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‎teoria/Tema11.Rmd‎

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@@ -343,48 +343,100 @@ Hipergeométrica | `hyper` | $N,M,n$
343343
Poisson | `pois` | esperanza $\lambda$
344344

345345

346-
## MAAAAAAAL
347-
348-
346+
# Variables aleatorias continuas
349347

348+
## Variable aleatoria continua
350349

350+
<l class = "definition">Variable aleatoria continua.</l> Una v.a. $X:\Omega\longrightarrow\mathbb{R}$ es continua cuando su función de distribución $F_X:\mathbb{R}\longrightarrow[0,1]$ es continua
351351

352+
En este caso, $F_X(x)=F_X(x^-)$ y, por este motivo, $$p(X=x)=0\ \forall x\in\mathbb{R}$$
353+
pero esto no significa que sean sucesos imposibles
352354

355+
## Función de densidad
353356

357+
<l class = "definition">Función de densidad.</l> Función $f:\mathbb{R}\longrightarrow\mathbb{R}$ que satisface
354358

359+
- $f(x)\ge 0\ \forall x\in\mathbb{R}$
360+
- $\int_{-\infty}^{+\infty}f(t)dt=1$
355361

362+
Una función de densidad puede tener puntos de discontinuidad
356363

364+
## Variable aleatoria continua
357365

366+
Toda variable aleatoria $X$ con función de distribución
358367

368+
$$F(x)=\int_{-\infty}^{x}f(t)dt\ \forall x\in\mathbb{R}$$ para cualquier densidad $f$ es una v.a. continua
359369

370+
Diremos entonces que $f$ es la función de densidad de $X$
360371

372+
A partir de ahora, considerareos solamente las v.a. $X$ continuas que tienen función de densidad
361373

362374

375+
## Esperanza
363376

377+
<l class = "definition">Esperanza de una v.a. continua.</l> Sea $X$ v.a. continua con densidad $f_X$. La esperanza de $X$ es $$E(X)=\int_{-\infty}^{+\infty}x\cdot f_X(x)dx$$
364378

379+
Si el dominio $D_X$ de $X$ es un intervalo de extremos $a<b$, entonces $$E(X)=\int_a^b x\cdot f_X(x)dx$$
365380

381+
## Esperanza
366382

383+
Sea $g:D_X\longrightarrow \mathbb{R}$ una función continua. Entonces,
367384

385+
$$E(g(X)) = \int_{-\infty}^{+\infty}g(x)\cdot f_X(x)dx$$
368386

387+
Si el dominio $D_X$ de $X$ es un intervalo de extremos $a<b$, entonces $$E(g(X))=\int_a^b g(x)\cdot f_X(x)dx$$
369388

389+
## Varianza
370390

391+
<l class = "definition">Varianza de una v.a. continua.</l> Como en el caso discreto, $$Var(X)=E((X-E(X))^2)$$
371392

393+
y se puede demostrar que
372394

395+
$$Var(X)=E(X^2)-(E(X))^2$$
373396

397+
## Desviación típica
374398

399+
<l class = "definition">Desviación típica de una v.a. continua.</l> Como en el caso discreto, $$\sigma = \sqrt{Var(X)}$$
375400

401+
# Distribuciones continuas más conocidas
376402

377403
## Distribuciones continuas
378404

379-
- Uniforme
380-
- Exponencial
381-
- Normal
382-
- Khi cuadrado
383-
- t de Student
384-
- F de Fisher
405+
- [Uniforme](https://es.wikipedia.org/wiki/Distribución_uniforme_continua)
406+
- [Exponencial](https://es.wikipedia.org/wiki/Distribución_exponencial)
407+
- [Normal](https://es.wikipedia.org/wiki/Distribución_normal)
408+
- [Khi cuadrado](https://es.wikipedia.org/wiki/Distribución_χ²)
409+
- [t de Student](https://es.wikipedia.org/wiki/Distribución_t_de_Student)
410+
- [F de Fisher](https://es.wikipedia.org/wiki/Distribución_F)
411+
385412

386413
## Distribución Uniforme
387414

415+
Una v.a. continua $X$ tiene distribución uniforme sobre el intervalo real $[a,b]$ con $a<b$, $X\sim\text{U}(a,b)$ si su función de densidad es $$f_X(x)=\left\{
416+
\begin{array}{rl}
417+
\frac{1}{b-a} & \text{si } a\le x\le b
418+
\\ 0 & \text{en cualquier otro caso}
419+
\end{array}
420+
\right.$$
421+
422+
Modela el elegir un elemento del intervalo $[a,b]$ de manera equiprobable
423+
424+
## Distribución uniforme
425+
426+
- El **dominio** de $X$ será $D_X = [a,b]$
427+
428+
- La **función de distribución** vendrá dada por $$F_X(x)=\left\{
429+
\begin{array}{rl}
430+
0 & \text{si } x<a
431+
\\ \frac{x-a}{b-a} & \text{si } a\le x< b
432+
\\ 1 & \text{si } x\ge b
433+
\end{array}
434+
\right.$$
435+
436+
- **Esperanza** $E(X) = \frac{a+b}{2}$
437+
- **Varianza** $Var(X) = \frac{(b-a)^2}{12}$
438+
439+
388440
## Distribución Exponencial
389441

390442
## Distribución Normal
@@ -406,14 +458,6 @@ Khi cuadrado | `chisq` | grados de libertad
406458
t de Student | `t` | grados de libertad
407459
F de Fisher | `f` | los dos grados de libertad
408460

409-
## Distribuciones de probabilidad en R
410-
411-
Para cada una de las funciones anteriores, R sabe calcular cuatro funciones:
412-
413-
- Función densidad: añadiendo prefijo `d`
414-
- Función de distribución de probabilidad: añadiendo prefijo `p`
415-
- Cuantiles: añadiendo prefijo `q`
416-
- Listas de números aleatorios generados con esta distribución: añadiendo prefijo `r`
417461

418462
## Distribución Normal en R
419463

‎teoria/TemaX.Rmd‎

Lines changed: 138 additions & 4 deletions
Original file line numberDiff line numberDiff line change
@@ -373,15 +373,35 @@ Si $X$ es una v.a. discreta y $g:D_X\longrightarrow \mathbb{R}$ una función, $$
373373
- $\sigma(b)=0,\ \forall b\in\mathbb{R}$
374374
- $\sigma(aX+b)=a\sigma(X)$
375375

376-
# Distribuciones discretas más conocidas
376+
# Distribuciones de probabilidad
377377

378378
## Distribución de probabilidad
379379

380380
<l class = "definition">[Distribución de probabilidad](https://es.wikipedia.org/wiki/Distribución_de_probabilidad).</l> En teoría de la probabilidad y estadística, la distribución de probabilidad de una variable aleatoria es una función que asigna a cada suceso definido sobre la variable la probabilidad de que dicho suceso ocurra.
381381

382-
## Distribuciones discretas
382+
## Distribuciones en `R`
383+
384+
Dada cualquier variable aleatoria, $va$, `R` nos da cuatro funciones para poder trabajar con ellas:
385+
386+
- `dva(x,...)`: Función de densidad o de probabilidad $f(x)$ de la variable aleatoria para el valor $x$ del dominio de definición.
387+
- `pva(x,...)`: Función de distribución $F(x)$ de la variable aleatoria para el valor $x$ del dominio de definición.
388+
- `qva(p,...)`: Cuantil $p$-ésimo de la variable aleatoria (el valor de $x$ más pequeño tal que $F(x)\geq p$).
389+
- `rva(n,...)`: Generador de $n$ observaciones siguiendo la distribución de la variable aleatoria.
390+
391+
## Distribuciones en `Python`
392+
393+
Dada cualquier variable aleatoria, en `Python` tenemos las mismas cuatro funciones, sin que su nombre dependa de la misma:
394+
395+
- `pmf(k,...)` o `pdf(x,...)`: Función de probabilidad $f(k)$ o de densidad $f(x)$ de la variable aleatoria para los valores $k$ o $x$ del dominio.
396+
- `cdf(x,...)`: Función de distribución $F(x)$ de la variable aleatoria para el valor $k$ del dominio.
397+
- `ppf(p,...)`: Cuantil $p$-ésimo de la variable aleatoria (el valor de $x$ más pequeño tal que $F(x)\geq p$).
398+
- `rvs(size,...)`: Generador de $size$ observaciones siguiendo la distribución de la variable aleatoria.
399+
400+
383401

384-
<l class = "definition">Distribución discreta</l>
402+
# Distribuciones discretas más conocidas
403+
404+
## Distribuciones discretas
385405

386406
- [Bernoulli](https://es.wikipedia.org/wiki/Distribución_de_Bernoulli)
387407
- [Binomial](https://es.wikipedia.org/wiki/Distribución_binomial)
@@ -545,4 +565,118 @@ $$\lambda_{x\cdot t}=x\cdot \lambda_t \text{ y, en particular, } \lambda_t = t\c
545565
<l class = "prop">Propiedades.</l>
546566

547567
- Si $X_1,\dots,X_n$ son v.a. de Poisson independientes, con cada $X_i$ con parámetro $\lambda_i$, entonces $X_1+\cdots+X_n$ es una v.a. de Poisson con parámetro $\lambda_1+\cdots+\lambda_n$
548-
- $X_1,X_2$ v.a. de Poisson independientes, con cada $X_i$ con parámetro $\lambda_i$, entonces la probabilidad condicionada $p(X_1=k \ :\ X_1+X_2=n )$ es binomial de parámetros $n$ y $p = \frac{\lambda_1}{\lambda_1+\lambda_2}$
568+
- $X_1,X_2$ v.a. de Poisson independientes, con cada $X_i$ con parámetro $\lambda_i$, entonces la probabilidad condicionada $p(X_1=k \ :\ X_1+X_2=n )$ es binomial de parámetros $n$ y $p = \frac{\lambda_1}{\lambda_1+\lambda_2}$
569+
570+
## Distribuciones discretas en R
571+
572+
R conoce las distribuciones de probabilidad más importantes.
573+
574+
Distribución | Instrucción | Parámetros
575+
--------------------|--------------------|--------------------
576+
Binomial | `binom` | tamaño de la muestra $n$ y probabilidad de éxito $p$
577+
Geométrica | `geom` | probabilidad de éxito $p$
578+
Hipergeométrica | `hyper` | $N,M,n$
579+
Poisson | `pois` | esperanza $\lambda$
580+
581+
# Variables aleatorias continuas
582+
583+
## Variable aleatoria continua
584+
585+
<l class = "definition">Variable aleatoria continua.</l> Una v.a. $X:\Omega\longrightarrow\mathbb{R}$ es continua cuando su función de distribución $F_X:\mathbb{R}\longrightarrow[0,1]$ es continua
586+
587+
En este caso, $F_X(x)=F_X(x^-)$ y, por este motivo, $$p(X=x)=0\ \forall x\in\mathbb{R}$$
588+
pero esto no significa que sean sucesos imposibles
589+
590+
## Función de densidad
591+
592+
<l class = "definition">Función de densidad.</l> Función $f:\mathbb{R}\longrightarrow\mathbb{R}$ que satisface
593+
594+
- $f(x)\ge 0\ \forall x\in\mathbb{R}$
595+
- $\int_{-\infty}^{+\infty}f(t)dt=1$
596+
597+
Una función de densidad puede tener puntos de discontinuidad
598+
599+
## Variable aleatoria continua
600+
601+
Toda variable aleatoria $X$ con función de distribución
602+
603+
$$F(x)=\int_{-\infty}^{x}f(t)dt\ \forall x\in\mathbb{R}$$ para cualquier densidad $f$ es una v.a. continua
604+
605+
Diremos entonces que $f$ es la función de densidad de $X$
606+
607+
A partir de ahora, considerareos solamente las v.a. $X$ continuas que tienen función de densidad
608+
609+
## Variable aleatoria continua
610+
611+
<l class = "prop">Propiedades.</l>
612+
613+
- $F_X$ es continua
614+
- El dominio de $X$ es $D_X=\{x:f(x)>0\}$
615+
- Si $A\subset \mathbb{R}$ es un intervalo con extremos $a<b$, entonces $$p(X\in A)=\int_a^b f_X(x)dx$$
616+
617+
## Esperanza
618+
619+
<l class = "definition">Esperanza de una v.a. continua.</l> Sea $X$ v.a. continua con densidad $f_X$. La esperanza de $X$ es $$E(X)=\int_{-\infty}^{+\infty}x\cdot f_X(x)dx$$
620+
621+
Si el dominio $D_X$ de $X$ es un intervalo de extremos $a<b$, entonces $$E(X)=\int_a^b x\cdot f_X(x)dx$$
622+
623+
$E(X)$ es casi seguramente el límite de la media de los valores de $X$ si efectuamos el experimento $n$ veces y hacemos $n\rightarrow \infty$
624+
625+
## Esperanza
626+
627+
Sea $g:D_X\longrightarrow \mathbb{R}$ una función continua. Entonces,
628+
629+
$$E(g(X)) = \int_{-\infty}^{+\infty}g(x)\cdot f_X(x)dx$$
630+
631+
Si el dominio $D_X$ de $X$ es un intervalo de extremos $a<b$, entonces $$E(g(X))=\int_a^b g(x)\cdot f_X(x)dx$$
632+
633+
## Varianza
634+
635+
l class = "definition">Varianza de una v.a. continua.</l> Como en el caso discreto, $$Var(X)=E((X-E(X))^2)$$
636+
637+
y se puede demostrar que
638+
639+
$$Var(X)=E(X^2)-(E(X))^2$$
640+
641+
## Desviación típica
642+
643+
<l class = "definition">Desviación típica de una v.a. continua.</l> Como en el caso discreto, $$\sigma = \sqrt{Var(X)}$$
644+
645+
# Distribuciones continuas más conocidas
646+
647+
## Distribuciones continuas
648+
649+
- [Uniforme](https://es.wikipedia.org/wiki/Distribución_uniforme_continua)
650+
- [Exponencial](https://es.wikipedia.org/wiki/Distribución_exponencial)
651+
- [Normal](https://es.wikipedia.org/wiki/Distribución_normal)
652+
- [Khi cuadrado](https://es.wikipedia.org/wiki/Distribución_χ²)
653+
- [t de Student](https://es.wikipedia.org/wiki/Distribución_t_de_Student)
654+
- [F de Fisher](https://es.wikipedia.org/wiki/Distribución_F)
655+
656+
657+
## Distribución Uniforme
658+
659+
Una v.a. continua $X$ tiene distribución uniforme sobre el intervalo real $[a,b]$ con $a<b$, $X\sim\text{U}(a,b)$ si su función de densidad es $$f_X(x)=\left\{
660+
\begin{array}{rl}
661+
\frac{1}{b-a} & \text{si } a\le x\le b
662+
\\ 0 & \text{en cualquier otro caso}
663+
\end{array}
664+
\right.$$
665+
666+
Modela el elegir un elemento del intervalo $[a,b]$ de manera equiprobable
667+
668+
## Distribución uniforme
669+
670+
- El **dominio** de $X$ será $D_X = [a,b]$
671+
672+
- La **función de distribución** vendrá dada por $$F_X(x)=\left\{
673+
\begin{array}{rl}
674+
0 & \text{si } x<a
675+
\\ \frac{x-a}{b-a} & \text{si } a\le x< b
676+
\\ 1 & \text{si } x\ge b
677+
\end{array}
678+
\right.$$
679+
680+
- **Esperanza** $E(X) = \frac{a+b}{2}$
681+
- **Varianza** $Var(X) = \frac{(b-a)^2}{12}$
682+

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