例題で学ぶ高校数学

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二項定理

・二項定理
→例題　1（易），2（やや難）

二項定理

(a+b)ⁿの展開式の公式として次の定理が知られています。

二項定理

　 $(a + b)^n=\color{black}{}_n \mathrm{C} _0 a^n+\color{black} {}_n \mathrm{C} _1 a^{n-1}b+\color{black}{}_n \mathrm{C} _2 a^{n-2}b^2+\cdots+\color{black}{}_n \mathrm{C} _r a^{n-r}b^{r}+\cdots+\color{black}{}_n \mathrm{C} _n b^n$

また， $\color{black}{}_n \mathrm{C} _{r} a^{n-r}b^{r}$ を一般項， $\color{black}{}_n \mathrm{C} _{r}$ を二項係数という。

考え方
例えば，(a+b)³を展開すると次のようになります。

　　　 $(a+b)^3=(a+b)(a+b)(a+b)$

　　　 $\color{white}(a+b)^3\color{black}=aaa+aab+aba+abb+baa+bab+bba+bbb$

　　　 $\color{white}(a+b)^3\color{black}=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3$

展開式の係数が左から1，3，3，1である理由を考えてみます。

上の式の2行目を見ると，展開してできたそれぞれの項は3つのカッコから1つずつ文字を取り出してできていることがわかります。

1つ目のカッコからaを，2つ目のカッコからbを，3つ目のカッコからaを選ぶとabaという項ができます。

　　　 $(\color{red}a\color{black}+b)(a+\color{red}b\color{black})(\color{red}a\color{black}+b)=aaa+aab+\color{red}aba\color{black}+abb+baa+bab+bba+bbb$

a²bという項を作るには，他に2つ選び方があります。

　　　 $(\color{red}a\color{black}+b)(\color{red}a\color{black}+b)(a+\color{red}b\color{black})=aaa+\color{red}aab\color{black}+aba+abb+baa+bab+bba+bbb$

　　　 $(a+\color{red}b\color{black})(\color{red}a\color{black}+b)(\color{red}a\color{black}+a)=aaa+aab+aba+abb+\color{red}baa\color{black}+bab+bba+bbb$

選び方はこの3つなのでa²bの係数は3です。

このように考えると，a³やb³の係数が1であること，ab²の係数が3である理由も分かると思います。a³，b³は選ぶ方法が1通りであり，ab²は3通りあるからです。

上の方法を(a+b)ⁿの場合にも適用してみましょう。ちなみに(a+b)ⁿの展開式は

　　　 $(a + b)^n=\bigcirc a^n+\bigcirc a^{n-1}b+\bigcirc a^{n-2}b^2+\cdots+\bigcirc a^{n-r}b^{r}+\cdots+\bigcirc b^n$

という形になります（丸の部分は係数が入るところです）。

(1) aⁿの係数
aⁿにはbが1つもありません。つまり，n個のカッコの中からbを1つも「選ばない」ということです。bを0個選ぶともいえます。「n個から(bを)0個選び出す」ということを組み合わせの記号を使って表すと_nC₀なので，aⁿの係数は_nC₀です。

　　　 $(a + b)^n=\color{red} {}_n \mathrm{C} _0 \color{black}a^n+\bigcirc a^{n-1}b+\bigcirc a^{n-2}b^2+\cdots+\bigcirc a^{n-r}b^{r}+\cdots+\bigcirc b^n$

(2) a^n-1bの係数
a^n-1bはbが1つだけなので、n個のカッコからbを取り出すカッコを1つ選ぶことになります。組み合わせの記号を使うと_nC₁なので，a^n-1bの係数は_nC₁です。

　　　 $(a + b)^n=\color{black} {}_n \mathrm{C} _0 a^n+\color{red} {}_n \mathrm{C} _1 \color{black} a^{n-1}b+\bigcirc a^{n-2}b^2+\cdots+\bigcirc a^{n-r}b^{r}+\cdots+\bigcirc b^n$

(3) a^n-rb^rの係数
法則が分かってきたと思うのでa^n-rb^rの係数を考えて話を終わらせたいと思います。

a^n-rb^rはbがr個あるので、n個のカッコの中からbを取り出すカッコをr個決めることになります。組み合わせの記号を使うと_nC_rなので，a^n-rb^rの係数は_nC_rです。

以上より、(a + b)ⁿの展開式（二項定理）は

　　　 $(a + b)^n=\color{black}{}_n \mathrm{C} _0 a^n+\color{black} {}_n \mathrm{C} _1 a^{n-1}b+\color{black}{}_n \mathrm{C} _2 a^{n-2}b^2+\cdots+\color{black}{}_n \mathrm{C} _r a^{n-r}b^{r}+\cdots+\color{black}{}_n \mathrm{C} _n b^n$

となります。

【例題 1】
次の問題を解きなさい。

　　　 $(1)\ \ (a+b)^{10}$ の展開式における $a^6b^4$ の係数

　　　 $(2)\ \ (a+b)^{8}$ の展開式における $a^3b^5$ の係数

(1) 二項定理より， $a^6b^4$ の係数は $_{10}\mathrm{C} _4$ なので

　　　 $_{10}\mathrm{C} _4=\frac{10\cdot9\cdot8\cdot7}{4\cdot3\cdot2\cdot1}=210$

(2) 二項定理より， $a^3b^5$ の係数は $_{8}\mathrm{C} _5$ なので

　　　 $_{8}\mathrm{C} _5=\color{black}{}_{8}\mathrm{C} _3=\frac{8\cdot7\cdot6}{3\cdot2\cdot1}=56$

$_{n}\mathrm{C} _r=\color{black}{}_{n}\mathrm{C} _{n-r}$ を利用すると計算が楽になります。

【例題 2】
次の問題を解きなさい。

　　　 $(1)\ \ (2x+3)^{6}$ の展開式における $x^3$ の係数

　　　 $(2)\ \ (x^2-2)^{8}$ の展開式における $x^6$ の係数

　　　 $(3)\ \ \left(x^2+\frac{1}{x}\right)^{7}$ の展開式における $x^5$ の係数

(1) カッコの中の形が公式と変わっている場合は一般項を作って考えるのが良いでしょう。問題の式は公式のnを6，aを2x，bを3にした形になっているので一般項は

　　　 $_{6}\mathrm{C} _r(2x)^{6-r}(3)^r=\color{black} _{6}\mathrm{C} _r \cdot2^{6-r}\cdot3^rx^{6-r}$

となります。知りたいのはx³の係数なので6-r=3とします。よって，r=3です。これを一般項に代入すると

　　　 $_{6}\mathrm{C} _3\cdot 2^3\cdot 3^3 x^{3}=\frac{6\cdot5\cdot4}{3\cdot2\cdot1}\cdot8\cdot27 x^3=4320x^3$

以上より，x³の係数は4320です。

(2) 公式のnを8，aをx²，bを-2にした形になっているので一般項は

　　　 $_{8}\mathrm{C} _r(x^2)^{8-r}(-2)^r=\color{black} _{8}\mathrm{C} _r (-2)^rx^{16-2r}$

となります。知りたいのはx⁶の係数なので16-2r=6とします。これを解くと，r=5です。一般項に代入すると

　　　 $_{8}\mathrm{C} _5(-2)^5x^{6}=\frac{8\cdot7\cdot6}{3\cdot2\cdot1}\cdot(-32) x^{6}=-1792x^6$

以上より，x⁶の係数は-1792です。

(3) 公式のnを7，aをx²，bを1/xにした形になっているので一般項は

　　　 $_{7}\mathrm{C} _r(x^2)^{7-r}\cdot\frac{1}{x^r}=\color{black} _{7}\mathrm{C} _r \frac{x^{14-2r}}{x^{r}}=\color{black} _{7}\mathrm{C} _rx^{14-3r}$ 　　　　　　 $\color{red}(*)\ \ \frac{a^m}{a^n}=a^{m-n}$

となります。知りたいのはx⁵の係数なので14-3r=5とします。これを解くと，r=3です。一般項に代入すると

　　　 $\color{black} _{7}\mathrm{C} _3x^{5}=\frac{7\cdot6\cdot5}{3\cdot2\cdot1}x^5=35x^5$

以上より，x⁵の係数は35です。

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