--- title: 图 category: 计算机基础 tag: - 数据结构 --- 图是一种较为复杂的非线性结构。 **为啥说其较为复杂呢？** 根据前面的内容，我们知道： - 线性数据结构的元素满足唯一的线性关系，每个元素(除第一个和最后一个外)只有一个直接前趋和一个直接后继。 - 树形数据结构的元素之间有着明显的层次关系。 但是，图形结构的元素之间的关系是任意的。 **何为图呢？** 简单来说，图就是由顶点的有穷非空集合和顶点之间的边组成的集合。通常表示为：**G(V,E)**，其中，G 表示一个图，V 表示顶点的集合，E 表示边的集合。 下图所展示的就是图这种数据结构，并且还是一张有向图。  图在我们日常生活中的例子很多！比如我们在社交软件上好友关系就可以用图来表示。 ## 图的基本概念 ### 顶点 图中的数据元素，我们称之为顶点，图至少有一个顶点（非空有穷集合） 对应到好友关系图，每一个用户就代表一个顶点。 ### 边 顶点之间的关系用边表示。 对应到好友关系图，两个用户是好友的话，那两者之间就存在一条边。 ### 度 度表示一个顶点包含多少条边，在有向图中，还分为出度和入度，出度表示从该顶点出去的边的条数，入度表示进入该顶点的边的条数。 对应到好友关系图，度就代表了某个人的好友数量。 ### 无向图和有向图 边表示的是顶点之间的关系，有的关系是双向的，比如同学关系，A 是 B 的同学，那么 B 也肯定是 A 的同学，那么在表示 A 和 B 的关系时，就不用关注方向，用不带箭头的边表示，这样的图就是无向图。 有的关系是有方向的，比如父子关系，师生关系，微博的关注关系，A 是 B 的爸爸，但 B 肯定不是 A 的爸爸，A 关注 B，B 不一定关注 A。在这种情况下，我们就用带箭头的边表示二者的关系，这样的图就是有向图。 ### 无权图和带权图 对于一个关系，如果我们只关心关系的有无，而不关心关系有多强，那么就可以用无权图表示二者的关系。 对于一个关系，如果我们既关心关系的有无，也关心关系的强度，比如描述地图上两个城市的关系，需要用到距离，那么就用带权图来表示，带权图中的每一条边一个数值表示权值，代表关系的强度。 下图就是一个带权有向图。  ## 图的存储 ### 邻接矩阵存储 邻接矩阵将图用二维矩阵存储，是一种较为直观的表示方式。 如果第 i 个顶点和第 j 个顶点之间有关系，且关系权值为 n，则 `A[i][j]=n` 。 在无向图中，我们只关心关系的有无，所以当顶点 i 和顶点 j 有关系时，`A[i][j]`=1，当顶点 i 和顶点 j 没有关系时，`A[i][j]`=0。如下图所示：  值得注意的是：**无向图的邻接矩阵是一个对称矩阵，因为在无向图中，顶点 i 和顶点 j 有关系，则顶点 j 和顶点 i 必有关系。**  邻接矩阵存储的方式优点是简单直接（直接使用一个二维数组即可），并且，在获取两个定点之间的关系的时候也非常高效（直接获取指定位置的数组元素的值即可）。但是，这种存储方式的缺点也比较明显，那就是比较浪费空间， ### 邻接表存储 针对上面邻接矩阵比较浪费内存空间的问题，诞生了图的另外一种存储方法—**邻接表** 。 邻接链表使用一个链表来存储某个顶点的所有后继相邻顶点。对于图中每个顶点 Vi，把所有邻接于 Vi 的顶点 Vj 链成一个单链表，这个单链表称为顶点 Vi 的 **邻接表**。如下图所示：   大家可以数一数邻接表中所存储的元素的个数以及图中边的条数，你会发现： - 在无向图中，邻接表元素个数等于边的条数的两倍，如左图所示的无向图中，边的条数为 7，邻接表存储的元素个数为 14。 - 在有向图中，邻接表元素个数等于边的条数，如右图所示的有向图中，边的条数为 8，邻接表存储的元素个数为 8。 ## 图的搜索 ### 广度优先搜索 广度优先搜索就像水面上的波纹一样一层一层向外扩展，如下图所示：  **广度优先搜索的具体实现方式用到了之前所学过的线性数据结构——队列** 。具体过程如下图所示： **第 1 步：**  **第 2 步：**  **第 3 步：**  **第 4 步：**  **第 5 步：**  **第 6 步：**  ### 深度优先搜索 深度优先搜索就是“一条路走到黑”，从源顶点开始，一直走到没有后继节点，才回溯到上一顶点，然后继续“一条路走到黑”，如下图所示：  **和广度优先搜索类似，深度优先搜索的具体实现用到了另一种线性数据结构——栈** 。具体过程如下图所示： **第 1 步：**  **第 2 步：**  **第 3 步：**  **第 4 步：**  **第 5 步：**  **第 6 步：**