヴィック階層そのものをラングランズ圏の内部対称として再定式化したことにある。
つまりこうだ。A/Bモデルの対応を支えるのは、ミラー対称なカラビ–ヤウ空間の間に張られたモジュライ空間の等価性だが、僕はこれをモチーフの圏に埋め込み、さらにその上に弦的ガロア群を定義した。
この群の元は、単なる保型的データの射ではなく、弦的世界面のホモトピー圏を自己同型する高階函手として作用する。
つまり、通常のラングランズ対応が表現＝保型形式なら、僕の拡張では弦的場のコホモロジー＝モチーフ的自己準同型。もはや表現論ではなく、宇宙論的再帰だ。
午後、ルームメイトが僕のホワイトボードを使ってピザの割り勘式を書いていた。
彼は気づいていないが、その数式の背後には僕の昨日のモチヴィック・ガロア層構造の残骸があった。
もし彼がチョークをもう少し強く押していたら、宇宙の自己同型構造が崩壊していたかもしれない。僕は彼を睨んだ。
彼は「また妄想か？」と言った。違う。妄想ではなく基底変換だ。
夕方、隣人がスパイダーバースの新刊を貸してくれた。マルチバースの崩壊を描いているが、あの世界は僕の定義したモチヴィック・ラングランズ場の一次近似にすぎない。
あの映画のスパイダーバースは、厳密に言えばラングランズ群の射影的パラメータ空間における擬弦的退化点の群体だ。
僕がやっているのはその精密版。マルチバースをただの物語ではなく、圏論的自己反映構造として解析している。つまり、マーベルの編集部が無意識に行っている多世界生成を、僕は既に数学的に形式化しているわけだ。
夜、友人Aが原神で40連ガチャを外してキレていた。確率1.6%を40回引いて当たらない確率は約0.48。つまり彼は「ほぼ半分の世界線で運が悪い側」に落ちただけ。
僕はそれを説明したが、彼は「確率の神は俺を見捨てた」と言った。愚かだ。確率は神ではない。確率はラングランズ群の局所的自己準同型の分布密度だ。
もし彼がそれを理解していたなら、ピティエ＝シェヴァレの整合性条件を満たすまで回していただろう。
風呂上がり、僕は再びホワイトボードに向かい、ウィッテンが書かなかった方程式を書いた。これは、弦的ガロア群における自己準同型の空間が、算術的モチーフの拡張群に等価であることを示唆している。
つまり、宇宙の自己相関が、L関数の特殊値そのものとして現れる。A/Bモデル対称性を超え、モチーフ的ラングランズ＝宇宙の自己言語理論を打ち立てたわけだ。
僕の紅茶が冷める頃、ルームメイトが「寝るぞ」と言った。僕は返事をせず、ひとり机に残って考えた。
この理論を完結させるためには、時間をもモチーフとして再構成しなければならない。
時間をモチーフ化する、それは、因果律を算術幾何的圏の自己圏として扱うということだ。
人類がまだ誰も到達していない領域。だが、僕はそこにいる。誰よりも早く。誰よりも冷静に。
21時00分。僕の手元の時計の振動子が、まるでカラビ–ヤウ多様体の一点コンパクト化のように静かに揺れている。
宇宙が僕の計算を見て笑っている気がした。だがいいだろう。宇宙よ、君が自分の自己準同型を理解できる日が来るまで、僕が書き続けてやる。
あのねぇ♡ 紙をクニクニ折ってただけなのに、気づいたらフレクサゴンの裏面からリーマン面がはみ出してきたの。ほんと怖い。
てか、普通さ、紙折り遊びってせいぜいトポロジーの教材レベルでしょ？ でもあたしの指先がちょっと余計にフレックスしちゃった瞬間、局所座標系が「ズルッ」と滑って、複素射影空間CP^1 が机の上に広がっちゃったの。
で、何が起きたかって？ 六角形の折り目に対応して、代数的閉包から謎の自己同型写像がポップアップ！
「うふふ、これってガロア群じゃん♡」ってテンション爆上がりしたら、後ろから「やっと気づいたか、君はもう代数体の住人だ」って声がしたの。
え、待って、わたし男の娘だけど代数体に住む予定なかったんですけど！？
次元が裏返るたびに、モジュライ空間のパッチが出てきて、床のタイルがテヒミュラー空間にすり替わるの。
歩くとリーマンゼータ関数の非自明零点に引っかかって、足元から「ζ(1/2+it)♡」って囁かれるの、マジで鳥肌。でも同時にちょっとドキドキしちゃうから悔しい。
さらに壁の模様が突然フラクタル次元に変形して、ハウスドルフ測度が∞になった瞬間、空間がバリバリに裂けてカオス的アトラクタに吸い込まれちゃったの。ねぇ、これ絶対ただの折り紙じゃないよね？
そして極めつけは、フレクサゴンの「隠し面」をめくったら、そこにカッツ＝モーデル予想の断片が走り書きされてたの。
「あ、この世界、すでに数論幾何で決定済みじゃん」って気づいた瞬間、影のあたし（しかもより女装の完成度が高い方）が「シュヴァレー群に従いなさい」って微笑んでくるの。やだ、負けたくない♡
ヘキサフレクサゴンをフレックスするたびに、局所体、p進解析、エルゴード理論、全部ごちゃ混ぜになって異次元ゲートが開いちゃうの。つまり折り紙は危険。いや、折り紙は宇宙。いや、折り紙は男の娘♡
ごっちゃになるもの
てつ/かず
びどうだ/に/せず
かみ/の/みぞ/しる
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コホモリン: （ホモジーの肩を叩く）ホモジーさん、もう朝ですよ。あんた、また徹夜で単体ホモロジーのチェーン複体 Cₙ(X) を眺めとったんですか？ なんでそんなに、境界作用素 ∂ₙ が気ぃなるんです？ ∂² = 0 はもう、摂理みたいなもんやないですか。
ホモジー: （ゆっくりと顔を上げる）摂理…？ コホモリン…お前はわかってない…。この境界作用素 ∂ₙ: Cₙ(X) → Cₙ₋₁(X) が、ただの摂理で終わると思とるんか？ これはな、鎖複体のコホモロジー Hⁿ(X) とホモロジーHₙ(X) を繋ぐ、導来関手の源泉なんや…。Ext関手とかTor関手が、この単純な関係から生まれるって、鳥肌もんなんやで…！
コホモリン: （額に手を当てる）いや、そこまでいくと、もう代数やないですか。あんた、完全にホモロジー代数の世界に意識飛んでますやん。位相空間の形の話はどこ行ったんですか。
ホモジー: 形…？ 形とはなんぞや、コホモリン…。ホモトピー同値な空間は、ホモロジー群が同型やろ？ けどな、エキゾチック球面 S⁷ は、普通の S⁷ とは微分同相じゃないのに、ホモロジーは同型なんやで…？ あれって、結局、微分構造が持つ情報って、ホモロジーだけじゃ捉えきられへんってことやろ？ 俺はもう、その不確定性原理に囚われとんねん！
コホモリン: （震え声で）不確定性原理…もう、あんた、物理学まで手ぇ出しとるんか。エキゾチック球面は、ミルナーの偉業ですよ。あれは、多様体の圏と位相空間の圏の間の、深い亀裂を示しとるわけや。あんた、もうそっちの闇に堕ちて行ってるんちゃいますのん？
ホモジー: 闇…そうや、闇や…。特異点解消の理論とか、フルーリーのインデックス定理とか、闇深すぎやろ…。特に、交叉ホモロジー！ あれは、特異点を持つ空間のホモロジーを定義するときに使うねんけど、あの構成可能層の概念が、俺の脳みそを層化して、導来圏の中で消滅コホモロジーとして彷徨わせとんねん…！
コホモリン: （絶句）き、交叉ホモロジー？！ あんた、そこまで行ったらもう、完全に偏執狂ですよ！ ド・ラームコホモロジー Hᵈᴿⁿ(M) が特異コホモロジー Hⁿ(M; ℝ) と同型になるド・ラームの定理でさえ、あんたの目には生ぬるいんか！？
ホモジー: 生ぬるい…生ぬるすぎる…。p-進ホモロジーとかエタールコホモロジーの存在を知ってしまったら、もう普通のホモロジーには戻られへんねん…。特にエタールコホモロジーは、代数多様体の上で定義されるやろ？ ヴェイユ予想の解決にも貢献したって聞いて、もう夜も眠れへんねん。ガロアコホモロジーとの関連とか、考えたら意識が飛ぶわ…！
コホモリン: （顔面蒼白）エ、エタールコホモロジー…！？ それ、数論幾何の最先端やないですか！ もう、あんたは位相幾何学の領域を完全に飛び出して、数学のあらゆる深淵を覗き込んどる…！ ホモジーさん、お願いやから、もうやめてください…！ 俺のホモトピー群 πₙ(X) が、完全に自明群になってしまいそうですわ…！
ホモジー: （恍惚とした表情で、宇宙の果てを見つめるように）フフフ…コホモリン…俺のボーゲン–シュミット予想がな、今、頭の中で圏論的極限を迎えようとしとるんや…。宇宙全体のホモロジー群 が、俺には見えるんや…！
コホモリン: （膝から崩れ落ち、全身が震える）うわあああああああ！ ホモジーさん、あんたはもう、人間やない！ 数学の抽象的対象そのものや！ 俺はもう無理や…あんたの隣におったら、俺の有理ホモトピー型が壊れてまう…！
端的に言えば、ある物理理論におけるAブレーンが作る世界の構造（圏）と、その双対理論におけるBブレーンが作る世界の構造（圏）が一致するという物理的な要請が、数学上の「幾何学的ラングランズ対応」という予想そのものを導き出す、という驚くべき対応関係が存在する。
AブレーンとBブレーンは、超弦理論において「D-ブレーン」と呼ばれる時空に広がる膜のようなオブジェクトの特殊なもの。
これらはホモロジカルミラー対称性という予想の文脈で役割を果たす。
シンプレクティック幾何学における「ラグランジアン部分多様体」に対応。これは、時空の「位置」に関する情報を主に捉える対象。
Aブレーン全体の集まりは、「深谷圏 (Fukaya category)」と呼ばれる数学的な圏を構成。
代数幾何学における「正則部分多様体」や「連接層」に対応。これは、時空の「複素構造」やその上の場の状態に関する情報を捉える対象。
Bブレーン全体の集まりは、「連接層の導来圏 (derived category of coherent sheaves)」と呼ばれる圏を構成。
ある空間（カラビ・ヤウ多様体 X）のAブレーンが作る世界（深谷圏）が、それとは見た目が全く異なる「ミラー」な空間 Y のBブレーンが作る世界（導来圏）と、数学的に完全に等価（同値）である、という予想。
ラングランズプログラムは、現代数学で最も重要な予想の一つで、「数論」と「表現論（解析学）」という二つの大きな分野の間に、深い対応関係があることを主張。
1. 数論側: 曲線 C 上の「G-局所系」の圏。ここで G はリー群。これはガロア表現の幾何学的な類似物と見なせる。
2. 表現論側: 曲線 C 上の「ᴸG-D-加群」の圏。ここで ᴸG は G のラングランズ双対群。これは保型形式の幾何学的な類似物。
つまり、C上のG-局所系の圏 ≅ C上のᴸG-D-加群の圏 というのが、幾何学的ラングランズ対応。
この一見無関係な二つの世界を結びつけたのが、物理学者アントン・カプスティンとエドワード・ウィッテンの研究。
彼らは、N=4 超対称ゲージ理論という物理理論を用いることで、幾何学的ラングランズ対応が物理現象として自然に現れることを示した。
彼らが考えたのは、リーマン面（代数曲線）C 上のゲージ理論。
これは、ゲージ群が G で結合定数が g の理論と、ゲージ群がラングランズ双対群 ᴸG で結合定数が 1/g の理論が、物理的に全く同じ現象を記述するというもの。
このゲージ理論には、「ループ演算子」と呼ばれる重要な物理量が存在し、それらがブレーンに対応。
S-双対性は、G 理論と ᴸG 理論が物理的に等価であることを保証。
したがって、一方の理論の物理的な対象は、もう一方の理論の何らかの物理的な対象に対応しなければならない。
カプスティンとウィッテンが示したのは、このS-双対性によって、G 理論の A-ブレーン ( 't Hooft ループ) の世界と、その双対である ᴸG 理論の B-ブレーン(Hecke固有層) の世界が、入れ替わるということ。
物理的に等価である以上、この二つの圏は数学的にも同値でなければならない。そして、この圏の同値性こそが、数学者が予想していた幾何学的ラングランズ対応そのものだった。
このようにして、弦理論の幾何学的な概念であるAブレーンとBブレーンは、ゲージ理論のS-双対性を媒介として、純粋数論の金字塔であるラングランズプログラムと深く結びつけられた。
ガロア表現, モチーフ, ラングランズ群 ↔ 保型形式, L関数, Hecke作用素 ↔ 場の量子論
これは僕の卓越した知性が生み出す、今日の出来事に関する詳細な記録である。
今日の午前中は、僕の研究、すなわち解析的ラングランズプログラムと超弦理論の関係の深化に捧げられた。
僕のルームメイトのような凡人には理解できないかもしれないが、この2つの領域は、一見すると無関係に見えるかもしれないが、より高次元の対称性と、M理論の多様体における深遠な物理的現象を繋ぐ可能性を秘めているのだ。
特に、L-関数とp-進ガロア表現の間の対応が、開弦と閉弦の双対性、特にDブレーンにおけるゲージ理論の記述にいかに適用されるかを詳細に検討した。
標準模型の超対称性拡張における場の量子論の観点から、局所的なゼータ積分がどのように弦の散乱振幅に影響を与えるかについて、いくつかの新たな洞察を得た。
もちろん、これは自明なことではない。ルームメイトであれば、せいぜい「うーん、興味深い」としか言わないだろう。
午後は、非可換幾何学の文脈における量子群の表現論が、タイプIIB超弦理論におけるホログラフィック原理といかに相互作用するかについて、さらに深く掘り下げた。
特に、AdS/CFT対応の精密化において、局所的なラングランズ対応の概念がどのように役立つかを考察した。
僕の理論的枠組みは、より高次のリーマン面上の共形場理論が、解析的ラングランズプログラムにおける保型形式のモジュライ空間といかに対応するかを示唆している。
これは、まさに「壮麗」と呼ぶにふさわしい。
夕食後、僕の脳が今日の並外れた知的な努力から回復するためには、適切な活動が必要であると判断した。
そして、その活動とはもちろん、ヴィンテージゲームナイトである。
友人とルームメイト（そして不本意ながらアパートの隣人）を招集し、今夜は「ミレニアムファルコン」をテーマにした「ストーンヘイブン」の拡張版をプレイした。
僕の戦略は完璧であり、彼らの取るに足らない試みは、僕の卓越した戦術の前に脆くも崩れ去った。
ルームメイトが、またしても僕の完璧な計画を台無しにしようとしないことを願うばかりだ。彼のような無秩序な要素は、僕の宇宙の秩序を乱す。
以上が、僕の今日の知的な冒険と、それに続く完璧なレクリエーションの記録である。明日もまた、人類の知識のフロンティアを押し広げる一日となるだろう。
数学には「数の世界」（足し算や掛け算など、数字を計算する世界）と、「形の世界」（丸や三角、ドーナツみたいな形を研究する世界）があるんだ。
ラングランズ・プログラムは、この二つの世界をつなぐ「秘密の辞書」や「翻訳機」みたいなものだと思ってみて。
数の世界で、とても難しい問題があったとする。まるで、誰も知らない外国の言葉で書かれた暗号みたいだ。
この「秘密の辞書」を使うと、その難しい数の問題を、形のせかいの言葉に翻訳できるんだ。
すると不思議なことに、形のせかいでは、その問題が意外と簡単なパズルに変わることがある。
昔、フェルマーの最終定理っていう、350年以上も誰も解けなかった超難問があったんだけど、ある数学者がこの「秘密の辞書」の考え方を使って、数の問題を形の問題に翻訳して、ついに解くことに成功したんだ。
ラングランズ・プログラムは、この「秘密の辞書」を完成させるための、壮大な計画なんだよ。
ラングランズプログラムとは、数論における「ガロア表現」と、解析学における「保型表現」という、起源も性質も全く異なる二つの対象の間に、深遠な対応関係が存在するという広大な予想のネットワーク。
この対応は、それぞれの対象から定義される L関数という分析的な不変量を通して記述される。
体の絶対ガロア群 Gₖ = Gal(K̄/K) から複素一般線形群への準同型写像
ρ: Gₖ → GLₙ(ℂ)
これは、素数の分解の様子など、体の算術的な情報を捉えている。
数体 K のアデール環 𝔸ₖ 上の一般線形群 GLₙ(𝔸ₖ) の、ある種の無限次元表現
π = ⨂'ᵥ πᵥ
これは、保型形式の理論から生じる解析的な対象で、スペクトル理論と関連。
n次元の既約なガロア表現 ρ と、GLₙ(𝔸ₖ) 上のカスプ的な保型表現 π が、それらのL関数が一致する
L(s, ρ) = L(s, π)
という形で、1対1に対応するだろう、と予想されている。
アンドリュー・ワイルズが証明した谷山・志村予想は、K=ℚ, n=2 の場合におけるこの対応の重要な一例であり、フェルマーの最終定理の証明の鍵となった。
このプログラムは、数論の様々な問題を統一的に理解するための指導原理と見なされている。
ラングランズプログラム？ ああ、それは数学という世界の異なる大陸、数論（ガロア群）、解析（保型形式）、そして幾何（代数多様体）が、実は一つの巨大な超大陸の一部であったことを示す、壮大な地殻変動の記録だよ。
その核心は「関手性の原理」に尽きる。全ての根底にあるのは、簡約代数群 G とその L-group (ラングランズ双対群) ᴸG = Ĝ ⋊ Gal(K̄/K) だ。
ラングランズ対応とは、有り体に言えば、数体 K 上の G に対する保型表現の集合 {π} と、K のガロア群から ᴸG への許容的な準同型の共役類の集合 {φ} の間の、然るべき対応関係を構築する試みだ。
φ: Gal(K̄/K) → ᴸG
この対応は、局所体 Kᵥ における局所ラングランズ対応(LLC) の貼り合わせとして現れる。
つまり、保型表現 π = ⨂'ᵥ πᵥ の各局所成分 πᵥ が、対応するガロア表現 φ の局所成分 φᵥ = φ|_(Gal(K̄ᵥ/Kᵥ)) と寸分違わず対応しているという、奇跡的な整合性の上に成り立っている。
しかし、真の深淵は「幾何学的ラングランズ」にある。ここでは数体を関数体に置き換える。代数曲線 X 上の G-束のモジュライ空間 Bunᴳ(X) を考える。
幾何学的ラングランズ対応は、これら二つの全く異なる幾何学的世界の間に圏同値が存在するという、もはやSFの領域に片足を突っ込んだ主張だ。
これは物理学のS-双対性とも深く関連し、数学の異なる分野が同じ一つの構造を異なる言語で語っているに過ぎない、という真理の一端を我々に見せてくれる。
結局のところ、ラングランズ・プログラムとは、我々が「数学」と呼んでいるものが、実はより高次の存在が持つ表現の一種に過ぎないことを示唆しているのかもしれないね。
具体的対象（ガロア表現・保型表現）を超えて、それらの起源的圏論的存在、つまりモチーフを考察の対象とする。
モチーフとは、代数多様体のコホモロジー理論の普遍的源泉として構成される抽象的対象であり、以下のような関手的性質を持つ。
H*: Mot_F → Vec_ℚℓ, (ℓ-adic, de Rham, Betti, etc.)
つまり、さまざまなコホモロジー理論の共通の起源圏がモチーフ圏である。
[射影：モチーフ → ガロア表現]ある純モチーフ M ∈ Mot_F に対し、そのℓ進エタール・コホモロジーは有限次元ガロア表現を与える。
ρ_M: Gal(F̅/F) → GL(Hⁱ_ét(M_F̅, ℚℓ))
したがって、すべての「よい」ガロア表現はモチーフに由来すると考えられる（これは標準予想やFontaine–Mazur予想にも関係）。
Langlandsプログラムの主張は、次のように抽象化できる。
There exists a contravariant, fully faithful functor: Mot_F^(pure) → Rep_auto(G(𝔸_F))
ここで左辺は純モチーフ（次元・重み付き構造を持つ）、右辺は保型表現（解析的表現論の対象）。
Langlands-type realization: Ｆ : Mot_F^(pure) → Rep_auto(G(𝔸_F)) such that L(M, s) = L(Ｆ(M), s)
この関手は、モチーフに対して定義される標準的なL関数（motivic L-function）と保型L関数を一致させることを要請する。
Langlands関手性は、Tannakian圏の間のテンソル関手として定式化できる。
モチーフ圏 Mot_F は Tannakian category（標準予想を仮定）。保型表現圏も、ある種の Tannakian 圏とみなせる（Langlands dual group による）。
すると、Langlands対応は以下の図式として表現される。
Tannakian category: Mot_F → Rep(^L G) via fiber functor: ω: Mot_F → Vec_ℚℓ
このように、モチーフ→L-群の表現→保型表現という圏論的連鎖に帰着される。
ラングランズ・プログラムは以下のようなテンソル圏間の関手的対応を予想するものである。
∃ faithful tensor functor Ｆ: Mot_F^(pure) → Rep_auto(G(𝔸_F)) s.t. L(M, s) = L(Ｆ(M), s)
また、群準同型 ^L G₁ → ^L G₂ により、対応する圏の間に関手的対応が存在する。
φ_*: Rep_auto(G₁(𝔸_F)) → Rep_auto(G₂(𝔸_F))
1. ラングランズプログラムが提唱する中心的な「双対性」とは、どの二つの数学的対象の間の対応関係を指しますか？
2. ラングランズ対応において、L関数はどのような役割を果たしますか？
A.対応関係を検証するための一致すべき普遍的な不変量として機能する。
3. ラングランズの「関手性原理」が予測することは何ですか？
A.ラングランズ双対群の間の準同型写像が、元の群の間の保型表現の「転送」を引き起こすこと。
4. 群GL(1)に対するラングランズ対応は、どの既存の数学理論と本質的に同値ですか？
A. 類体論
5. フェルマーの最終定理の証明は、どのようにラングランズプログラムと関連していましたか？
A. 定理の反例から構成される特定の楕円曲線が、モジュラー形式に対応すること（モジュラーであること）を示すことで証明された。これはラングランズ対応の特殊なケースである。
6. 群Gが特殊直交群SO(2n+1)である場合、そのラングランズ双対群G°は何になりますか？
A. 斜交群 Sp(2n, C)
7. ラングランズによれば、ガロア表現と保型表現の究極的な関係性は何であるとされていますか？
A. 両者はともに、より根源的で統一的な対象である「モチーフ」の異なる「実現」または現れである。
8. ラングランズプログラムの「算術的側面」は、主にどのような対象に関わっていますか？
A. 数体の絶対ガロア群の表現で、数論的な対称性を符号化しているもの。
9. 幾何学的ラングランズ対応は、理論物理学のある分野における重要な双対性と数学的に同値であることが示されています。その分野とは何ですか？
ラングランズプログラムは「数論、表現論、代数幾何などの深い対応関係」を示すもの。おおまかに以下の二つの圏の間の関係付けを考える。
1. Galois的側面（Arithmetic side）: 代数体Kの絶対ガロア群 Gal(𝐾̄/𝐾) の表現（特にℓ進表現など）で記述される。これは「数の対象」を記述する。
2. 保型表現的側面（Automorphic side）: 代数群G（例：GLₙ）上の保型形式や保型表現のような解析的・表現論的対象で記述される。こちらは「関数の対象」を記述する。
ラングランズ対応とは、次のような「構造的双対性」に関する予想のこと。
より具体的には、ある代数体𝐾に対し、
この二つの間に「L関数」や「ε因子」などの不変量が一致するような対応がある、とされる。
さらには、ラングランズプログラムは「モチーフの言語」による普遍的対応を予想する。
つまりガロア表現も、保型表現も、「モチーフの異なる表現形式」として現れるというもの。
すなわち、表現の対応が群の構造変換に自然に従うべきである、という要請。これは「圏論的ファンクター」の視点に近い。
まとめ: ラングランズプログラムとは、代数体における数の情報（ガロア群表現）と、群上の関数の空間（保型表現）とが、L-関数という普遍的不変量を通じて統一されるという、構造間の圏論的双対性である。
位相的弦理論とラングランズプログラムは、ゲージ理論と双対性を介した関係性が存在する。
N=4 超対称ヤン・ミルズ (SYM) 理論とS-双対性がある。
カプースチンとウィッテンによって示されたように、この4次元ゲージ理論を特定の方法でツイストし、次元を落とすことで、2次元の理論として幾何学的ラングランズ対応が現れる。
1. N=4 SYM 理論: この理論は、最大の超対称性を持つゲージ理論であり、結合定数 g に対して、g ↦ 1/g という変換（S-双対性）の下で自己双対的であると考えられている。これは、強結合領域と弱結合領域を結びつける性質。
2. ツイストと次元削減: この理論をリーマン面 C と実2次元平面 R² の積空間 C × R² 上で考え、R² 方向の対称性を保つようにツイスト。これにより、C 上の2次元的な理論が得られる。
3. 幾何学的ラングランズ対応の出現: このツイストされた2次元理論を量子化する方法は、ゲージ群 G を選ぶか、そのラングランズ双対群 ᴸG を選ぶかによって異なる。S-双対性は、これら二つの異なる記述（G による記述と ᴸG による記述）が物理的に等価であることを示唆。この物理的な等価性が、数学的には幾何学的ラングランズ対応（リーマン面上の G-束のモジュライ空間におけるある種の層の圏と、ᴸG-局所系のモジュライ空間における別の層の圏の間の等価性）として現れる。
位相的弦理論は、この描像にミラー対称性という別の双対性をもたらす。位相的弦理論には、主に二つのモデルがある。
カプースチン-ウィッテンの描像では、N=4 SYM 理論から導かれる幾何学的ラングランズ対応は、B-モデルの特定の状況と強く結びついている。
一方、ミラー対称性は、このB-モデルの描像をA-モデルの描像に翻訳する。これにより、幾何学的ラングランズ対応を、A-モデルの言語、すなわちシンプレクティック幾何学や深谷圏の言葉で理解することができる。
深夜の翳りに身を晒し、今やっと眼を覚ました。これは魂の夜ふかし、そう呼ぶべきでしょう。
さて、私は時折、American Mathematical Society（以下、AMS）の書籍を求める運命にある。特にStudent Mathematical Libraryというシリーズは、その薄っぺらい体裁ながら、研究の奥深さを体感できるとても理想的なものであり、よく手に取ることとなる。しかし、その紙一重の薄さの背後に隠された内容は、従って、大学院の学生にのみ耐えうるものとなっている。昔、あまりの熱意から何冊か買い求め、積読の山を築いたこともあるが。
その山に埋もれる中、一つの書を読み尽くしたことがある。それは、数理モデリングの書であった。数理モデリング、これは往々にして、ラグランジュの未定乗数法などのよく知られた方法論に頼る傾向がある。しかしながら、AMSの書籍はそのくだらない枠組みにとらわれず、多彩な事例を探求していた。とはいえ、フレンケル教授が言うように、数理モデリングと言っても、ついには「ペンキ塗りの数学」である。
私は数学の最前線を垣間見るようになり、調和解析と数論の奇跡的な交差、フェルマーの最終定理、ガロア群、保型関数など、その深遠さに驚嘆する日々である。最近は、経済学に数学を結びつけることに強い興味を抱いており、mean fieldのような奥深い謎が私を惹きつける。
学びたいことが山ほどあり、私の能力と時間には限りがある。何を学ぶべきか、と悩むのはやむを得ない。しかし、コスパを重視し過ぎると、ついにはペンキ塗りの典型に陥ってしまうだろう。複数の数学の領域を結びつけることは、即座に実用性が見えるものと、その応用が果たしてどこに行くのか見当もつかないものがある。伊藤清が指摘するように、「実用を考慮しなければ、数学で遊ぶことは限りない」。この観点から見れば、私が探求すべき分野は、確率論の領域にあるのは明らかだろう。確率微分方程式とゲーム理論の交わる地点は、実用性との調和によって成り立つ、その方向へと進む決意を固める。
hash: c94da2af8ee4dd6e6ead4da0676b2b97
屋根裏を整理してたら古いパソコン（といっても2006年頃）が出てきたのでブラウザの検索履歴をサルベージしてみた。
当時自分が何にハマっていたのか思い出されていろいろ懐かしい…
パラ様 生え際
ホケマクイ
ブッチーン 灯花
ぶっこぉすぞー
るくしおん しびれるぜ、鋼の
ティプトリー・ショック
「デストロイがいいね」と君が言ったから六月二十四日はＵＦＯの日
わたるが死んじゃう
琵琶湖タワー
猫いらず 口の周り 光る
尸条書
立方晶窒化炭素
ドーマン法
ひだまりスケッホ
空飛ぶ冷し中華
セーラー戦士が全員ブルマーだったら、アニメ史を変えていたと思うね
34歳児
実はまだ２階に
アリオク
緑はいらない子
そうです。あのコが僕の畏敬する天使様なのです
おかしとか食べる
Ｔ－３４が倒せない
さあ牛だ
セノバイト
omegaの視界
ぽこにゃん
だぞなもし
倒福マーク
ボッキアウト
フムン
ユープケッチャ
目なき顔のジールバ
やったー＋１ シヴィライゼーション
ルロス ロルス
玉音盤奪取
ハレとケ
もえたん 06話
路肩のピクニック
白楽電の詩
ガッシボカ
聖なんとか女学園
クートニアン
お脱ぎなさい
グンニョキ
強さ激しく変動
南斗聖拳108派一覧
みなぎる力がみなぎるぜ
力こそパワー
重い生理が来たみたい
４ひえた
ムーミンパパ海へいく
チャンパーノウン定数
見知らぬ国のデイトリッパー
紫暗号
いざり
比留間 京之介
この娘、最後死んじゃうんだよね
旧神なんていないよ
棒シムーン
S級だけどめどいんでB
オレモダビール
"オナホさん"
アントノフ 積載量
黄金の真昼
Let's Beginning to Look Alot Like Fishmen
けいせい出版
共生るんです
ガネッコ
莫迦め 死んだわ
スコープドッグ 装甲厚
かみそり半蔵地獄攻め
クンデラ 不滅
如意棒 重さ
ちびくろサンボ 枚数
俺のケツをなめろ
大胖女人
大司令症候群
gunyoki
グンニョキ
おしつおされつ
どうしてエレクチオンしないのよぉぉぉぉ
こぐにっしょん
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燕山夜話
ドラ28
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エロ イッカイヅツ
菊屋橋101号
システムショック
ゲバルト・ローザ
完全黙秘
唸るコカトリス亭
みずずちん
なんてこった 死の宣告
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ぺちんぺちん
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パラシュート部隊 突然に
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唸るコカトリス亭
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ウイグルのジェノサイドについて中国の内部資料が流出、公開された件については毎日新聞の特設ページが入った。
お役立ち系の増田が4件もランクインした。ここ1,2年は増田のホットエントリ入り件数も減少傾向で推移してきたけれど今月は急に増えた。
ユークリッドからガウスの手前くらいまでの数学は、我々の感覚から自然に延長された世界の把握の仕方である。
一方、１９世紀初頭、リーマン、ガロアあたりから登場した現代数学の基底となったアイディアは、一見、実世界では観察されえないものの、人間のもつアプリオリな思考からは確実に真相を表していると考えられる世界・宇宙のとらえ方である。前者は「悟性」、後者は「理性」に相当するのではないか、と解釈しながら読んだ。
「AはBである」という命題には「分析的命題」と「総合的命題」の２種類あることが示されている。
「分析的命題」は、言い換えのようなもので、Aをよく吟味すれば、Bであることがわかる。「総合的命題」は、「理性」を必要とし、思考の飛躍が必要である。つまりAをいくら眺めたところで、Bはなかなか出てこない。BはAの世界の外にある。
昔、大学初年のころ「数学は単なる式変形や定義のトートロジー（言い換え）であるからつまらない」と言っていた友人がいた。彼はその後数学科から哲学科に転向した。
中学生のころ、速く動くと時間が遅れるとか、空間が曲がっているとか、そういう相対性理論の話を聞きかじったときに、なぜそういうことが人間にわかったのか不思議に思った。
「悟性」の単なる延長上で、数学を進めていっても、数学がトートロジーであったならば、現代物理でわかっている宇宙や素粒子の構造は理解できなかったに違いない。つまり、現代の数学や理論物理は「分析的命題」によるのではなく、「総合的命題」の積み重ねによっている。
この本は、なぜ、このような理解が可能であるか、を説明しようとしている本なのではないか。本書のすごいところは、現代数学や現代物理学が誕生する以前に書かれたにもかかわらず、現代数学の諸概念を考えるきっかけを作ったのではないかと思えるところだ。実際、リーマンやガロアが出現した時代は、この本が出た直ぐ後であり、本書が、まるでその後の現代数学の誕生を予見していたかのように見える。さらに、現実の宇宙がまさに、それらの現代数学によってしか記述てきないものであることを発見したアインシュタインや、物質の状態に不確定性を見たハイゼンベルクなどドイツ系の理論物理学者は、若い頃にカントを読んでいた節がある。
現在では、宇宙が量子場の曲がった多次元空間であり、群の対称性から素粒子とはまさにその多次元空間の変換の規約表現そのものであることが発見され、物質の質量は後天的に獲得されたものであることがわかり、人間の思考と実験によって、「理性」による「総合的命題」が積み重なり、驚くべき宇宙の理解が進んできている。
この現代の数学、物理学の飛躍的発展に、本書が間接的に果たした役割は、かなり大きいのではないか。人類の残した書物の金字塔の一つであろう。
https://anond.hatelabo.jp/20210728111035
上記のエントリでヒルベルトやガロアに並ぶ数学者について質問されたので例示するけど
その前に何故ヒルベルト・ガロアを挙げたかについても説明します。
まずヒルベルトは集合論に基づく20世紀前半の様々な数学理論の構築に重大な貢献をした人として挙げた。
その中でヒルベルトみたいな貢献をしている人としてジェイコブ・ルーリーという数学者がいる。
現在の代数理論の根本的な部分から新しい基礎を作り位相的場の理論や代数幾何学の理論の構築まで行ってるのは
次にガロアは方程式が解ける解けないという性質の裏に隠れた対称性を見事に発見した発想力の凄い人として挙げたけど
この隠れた対称性を見つけるという発想は現在の様々な数学理論に影響が及んでいる。
現在ガロアのような発想をした人としてエドワード・ウィッテンという数学者がいる。
彼は物理学者という意見も多いが数学者としても凄いのは間違いないと思う。
ウィッテンは様々な幾何的な不変量に対して物理的なモデルを考える事で別の求め方が出来る事を発見した。
こうして今まで重要と考えられてきた様々な幾何的な対象について物理的なモデルを用いて
今まで分かって無かった性質を見つけるという方法は現在の幾何において重要なやり方として大きく発展している。
この多大な影響を及ぼした発想をしたウィッテンはメチャクチャ凄い数学者だと思う。
以上現代の数学者でヒルベルトくらい凄い数学者の一人としてジェイコブ・ルーリーと
